《幾何與代數(shù)》科學(xué)出版社第四章n維向量.ppt

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幾何與代數(shù) 主講 關(guān)秀翠 東南大學(xué)數(shù)學(xué)系 東南大學(xué)線性代數(shù)課程 教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配 第四章n維向量 線性代數(shù) 一 主要任務(wù) 解線性方程組 線性方程組 方程間的關(guān)系 向量間的關(guān)系 矩陣的性質(zhì)和運(yùn)算 行列式的運(yùn)算 核心工具初等變換 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 線性方程組的各種形式 1 一般形式 2 矩陣形式 3 向量形式 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 第三章線性方程組 2 線性方程組的相容性 定理 設(shè)A Rm n b Rm 則 1 當(dāng)r A b r A 1時(shí) Ax b無解 2 當(dāng)r A b r A n時(shí) Ax b有唯一解 3 當(dāng)r A b r A n時(shí) Ax b有無窮多解 且通解中含有n r A 個(gè)自由未知量 推論 設(shè)A Rm n 則 1 當(dāng)r A n時(shí) Ax 只有零解 2 當(dāng)r A n時(shí) Ax 有非零解 且通解中含有n r A 個(gè)自由未知量 3 1線性方程組和高斯消元法 一 線性方程組解的存在性和唯一性 命題 設(shè)A Rm n b Rm 則 1 r A b r A 1 Ax b無解 2 r A b r A n Ax b有唯一解 3 r A b r A n Ax b有無窮多解 且通解中含有n r A 個(gè)自由未知量 推論 設(shè)A Rm n 則 1 r A n Ax 只有零解 2 r A n Ax 有非零解 且通解中含有n r A 個(gè)自由未知量 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 命題 設(shè)A Rm n b Rm 則 1 r A b r A 1 Ax b無解 2 r A b r A n Ax b有唯一解 3 r A b r A n Ax b有無窮多解 且通解中含有n r A 個(gè)自由未知量 Ax b有解 b能由列向量組I A1 An線性表示 向量組I A1 An與向量組II A1 An b等價(jià) r A r A b 一 線性方程組解的存在性和唯一性 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) Ax b有解 b能由列向量組I A1 An線性表示 向量組I A1 An與向量組II A1 An b等價(jià) r A r A b 命題 設(shè)A Rm n b Rm 則 1 r A b r A 1 Ax b無解 2 r A b r A n Ax b有唯一解 3 r A b r A n Ax b有無窮多解 且通解中含有n r A 個(gè)自由未知量 Ax b有唯一解 b能由列向量組A1 An線性表示 表示方式唯一 r A r A b 且A1 An線性無關(guān) r A r A b n 一 線性方程組解的存在性和唯一性 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 推論 設(shè)A Rm n 則 1 r A n Ax 只有零解 2 r A n Ax 有非零解 一 線性方程組解的存在性和唯一性 Ax 只有零解 A1 An線性無關(guān) r A r A1 An n 只有零解 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 推論 設(shè)A Rm n 則 1 r A n Ax 只有零解 2 r A n Ax 有非零解 Ax 有非零解 A1 An線性相關(guān) 有非零解 r A r A1 An n Ax 只有零解 A1 An線性無關(guān) r A r A1 An n 只有零解 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 推論 設(shè)A Rm n 則 1 r A n Ax 只有零解 2 r A n Ax 有非零解 若有非零解 這些解具有哪些性質(zhì) 也是Ax 0的解 由是Ax 0的解 即 性質(zhì)1 也是Ax 0的解 性質(zhì)2 由是Ax 0的解 即 k 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 推論 設(shè)A Rm n 則 1 r A n Ax 只有零解 2 r A n Ax 有非零解 若有非零解 這些解具有哪些性質(zhì) 若Ax 0有非零解 則這些解的任意線性組合仍是解 K A x Rn Ax 齊次線性方程組的解空間 即A的核空間或零空間 若有非零解 如何找到所有的 無窮多個(gè) 解 只要找到向量空間K A 的一個(gè)基 就能表示所有解 基礎(chǔ)解系 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 二 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 1 Ax 0的一組解 1 2 s稱為一個(gè)基礎(chǔ)解系 1 1 2 s線性無關(guān) 2 Ax 0的任一解都可由 1 2 s線性表示 那么該方程組的通解就可表示成x k1 1 k2 2 ks s 其中k1 k2 ks為常數(shù) 這種形式的通解稱為Ax 0的結(jié)構(gòu)式通解 K A x Rn Ax 齊次線性方程組的解空間 注1 基礎(chǔ)解系是Ax 0解向量組的極大無關(guān)組 所以基礎(chǔ)解系不唯一 且任兩個(gè)基礎(chǔ)解系等價(jià) 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 向量組的極大無關(guān)組 i I0l i ii I I0 I0 l d I可由I0線性表示 命題 如果r 1 2 s r 則 1 2 s中任意r個(gè)線性無關(guān)的向量均為 1 2 s的極大無關(guān)組 極大無關(guān)組不唯一 任兩個(gè)極大無關(guān)組都等價(jià) 且含有相同個(gè)數(shù) 秩 的向量 向量空間V的基為向量組V中的極大無關(guān)組 V的維數(shù)為向量組的秩 齊次線性方程組的解空間V x Rn Ax 0 的基礎(chǔ)解系為向量組V的極大無關(guān)組 V的維數(shù)為n r A 定理4 14設(shè)A Rm n r A r n 則dim K A n r 即Ax 的任一基礎(chǔ)解系中均含有n r個(gè)解向量 x1 c1 r 1xr 1 c1 r 2xr 2 c1nxn x2 c2 r 1xr 1 c2 r 2xr 2 c2nxn xr cr r 1xr 1 cr r 2xr 2 crnxn 證明 B為行最簡(jiǎn)形矩陣 r B r A r Bx 0有n r個(gè)自由未知量 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 增維也無關(guān) xr 1 1 xr 2 2 xn n r 1 2 n r線性無關(guān) 任意解x 可由其線性表示 基礎(chǔ)解系 定理4 14設(shè)A Rm n r A r n 則dim K A n r 即Ax 的任一基礎(chǔ)解系中均含有n r個(gè)解向量 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 為一基礎(chǔ)解系 c1 r 1 cr r 110 0 c1 r 2 cr r 201 0 c1n crn00 1 含有n r個(gè)解向量 設(shè) 1 2 t為任一基礎(chǔ)解系 則 1 2 t線性無關(guān) 且與 1 2 n r等價(jià) t n r 即任一基礎(chǔ)解系中均含有n r個(gè)解向量 定理4 14設(shè)A Rm n r A r n 則dim K A n r 即Ax 的任一基礎(chǔ)解系中均含有n r個(gè)解向量 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 性質(zhì)1 與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)向量組也是基礎(chǔ)解系 性質(zhì)2 若A Rm n r A r 則Ax 的任意n r個(gè)線性無關(guān)的解向量都是Ax 的基礎(chǔ)解系 3 解Am nx 的一般步驟 A 行階梯陣 r A n 行最簡(jiǎn)形 取非主列對(duì)應(yīng)的變量為自由未知量 令其為e1 en r 求得通解 注 自由未知量的選取不是唯一 只要取定A中r A 個(gè)線性無關(guān)的列 其余列對(duì)應(yīng)變量可為自由變量 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 例1 求 的基礎(chǔ)解系與通解 解 該方程組的基礎(chǔ)解系可取為 通解為 1 0 1 5 4 5 取x2 x4為自由未知量 自由變量不能取x3 x4 因不能任意取值 x1 x2也不能表示 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 例2 求解齊次線性方程組Ax 0 即 Tx 0 若向量 Rn 0 A T 求r A A 1 0 基礎(chǔ)解系中有n 1個(gè)解 設(shè) 是Ax 0的解 證明 可由Ax 0的基礎(chǔ)解系線性表示 例3 A Rs n B Rn t 若AB 0 則r A r B n 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) Q1 Q2 Q8能否構(gòu)成D空間的一組基 Q1 Q7構(gòu)成D空間的一組基 任意D rer魔方都可由其線性表示 構(gòu)造AlbrechtD rer的數(shù)字魔方 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) Q1 Q2 Q8能否構(gòu)成D空間的一組基 Q1 Q7構(gòu)成D空間的一組基 任意D rer魔方都可由其線性表示 隨心所欲構(gòu)造D rer魔方 dij 所得的線性方程組有個(gè)方程 個(gè)變量 16 23 如何求解該線性方程組呢 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 隨心所欲構(gòu)造D rer魔方 dij Ar D 0 16維變量y 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) A 1100000 0000010 0000101 0011000 0010100 0001001 1000010 0100000 0001010 0100100 0000110 變量r對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣 C A eye 16 系數(shù)矩陣 A E C1 rref C 求行最簡(jiǎn)形C1 100000000000000000 1100001000000000000 1000000000010000000000000001 1 100000100000000001000000 100000100000000010 100000000000100000000 10100000 10000001000000000000 100000000001000000 1000 1100000000000100000 10100000 10000000001000010 100 10000000000000100010001 1 1 100000000000010010 101 1 1000000000000001010000 10 1000000000000001 1010 1100 1000000000000000110000 1 10000000000000000011 1 100 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) d24 d32 d34 d41 d42 d43 d44 隨心所欲構(gòu)造D rer魔方 dij Ar D 0 16維變量y 自由變量可取為d24 d32 d34 d41 d42 d43 d44 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 程序mymagic m 輸入d24 d32 d34 d41 d42 d43 d44 得到整個(gè)D rer魔方 d input pleaseinputavector d24 d32 d34 d41 d42 d43 d44 A 1100000 0000010 0000101 0011000 0010100 0001001 1000010 0100000 0001010 0100100 0000110 變量r對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣 C A eye 16 系數(shù)矩陣 A E x null C r 求齊次方程組的基礎(chǔ)解系 y d 1 x 1 d 2 x 2 d 3 x 3 d 4 x 4 d 5 x 5 d 6 x 6 d 7 x 7 基礎(chǔ)解系的線性組合 y y 8 23 y為16維魔方向量 D vec2mat y 4 4 將y轉(zhuǎn)化為4階魔方陣 mymagicpleaseinputavector d24 d32 d34 d41 d42 d43 d44 63152009127 隨心所欲構(gòu)造D rer魔方 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 2 任給d24 d32 d34 d41 d42 d43 d44的一組值 就可得唯一確定D rer魔方的其他值 還不夠隨心所欲 賦予魔方更大的威力吧 自由變量的選取不唯一 3 任給d11 d12 d13 d14 d22 d33 d43的一組值 也可得唯一確定D rer魔方的其他值 12 5 8 6 11 4 6 7 10 還不夠隨心所欲 3 任給d11 d12 d13 d14 d22 d33 d43的一組值 也可得唯一確定D rer魔方的其他值 賦予魔方更大的威力吧 自由變量的選取不唯一 12 5 8 6 11 4 6 7 10 由d43 26 d43 62 d13 如何選取自由變量 36 由x 26 x 24 d14 33 x x 2 2 x 3 x 46 x 39 x 54 由x 26 3x 24 可得x 1 還不夠隨心所欲 3 任給d11 d12 d13 d14 d22 d33 d43的一組值 也可得唯一確定D rer魔方的其他值 賦予魔方更大的威力吧 自由變量的選取不唯一 12 5 8 6 11 4 6 7 10 由d43 26 d43 62 d13 如何選取自由變量 由x 26 x 24 d14 33 由x 26 3x 24 可得x 1 36 1 3 2 4 47 55 38 r2 r1 1 無解 r2 r1 n 唯一解 r2 r1 n 無窮多解 基礎(chǔ)解系的本質(zhì)是解向量組的極大無關(guān)組 維數(shù)為n r A 二 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 K A x Rn Ax 齊次線性方程組的解空間 一 解的存在性和唯一性 Ax b r1 r A r2 r A b A 行階梯陣 r A n 行最簡(jiǎn)形 取非主列對(duì)應(yīng)的變量為自由未知量 令其為e1 en r 求得通解 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 三 非齊次線性方程組的一般解 1 齊次線性方程組Ax 0稱為非齊次線性方程組Ax b的導(dǎo)出組 性質(zhì)1 設(shè) 1 2都是Ax b的解 則 1 2是Ax 0的解 性質(zhì)2 是Ax b的解 是Ax 0的解 則 是Ax b的解 2 非齊次線性方程組的解向量的性質(zhì) A 1 2 A 1 A 2 b b 0 A A A b 0 b 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 定理4 15 設(shè) 0是Ax b的一個(gè)解 1 n r是Ax 0的基礎(chǔ)解系 則Ax b的結(jié)構(gòu)式通解為x 0 k1 1 kn r n r 稱 0為Ax b的一個(gè)特解 證明 Ax A 0 k1 1 kn r n r A 0 b 對(duì)任意Ax b的解x k1 kn r s t x 0 k1 1 kn r n r x 0 k1 1 kn r n r x 0為Ax 0的解 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 3 解非齊次線性方程組Am nx b的一般步驟 Ab 行階梯陣 行最簡(jiǎn)形 令非主列變量為e1 en r 求得基解 令其為0 求得特解 定理4 15 設(shè) 0是Ax b的一個(gè)解 1 n r是Ax 0的基礎(chǔ)解系 則Ax b的結(jié)構(gòu)式通解為x 0 k1 1 kn r n r 稱 0為Ax b的一個(gè)特解 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 解 方程組的通解為 例5 求方程組 的通解 1 0 1 2 1 2 1 2 注 求基礎(chǔ)解系時(shí)右端向量為0 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 四 線性方程組在解析幾何中的應(yīng)用 1 兩直線的相對(duì)位置 r2 r1 1 平行或異面 r2 r1 3 交于一點(diǎn) r2 r1 2 3 重合 r A r1 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 2 三平面的相對(duì)位置 1 A1x B1y C1z D1 0 2 A2x B2y C2z D2 0 3 A3x B3y C3z D3 0 r2 r1 1 無解 平行或 或 r2 r1 3 交于一點(diǎn) r2 r1 2 3 交于一線 r2 r1 1 3 三平面重合 r A r1 基礎(chǔ)解系本質(zhì)是解向量組的極大無關(guān)組 維數(shù)為n r A r A b r A 1 Ax b無解 b不能由A的列向量組線性表示 直線 或平面 間無公共點(diǎn) 2 r A b r A n Ax b有唯一解 b可由A的列向量組唯一地線性表示 直線 或平面 間有唯一公共點(diǎn) 3 r A b r A n Ax b有無窮多解 且通解中含有n r A 個(gè)自由變量 Ax 0的基礎(chǔ)解系有n r A 個(gè)解向量 b可由A的列向量組線性表示 但表示方式不唯一 直線 或平面 重合或平面交于一條直線 x 0 k1 1 kn r n r 一 解的存在性和唯一性 二 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 三 非齊次線性方程組的一般解 例6 A Rm n b Rm 判斷下列命題是否正確 1 若Ax 0只有零解 則Ax b有唯一解 答 錯(cuò) 因r A n r A n r A b 2 若Ax 0有非零解 則Ax b有無窮多解 答 錯(cuò) 因r A n r A r A b 3 若Ax b唯一解 則Ax 0只有零解 答 對(duì) r A r A b n r A n 5 若r A r m 則Ax b必有解 答 對(duì) r A r m r A b 6 若r A r n 則Ax b必有唯一解 答 錯(cuò) A為m n 當(dāng)m n時(shí) 可有r A b n 1 4 若Ax 0有非零解 則ATx 0也有非零解 答 錯(cuò) 比如 A為m n r A m n r AT m 這時(shí)ATx 0只有零解 例如A為3 4 R A 3 4 r AT 3 m 例6 A Rm n b Rm 判斷下列命題是否正確 第四章n維向量 4 5線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 例7 證明r ATA r A 證明 設(shè)A為s n的矩陣 x為n維列向量 進(jìn)而得r ATA r A 一方面Ax ATA x xT ATA x 0 Ax 2 Ax T Ax 0 Ax 可見Ax 解必為 ATA x 的解 另一方面 ATA x 故Ax 與 ATA x 同解 因此n r ATA n r A