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建筑力學 緒論 一 建筑力學的任務建筑力學是一門重要的專業(yè)基礎課 掌握基本的力學知識和計算方法可為建筑工程領域的結構設計和建筑施工等提供基本保障 也為進一步學習相關的專業(yè)課程打下必要的基礎 第一節(jié)建筑力學的任務和內容 荷載 建筑物各部分的自重 人和設備的重力 風力等等 這些直接主動作用在建筑物上的外力在工程上統稱為荷載 結構 構件 在建筑物中承受和傳遞荷載而起骨架作用的部分或體系稱為結構 組成結構的每一個部件稱為構件 結構分類1按組成結構的形狀及幾何尺寸分類 桿件結構 即長度遠大于截面尺寸的構件 如梁柱等桿件結構依照空間特征分類 平面桿件結構 凡組成結構的所有桿件的軸線在一平面內空間桿件結構薄壁結構 長度和寬度遠大于厚度的構件 如薄板薄殼實體結構 長寬高接近的結構 如擋土墻堤壩等 如圖0 1是一個單層工業(yè)廠房承重骨架的示意圖 它由屋面板 屋架 吊車梁 柱子及基礎等構件組成 每一個構件都起承受和傳遞荷載的作用 如屋面板承受著屋面上的荷載并通過屋架傳給柱子 吊車荷載通過吊車梁傳給柱子 柱子將其受到的各種荷載傳給基礎 最后傳給地基 圖0 1 趙州橋 紐約世貿中心 上海世界環(huán)球金融中心 悉尼歌劇院 斜拉橋 三峽大壩 平衡狀態(tài)無論是工業(yè)廠房或是民用建筑 公共建筑 它們的結構及組成結構的各構件都相對于地面保持著靜止狀態(tài) 這種狀態(tài)在工程上稱為平衡狀態(tài) 保證構件的正常工作必須同時滿足三個要求 1 在荷載作用下構件不發(fā)生破壞 即應具有足夠的強度 2 在荷載作用下構件所產生的變形在工程允許的范圍內 即應具有足夠的剛度 3 承受荷載作用時 構件在其原有形狀下的平衡應保持穩(wěn)定的平衡 即應具有足夠的穩(wěn)定性 構件的強度 剛度和穩(wěn)定性統稱為構件的承載能力 其高低與構件的材料性質 截面的幾何形狀及尺寸 受力性質 工作條件及構造情況等因素有關 在結構設計中 如果把構件截面設計得過小 構件會因剛度不足導致變形過大而影響正常使用 或因強度不足而迅速破壞 如果構件截面設計得過大 其能承受的荷載過分大于所受的荷載 則又會不經濟 造成人力 物力上的浪費 因此 結構和構件的安全性與經濟性是矛盾的 建筑力學的任務就在于力求合理地解決這種矛盾 即 研究和分析作用在結構 或構件 上力與平衡的關系 結構 或構件 的內力 應力 變形的計算方法以及構件的強度 剛度和穩(wěn)定條件 為保證結構 或構件 既安全可靠又經濟合理提供計算理論依據 二 建筑力學的研究內容 要處理好構件所受的荷載與構件本身的承載能力之間的這個基本矛盾 就必須保證設計的構件有足夠的強度 剛度和穩(wěn)定性 建筑力學就是研究多種類型構件 或構件系統 的強度 剛度和穩(wěn)定性問題的科學 各種不同的受力方式會產生不同的內力 相應就有不同承載能力的計算方法 這些方法的研究構成了建筑力學的研究內容 第二節(jié)學習建筑力學的目的 建筑力學是研究建筑結構的力學計算理論和方法的一門科學 它是建筑結構 建筑施工技術 地基與基礎等課程的基礎 它將為讀者打開進入結構設計和解決施工現場許多受力問題的大門 顯然作為結構設計人員必須掌握建筑力學知識 才能正確的對結構進行受力分析和力學計算 保證所設計的結構既安全可靠又經濟合理 作為施工技術及施工管理人員 也要求必須掌握建筑力學知識 知道結構和構件的受力情況 什么位置是危險截面 各種力的傳遞途徑以及結構和構件在這些力的作用下會發(fā)生怎樣的破壞等等 才能很好地理解圖紙設計的意圖及要求 科學地組織施工 制定出合理的安全和質量保證措施 在施工過程中 要將設計圖紙變成實際建筑物 往往要搭設一些臨時設施和機具 確定施工方案 施工方法和施工技術組織措施 如對一些重要的梁板結構施工 為了保證梁板的形狀 尺寸和位置的正確性 對安裝的模板及其支架系統必須要進行設計或驗算 進行深基坑 槽 開挖時 如采用土壁支撐的施工方法防止土壁坍落 對支撐特別是大型支撐和特殊的支撐必須進行設計和計算 這些工作都是由施工技術人員來完成的 因此 只有懂得力學知識才能很好地完成設計及施工任務 避免發(fā)生質量和安全事故 確保建筑施工正常進行 第一章靜力學基礎 第一節(jié)基本概念一 力1 力的定義力是物體之間相互的機械作用 由于力的作用 物體的機械運動狀態(tài)將發(fā)生改變 同時還引起物體產生變形 前者稱為力的運動效應 或外效應 后者稱為力的變形效應 或內效應 在本課程中 主要討論力對物體的變形效應 2 力的三要素力的大小 方向 包括方位和指向 和作用點 這三個因素稱為力的三要素 實際物體在相互作用時 力總是分布在一定的面積或體積范圍內 是分布力 如果力作用的范圍很小 可看成是作用在一個點上 該點就是力的作用點 建筑上稱這種力為集中力 1 力是矢量 力是一個既有大小又有方向的量 力的合成與分解需要運用矢量的運算法則 因此它是矢量 或稱向量 2 力的矢量表示 矢量可用一具有方向的線段來表示 如圖1 2所示 用線段的長度 按一定的比例尺 表示力的大小 用線段的方位和箭頭指向表示力的方向 用線段的起點或終點表示力的作用點 通過力的作用點沿力的方向的直線稱為力的作用線 本教材中以黑體的字母 如 等來表示矢量 白體的字母則代表該矢量的模 大小 3 力的單位 在國際單位制中 力的單位是牛頓 用字母N表示 另外 有時還用到比牛頓大的單位 千牛頓 二 力系1 力系 作用在物體上的若干個力的總稱為力系 以表示 如圖1 3a 力系中各個力的作用線如果不在同一平面內 則該力系稱為空間力系 如果在同一平面內 則稱為平面力系 2 等效力系 如果作用于物體上的一個力系可用另一個力系來代替 而不改變原力系對物體作用的外效應 則這兩個力系稱為等效力系或互等力系 以表示 如圖1 3b 3 合力 如果一個力與一個力系等效 則力稱為此力系的合力 而力系中的各力則稱為合力的分力 如圖1 3c 4 物體的平衡及平衡力系所謂物體的平衡 建筑工程上一般是指物體相對于地面保持靜止狀態(tài)或作勻速直線運動狀態(tài) 要使物體處于平衡狀態(tài) 作用于物體上的力系必需滿足一定的條件 這些條件稱為力系的平衡條件 作用于物體上正好使之保持平衡的力系則稱為平衡力系 靜力學研究物體的平衡問題 實際上就是研究作用于物體上的力系的平衡條件 并利用這些條件解決具體問題 三 荷載工程中的各類建筑物 如房屋 橋梁以及水塔等 在使用過程中都要受到各種力的作用 如工業(yè)廠房 其受到的力有自重 風力 屋頂積雪重量 吊車作用力等 這些直接主動作用于建筑物上的外力稱為荷載 若荷載分布在整個構件內部各點上的 如重力 萬有引力等 稱為體分布荷載 有的荷載是分布在構件表面上的 如屋面板上雪的壓力 水壩上水的壓力 擋土墻上土的壓力 蒸汽機活塞上汽的壓力等 稱為面分布荷載 如果荷載是分布在一個狹長的面積或體積上 則可以把它簡化為沿長度方向的線分布荷載 例如 梁的自重就可以簡化為沿其軸線分布的線荷載 這樣用線分布荷載來代替實際的分布荷載 對結構的平衡并無影響 但可使計算簡化 線分布荷載的大小用其集度 即荷載沿分布線的密集程度 來表示 其常用單位為N m或kN m 線荷載集度為常數的分布荷載稱為均布荷載 在計算簡圖上 均簡化為作用于桿件軸線上的分布線荷載 集中荷載 集中力偶 并且認為這些荷載的大小 方向和作用位置是不隨時間變化的 或者雖然有變化但極其緩慢 使結構不至于產生顯著的運動 如吊車荷載 風荷載等 這類荷載稱為靜荷載 如果荷載的大小 方向或作用位置變化劇烈 能引起結構明顯的運動或振動 如打樁機的沖擊荷載等 這類荷載則稱為動力荷載 本課程討論的主要是靜力荷載 四 剛體所謂剛體 就是指在受力情況下保持其幾何形狀和尺寸不變的物體 亦即受力后物體內部任意兩點之間的距離保持不變的物體 顯然 這只是一個理想化了的模型 實際上并不存在這樣的物體 這種抽象簡化的方法 雖然在研究許多問題時是必要的 而且也是許可的 但它是有條件的 值得慶幸的是 在許多情況下 物體變形都很小 將它們忽略不計 對研究結果無明顯影響 實際建筑中構件的變形通常是非常微小的 在許多情況下 可以忽略不計 例如一根梁 當其受力彎曲時 由于變形微小 支點之間距離 跨度 的變化量也很小 從而在求支座約束力時可按跨度不變的情況來考慮 第二節(jié)靜力學公理 一 作用力與反作用力公理大量實驗事實證明 物體間的作用總是相互的 兩個物體之間的作用力與反作用力 沿同一條直線 大小相等 方向相反 分別作用在兩個物體上 二 二力平衡公理作用于剛體上的兩個力 使剛體處于平衡狀態(tài)的必要與充分條件是 這兩個力大小相等 指向相反 且作用于同一直線上 即等值 反向 共線 圖1 6 圖1 6 只受兩個力作用而處于平衡的物體稱為二力體 如圖1 7所示 機械及建筑結構中的二力體常常統稱為二力構件 它們的受力特點是 兩個力的方向必在二力的作用點的連線上 如果二力構件是一根直桿 則稱為二力桿 或稱為鏈桿 圖1 7 應用二力體的概念 可以很方便地判定結構中某些構件的受力方向 如圖圖1 8a所示三鉸剛架 當不計自重時 其部分只可能通過鉸 和鉸 兩點受力 是一個二力構件 故 兩點處的作用力必沿 連線的方向 如圖圖1 8b所示 三 平衡力系公理在作用于剛體上的已知力系中 加上或減去任一平衡力系 并不改變原力系對剛體的效應 這是因為平衡力系對剛體作用的總效應等于零 它不會改變剛體的平衡或運動的狀態(tài) 這個公理常被用來簡化某一已知力系 應用這個公理可以導出作用于剛體上的力的如下一個重要性質 圖1 9力的可傳性原理 作用于剛體上的力 可沿其作用線任意移動而不改變它對剛體的作用外效應 例如 圖1 9中在車后點加一水平力推車 如在車前點加一水平力拉車 對于車的運動效應而言 其效果是一樣的 圖1 9 四 力的平行四邊形法則圖1 11 作用于物體上同一點上的兩個力 其合力也作用在該點上 至于合力的大小和方向則由以這兩個力為邊所構成的平行四邊形的對角線來表示 如圖1 11a所示 而原來的兩個力稱為這個合力的分力 圖1 11 第三節(jié)約束與約束力 第三節(jié)約束與約束力 一 約束與約束力的概念1 自由體在空間能向一切方向自由運動的物體 稱為自由體 當物體受到其他物體的限制 因而不能沿某些方向運動時 這種物體就成為非自由體 2 約束限制非自由體運動的物體便是該非自由體的約束 如圖1 12 3 約束力約束施加于被約束物體上的力稱為約束力 如圖1 12b 二 工程中常見的約束及約束力1 柔體約束 柔索 工程上常用的繩索 包括鋼絲繩 膠帶和鏈條等所形成的約束 稱為柔體約束2 光滑面約束當兩物體接觸面上的摩擦力很小時 可以認為接觸面是 光滑 的 光滑面的約束力通過接觸處 方向沿接觸面的公法線并指向被約束的物體 即只能是壓力 如圖1 13所示 這種約束力也稱為法向約束力 3 光滑鉸鏈約束 1 固定鉸鏈支座 2 活動鉸鏈支座4 固定端約束如房屋的雨篷 圖1 24a 牢固地嵌入墻內的一端等 其約束便是固定端約束 第四節(jié)物體的受力分析 第四節(jié)物體的受力分析 從周圍物體的約束中分離出來的研究對象 稱為分離體或自由體 同時把畫有分離體及其所受外力 包括主動力和約束力 的圖稱為受力圖 或分離體圖 自由體圖 一 單個物體的受力分析單個物體受力分析較簡單 只將單個物體作為研究對象進行受力分析即可 架的受力圖如圖1 26b所示 二 物體系統的受力分析物體系統的受力分析較單個物體受力分析復雜 一般是先將系統中各個部分作為研究對象 分別進行單個物體受力分析 最后再將整個系統作為研究對象進行受力分析 小結 1 靜力學是研究物體在力系作用下平衡規(guī)律的科學 它主要是解決力系的簡化 或力系的合成 問題和力系平衡的問題 2 力是物體之間的相互作用 力對物體作用的效應 決定于力的大小 方向 包括方位和指向 和作用點這三要素 3 直接主動作用于物體上的外力稱為荷載 建筑物中支承荷載 傳遞荷載而起骨架作用的部分稱為結構 結構中的每一個基本部分稱為構件 4 靜力學四公理 作用力與反作用力公理 二力平衡公理 平衡力系公理 力的平行四邊形法則 5 在空間能向一切方向自由運動的物體 稱為自由體 當物體受到其他物體的限制 因而不能沿某些方向運動時 這種物體就成為非自由體 限制非自由體運動的物體便是該非自由體的約束 約束施加于被約束物體上的力稱為約束力 6 工程中常見的約束及約束力 柔體約束 柔索 光滑面約束 光滑鉸鏈約束 固定端約束四種 7 物體的受力分析 單個物體的受力分析 物體系統的受力分析 第二章平面匯交力系 學習目標 1 理解力的合成與平衡的幾何法和解析法 2 會用力的合成與平衡的幾何法和解析法解決實際問題 各力的作用線在同一平面內且相交于一點的力系 稱為平面匯交力系 它是一種基本的力系 也是工程結構中常見的較為簡單的力系 第一節(jié)平面匯交力系合成與平衡的幾何法 第一節(jié)平面匯交力系合成與平衡的幾何法 一 合成1 三力情況設剛體上作用有匯交于同一點的三個力F1 F2 F3 如圖2 1a所示 顯然 連續(xù)應用力的平行四邊形法則 或力的三角形法則 就可以求出三個力的合力 以力多邊形求合力的方法稱為平面匯交力系合成的幾何法 2 一般情況上述方法可以推廣到包含任意幾個力的匯交力系求合力的情況 合力的大小和方向仍由多邊形的封閉邊來表示 其作用線仍通過各力的匯交點 即合力等于力系中各力的矢量和 或幾何和 其表達式為 二 平衡物體在平面匯交力系作用下平衡的必要和充分條件是合力等于零 用矢量式表示為 三 三力平衡匯交定理若剛體受三個力作用而平衡 且其中兩個力的作用線相交于一點 則三個力的作用線必匯交于一點 而且共面 第二節(jié)平面匯交力系合成與平衡的解析法 第二節(jié)平面匯交力系合成與平衡的解析法 求解平面匯交力系合成與平衡問題的解析法是以力在坐標軸上的投影為基礎的 一 力在坐標軸上的投影如已知力的大小和力分別與軸及軸正向間的夾角 則由圖2 7可知 若已知力在正交坐標軸上的投影為和 則由幾何關系可求出力的大小和方向 二 合力投影定理 即合力在任一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數和 為了表達上的簡便 以下各分力在軸或軸上的代數和簡記為或 這就是合力投影定理 小結 1 各力的作用線在同一平面內且相交于一點的力系 稱為平面匯交力系 研究平面匯交力系重點是討論平衡問題 研究的方法有 幾何法 矢量法 解析法 投影法 2 平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力為零 3 求解平面匯交力系合成與平衡問題的解析法是以力在坐標軸上的投影為基礎的 第三章平面一般力系 學習目標 1 理解力的平移定理和平面一般力學向一點簡化 2 能用力的平移定理和平面一般力學向一點簡化解決實際問題 所謂平面一般力系 是指位于同一平面內的諸力 其力的作用線既不匯交于一點 也不互相平行的情況 工程計算中的很多實際問題都可簡化為平面一般力系問題來處理 第一節(jié)力的平移定理 第一節(jié)力的平移定理 可見 一個力可以分解為一個等值與其平行的力和一個位于平面內的力偶 反之 一個力偶和一個位于該力偶作用面內的力 也可以用一個位于力偶作用平面內的力來等效替換 力線平移定理不僅是下一節(jié)中力系向一點簡化的理論依據 而且也可以用來分析力對物體的作用效應 第二節(jié)平面一般力系向作用面內任一點簡化 第二節(jié)平面一般力系向作用面內任一點簡化 綜上所述 可得如下結論 平面一般力系向一點簡化可得到作用于簡化中心的力和一個力偶 這個力的矢量等于力系的主矢 而這個力偶之矩等于力系中各力對簡化中心之矩的代數和 三 平面一般力系的合力矩定理合力矩定理平面一般力系如果有合力 則合力對該力系作用面內任一點之矩等于力系中各分力對該點之矩的代數和 第三節(jié)平面一般力系的平衡方程 第三節(jié)平面一般力系的平衡方程 當物體處于平衡時 作用于其上的平面力系中各力在兩個任選的坐標軸 兩坐標軸不一定正交 中每一軸上投影的代數均等于零 各力對于任一點之矩的代數和也等于零 二 平衡方程的其他形式平面一般力系平衡的解析條件除了式 4 6 表示的那種基本形式外 還可以寫成二矩式 三矩式和平面平行力系平衡條件表達式等形式 上述三組方程都可以來解決平面一般力系的平衡問題 究竟選哪一組方程須根據具體情況確定 但無論采取哪一組方程 都只能求解三個未知量 解題時 一般來說 力求所寫出的每一個平衡方程中只含有一個未知量 也就是說 平面平行力系平衡的必要條件和充分條件是 力系中各力的代數和以及各力對任一點之矩的代數和都等于零 小結 1 平面一般力系是指位于同一平面內的諸力 其力的作用線既不匯交于一點 也不互相平行的情況 2 力的平移定理 作用在剛體上某點的力 可以平行移動到該剛體上任一點 但必須同時附加一個力偶 其力偶矩等于原來的力對平移點之矩 3 主矢與主矩 4 平面一般力系平衡方程的基本形式和其他形式 5 平面一般力系平衡方程的應用 第四章材料力學基礎 學習目標 1 了解變形固體及其基本假定 2 初步了解桿件的基本變形形式 3 了解內力的含義 4 了解截面法的基本步驟 5 理解桿件 橫截面 軸線定義 6 理解應力的定義 領會任意應力分解為正應力與剪應力 第一節(jié)變形固體的性質及其基本假設 一 變形固體的概念材料力學所研究的構件 其材料的物質結構和性質雖然千差萬別 但卻具有一個共同的特性 即它們都由固體材料制成 如鋼 木材 混凝土等 而且在荷載作用下會產生變形 因此 這些物體統稱為變形固體 彈性變形變形固體的變形 按變形性質分類 塑性變形 理想彈性體的概念去掉外力后能完全恢復原狀的物體稱為理想彈性體 實際上 并不存在理想彈性體 但常用的工程材料如金屬 木材等當外力不超過某一限度時 稱彈性階段 很接近于理想彈性體 這時可將它們視為理想彈性體 小變形工程中大多數構件在荷載作用下 其幾何尺寸的改變量與構件本身的尺寸相比 常是很微小的 我們稱這類變形為 小變形 在后面的章節(jié)中 將研究構件在彈性范圍內的小變形 二 變形固體的基本假設材料力學研究構件的強度 剛度 穩(wěn)定性時 常根據與問題有關的一些主要因素 省略一些關系不大的次要因素 對變形固體作了如下假設 1 連續(xù)性假設2 均勻性假設3 各向同性假設 1 連續(xù)性假設連續(xù)是指材料內部沒有空隙 認為組成固體的物質毫無間隙地充滿了固體的幾何空間 實際的固體物質 就其結構來說 組成固體的粒子并不連續(xù) 但它們之間所存在的空隙與構件的尺寸相比 極其微小 可以忽略不計 2 均勻性假設均勻是指材料的性質各處都一樣 認為在固體的體積內 各處的力學性質完全相同 就金屬材料來說 其各個晶粒的力學性質 并不完全相同 但因在構件或構件的某一部分中 包含的晶粒為數極多 而且是無規(guī)則地排列的 其力學性質是所有晶粒的性質的統計平均值 所以可以認為構件內各部分的性質是均勻的 3 各向同性假設認為固體在各個方向上具有相同的力學性質 具備這種屬性的材料稱為各向同性材料 金屬 玻璃 塑膠等 都是各向同性材料 如果材料沿不同方向具有不同的力學性質 則稱為各向異性材料 如木材 竹材 纖維品和經過冷拉的鋼絲等 我們所研究的 主要限于各向同性材料 第二節(jié)桿件變形的基本形式 一 桿件所謂桿件 是指長度遠大于其它兩個方向尺寸的構件 如房屋中的梁 柱 屋架中的各根桿等 桿件的形狀和尺寸可由桿的橫截面和軸線兩個主要幾何元素來描述 橫截面是指與桿長方向垂直的截面 而軸線是各橫截面形心的連線 軸線為直線 橫截面相同的桿件稱為等直桿 材料力學主要研究等直桿 二 桿件變形的基本形式1 軸向拉伸或壓縮2 剪切3 扭轉4 彎曲 1 軸向拉伸或壓縮在一對方向相反 作用線與桿軸重合的拉力或壓力作用下 桿件沿著軸線伸長 圖a 或縮短 圖b 2 剪切在一對大小相等 指向相反且相距很近的橫向力作用下 桿件在二力間的各橫截面產生相對錯動 3 扭轉在一對大小相等 轉向相反 作用面與桿軸垂直的力偶作用下 桿的任意兩橫截面發(fā)生相對轉動 4 彎曲在一對大小相等 方向相反 位于桿的縱向平面內的力偶作用下 桿件軸線由直線彎成曲線 工程實際中的桿件 可能同時承受不同形式的荷載而發(fā)生復雜的變形 但都可以看做是以上四種基本變形的組合 第三節(jié)內力 截面法及應力的概念 一 內力內力是桿件在外力作用下 相連兩部分之間的相互作用力 內力是由外力引起的并隨著外力的增大而增大 但對構件來說 內力的增大是有限的 當內力超過限度時 構件就會破壞 所以研究構件的承載能力必須先分析其內力 二 截面法截面法是求內力的基本方法 要確定桿件某一截面上的內力 可以假想地將桿件沿需求內力的截面截開 將桿分為兩部分 并取其中一部分作為研究對象 此時 截面上的內力被顯示出來 并成為研究對象上的外力 再由靜力平衡條件求出此內力 這種求內力的方法 稱為截面法 截面法可歸納為三個步驟 1 截開欲求某一截面上的內力時 沿該截面假想地把桿件分成兩部分 圖5 3a 任取一部分作為研究對象 2 代替用作用于截面上的內力代替棄去部分對研究部分的作用 圖5 3b 或 圖5 3c 3 平衡對研究部分建立平衡方程 從而確定截面上內力的大小和方向 圖5 3 三 應力構件的破壞不僅與內力大小有關 還與內力在構件截面上的密集程度 簡稱集度 有關 通常將內力在一點處的集度稱為應力 用式子表示為 P稱為E點處應力 通常應力P與截面既不垂直也不相切 材料力學中總是將它分解為垂直于截面和相切于截面兩個分量 垂直于截面的應力分量稱為正應力或法向應力 用 表示 相切于截面的應力分量稱為剪應力或切向應力 用 表示 單位換算 本章小結 本章討論了材料力學的一些基本概念 1 材料力學的研究對象是由均勻 連續(xù) 各向同性的彈性體材料制成的桿件 2 桿件的四種基本變形形式 1 軸向拉伸或壓縮 2 剪切 3 扭轉 4 彎曲 3 內力與應力的概念內力是桿件在外力作用下 相連兩部分之間的相互作用力 工程上最常見的是計算桿件橫截面上的內力 應力是內力在某一點處的集度 桿件中某截面上任一點的應力一般有兩個分量 正應力和剪應力 4 求內力的基本方法 截面法步驟 截開 代替 平衡 第五章扭轉 學習目標 1 了解外力偶矩的計算 扭矩的概念和扭矩圖的畫法 2 理解圓軸扭轉時橫截面上剪應力分布規(guī)律和強度計算 3 掌握圓軸扭轉變形時的剛度和變形 相對扭轉角 計算 第六章梁的彎曲 一 彎曲變形和平面彎曲彎曲是構件變形的基本形式之一 當一桿件在兩端承受一對等值 反向的外力偶作用 且力偶的作用面與桿件的橫截面垂直時 如圖8 1 a 桿件的軸線由直線變?yōu)榍€ 這種變形稱為彎曲變形 簡稱彎曲 第一節(jié)梁的平面彎曲 有時 桿件在一組垂直于桿軸的橫向力作用下也發(fā)生彎曲變形 如圖8 1 b 發(fā)生這種彎曲變形時還伴有剪切變形 此稱為剪切彎曲或橫向彎曲 常見的梁就是以彎曲變形為主的構件 例如房屋建筑中的懸臂梁 圖8 2 a 樓面梁 圖8 2 b 等 實際工程中常見的梁 其橫截面通常采用的是對稱形狀 如矩形 工字形 T字形 圓形等 圖8 3 a 原因是它們都有一個豎直對稱軸 對稱軸與梁軸線組成的平面叫縱向對稱平面 如果作用在梁上的所有外力 荷載 支座反力 的作用線都位于縱向對稱平面內 梁變形時其軸線變成位于對稱平面內的一條平面曲線 圖8 3 b 這種彎曲稱為平面彎曲 平面彎曲是工程中最常見的彎曲形式 二 單跨靜定梁的基本形式為了方便地討論梁的彎曲 這里簡單了解一下梁的基本形式 工程中對于單跨靜定梁按其支座情況來分 可分為下列三種形式 1 懸臂梁梁的一端為固定端 另一端為自由端 圖8 4 a 2 簡支梁梁的一端為固定鉸支座 另一端為可動鉸支座 圖8 4 b 3 外伸梁梁的一端或兩端伸出支座的簡支梁 圖8 4 c 第七章組合變形的強度計算 學習目標 1 了解組合變形的概念 以及構件受力和變形特點 2 理解截面核心的概念及簡單圖形截面核心的位置 3 掌握斜彎曲 偏心拉壓時構件的應力計算及強度條件 第一節(jié)組合變形的概念一 組合變形的概念由兩種或兩種以上的基本變形組合而成的變形 稱為組合變形 a 解決組合變形的強度問題可用疊加法 其分析步驟為 將桿件的組合變形分解為基本變形 計算桿件在每一種基本變形情況下所產生的應力和變形 將同一點的應力疊加 可得到桿件在組合變形下任一點的應力和變形 第二節(jié)斜彎曲斜彎曲的條件 外力與桿件的軸垂直且通過變形后的梁軸線不在外力作用面內彎曲 以圖9 2所示的矩形截面懸臂梁為例來討論斜彎曲問題的特點和它的強度計算 一 外力分解如圖9 2 a 外荷載可沿坐標軸和分解 得其中是梁產生繞軸的平面彎曲 使梁柱產生繞軸的平面彎曲 因此 斜彎曲實際上是兩個互相垂直的平面彎曲的組合 二 內力分析斜彎曲梁的強度是由最大正應力來控制的 所以 彎矩的計算是最主要的 設在距端點為的任意橫基面上 引起的截面總彎矩為 兩個分力和引起的彎矩值為三 應力計算在該橫截面上任意點處 相應坐標 由和引起的正應力為 由疊加原理 任意點的正應力為 代入總彎矩 可得 四 強度條件1 中性軸位置因中性軸上各點正應力均為零 則由式 9 2 可得當時 說明中性軸是通過截面形心的直線 2 危險點的確定斜彎曲時 中性軸將截面分為受拉和受壓兩個區(qū) 橫截面上的正應力呈線性分布 距中性軸越遠 應力越大 因此一旦中性軸確定就可找出距中性軸最遠的危險點 3 強度條件斜彎曲時的強度條件為 也可以表達為 根據這一強度條件 同時可以進行強度校核 截面設計和確定許多荷載 在設計截面尺寸時 因有兩個未知量 所以需要假定一個比值 對矩形截面 對槽形截面 例9 1圖9 4所示檀條簡支在屋架上 其跨度為 承受屋面?zhèn)鱽淼木己奢d屋面的傾角 檀條為矩形截面 材料的許用應力 試校核檀條強度 解 由題中已知條件 檀條在均布荷載的作用下 彎矩圖為拋物線 最大彎矩發(fā)生在梁的跨中截面 彎矩值為 截面對和軸的抗彎截面系數為 由強度條件代入數值得 所以檀條強度足夠安全 例9 2試選擇圖9 5所示梁的截面尺寸 解 由題中條件知 此梁受豎向荷載和橫向荷載的共同作用部分將產生斜彎曲變形 危險截面為固定端截面 由強度條件 根據已知條件 矩形截面 解得取整 第三節(jié)偏心壓縮 拉伸 當外荷載作用線與桿軸線平行但不重合時 桿件將產生壓縮 拉伸 和彎曲兩種基本彎形 這類問題稱為偏心壓縮 拉伸 如圖9 6所示桿件 如力作用在某一軸線上 則產生壓縮 拉伸 和彎曲變形 稱為單向偏心壓縮 偏心壓縮 圖9 6 a 如力作用在軸線外的截面的任意點上 稱為雙向偏心壓縮 拉伸 圖9 6 b 一 單向偏心壓縮 拉伸 時的應力和強度條件1 荷載變化由平面一般力系中力的平移定理 將偏心力向桿線軸線平移 得到一個通過形心的軸向壓力和一個力偶矩為的力偶 如圖9 7 2 內力計算用截面截取桿件上部 由平衡方程可求得 顯然偏心壓縮桿件各個橫截面的內力均相同 所以截面可以為任意截面 3 應力計算對于橫截面上任一點 圖9 8 其應力是軸向壓縮應力和彎曲應力的疊加 點的總應力為 由上式計算正應力時 用絕對值代入 式中彎曲正應力可由直觀判斷來確定 類似地 最大 最小 正應力必將發(fā)生在橫截面的上 下邊緣 處 4 強度條件顯然 桿件橫截面各點均處于單向拉壓狀態(tài) 其強度條件為 例9 3橫截面為正方形的短柱承受荷載 若在短柱中開一切槽 其最小截面積為原面積的一半 如圖9 9所示 試問切槽后 柱內最大壓應力是原來的幾倍 解 切槽前的壓應力切槽后最大壓應力應為偏心壓縮情況下截面邊緣的最大壓應力 兩者的比值是 例11 4圖9 10所示舉行截面柱 柱頂有屋架傳來的壓力 牛腿上承受吊車梁傳來的壓力 與軸線的偏心距 已知柱寬 求 1 若 則柱截面中的最大拉應力和最大壓應力各是多少 2 要使柱界面不產生拉應力 截面高度應為多少 在所選的尺寸下 柱截面中的最大壓應力為多少 解 1 求最大拉應力和最大壓應力將荷載力向截面形心簡化 柱的軸向壓力為 截面的彎矩為 所以 2 求截面高度和最大壓應力要使截面不產生拉應力 應滿足解得 取整此時產生的最大壓應力為 二 雙向偏心壓縮 拉伸 時的應力和強度條件 圖9 11 1 荷載簡化如圖9 11 a 已知至軸的偏心距為至軸的偏心距為 1 將壓力F平移至Z軸 附加力偶矩為 2 再將壓力從軸上平移至與桿件軸線重合 附加力偶矩為 3 如圖9 11 b 所示 力F經過兩次平移后 得到軸向壓力和兩個力偶矩 所以雙向偏心壓縮實際上就是軸向壓縮和兩個相互垂直的平面彎曲的組合 2 內力分析截面法任取橫截面ABCD 其內力均為3 應力計算橫截面上任意一點 坐標為y z時的應力分別為 1 由軸力引起點的壓應力為 2 由彎矩引起點的應力為 3 由彎矩引起點應力為 所以 點的應力為上式中各個量都可用絕對值代入 式中第二項和第三項前的正負號觀察彎曲變形的情況來確定 4 中性軸位置由公式 9 7 可得 0即設 為中性軸上的點的坐標 則中性軸方程為 即上式也稱為零應力線方程 是一直線方程 式中分別稱為截面對z y軸的慣性半徑 也是截面的幾何量 中性軸的截距為 當時 當時 從而可以確定中心軸位置 其表明 力作用點坐標越大 截距越小 反之亦然 說明外力作用點越靠近形心 則中性軸越遠離形心 式中負號表示中性軸與外力作用點總是位于形心兩側 中性軸將截面劃分成兩部分 一部分為壓應力區(qū) 另一部分為拉應力區(qū) 由圖9 11 b 可以判斷 最大拉應力發(fā)生在A點 最大壓應力發(fā)生在B點 其值為 危險點A C都處于單向應力狀態(tài) 所以可類似于單向偏心壓縮的情況建立相應的強度條件 5 強度條件 例9 5試求圖9 12所示偏心受拉桿的最大正應力 解 此桿切槽處的截面是危險截面 將力F向切槽截面的軸線簡化 得 經判斷點為危險點 其應力為拉應力 大小為得 三 截面核心1 概念當偏心壓力作用在截面形心周圍的一個區(qū)域內時 桿件整個橫截面上只產生壓應力而不出現拉應力 這個荷載作用的區(qū)域就稱為截面核心 2 截面核心的確定對于許用拉應力遠小于許用壓應力的混凝土 磚石等脆性材料 過大的拉應力將會使構件產生裂縫 這種情況必須避免 為了使偏心壓縮桿的截面上不出現拉應力 對于圖9 11b所示矩形截面ABCD 應滿足 即 可見 y方向的偏心荷載應該作用在y軸上截面中間的1 3范圍內 同理 若荷載在z方向上偏心 則只有作用在z軸上截面中間的1 3范圍內 才能保證截面上不出現拉應力 對雙向偏心壓縮桿 如果將截面上的上述四點順序連起來得到一菱形 如圖9 13a 則雙向偏心荷載只要作用在上述的菱形區(qū)域內 截面上就只有壓應力 不會出現拉應力 截面上的這個區(qū)域稱為截面核心 幾種常見圖形的截面核心 通?？蓮挠嘘P手冊中查出 圖9 13 本章小結本章研究了組合變形中斜彎曲和單向 雙向偏心壓縮的內力 應力和強度條件 1 概念 1 組合變形由兩種以上的基本變形組合而成的變形 2 截面核心當偏心壓力作用點位于截面形心周圍的一個區(qū)域內時 橫截面上只有壓應力而沒有拉應力 這個區(qū)域就是截面核心 2 疊加法求解組合變形桿件強度問題的步驟是 1 對桿件進行受力分析 確定是由哪些基本變形的組合 2 簡化或分解外力 使每一個外力只產生一種基本變形 3 按基本變形計算內力和應力 用疊加法確定出危險點應力的大小和方向 4 建立強度條件 一 梁的彎曲內力 剪力和彎矩為了計算梁的強度和剛度 在求得梁的支座反力后 還必須計算梁的內力 如圖8 5 a 所示為一簡支梁 荷載和支座反力 是作用在梁的縱向對稱平面內的平衡力系 現在在梁上任取一截面 假想截面將梁分為兩段 取左段為研究對象 從圖8 5 b 可知 因有支座反力作用 為使左段滿足 截面上必然有與等值 平行且反向的內力存在 這個內力 稱為剪力 同時 因對截面的形心點有一個力矩的作用 為滿足 截面上也必然有一個與力矩大小相等且轉向相反的內力偶矩存在 這個內力偶矩稱為彎矩 由此可見 梁發(fā)生彎曲時 橫截面上同時存在著兩個內力因素 即剪力和彎矩 第二節(jié)梁的彎曲內力 圖8 5 剪力的常用單位為N或kN 彎矩的常用單位為N m 或kN m剪力和彎矩的大小 可由左段梁的靜力平衡方程求得 即 由 得 二 剪力和彎矩的正負號規(guī)定 為了使從左 右兩段梁求得同一截面上的剪力和彎矩具有相同的正負號 并考慮到土建工程上的習慣要求 對剪力和彎矩的正負號特作如下規(guī)定 1 剪力的正負號使梁段有順時針轉動趨勢的剪力為正 圖8 6a 反之 為負 圖8 6b 2 彎矩的正負號使梁段產生下側受拉的彎矩為正 圖8 7a 反之 為負 圖8 7b 如果取右段梁作為研究對象 同樣可求得截面上的和 根據作用與反作用力的關系 它們與從右段梁求出截面上的和大小相等 方向相反 如圖8 5 a 所示 例8 1如圖8 8 a 所示簡支梁 已知 試求截面1 1上的剪力和彎矩 圖8 8 解 1 求支座反力 2 求截面1 1上的內力 在截面1 1處將梁截開 取左段梁為研究對象 畫出其受力圖如圖8 8 b 內力和均先假設為正的方向 列平衡方程 由 得 求得和均為正值 表示截面1 1上內力的實際方向與假定的方向相同 按內力的符號規(guī)定 剪力 彎矩都是正的 所以 畫受力圖時一定要先假設內力為正的方向 由平衡方程求得結果的正負號 就能直接代表內力本身的正負 如取1 1截面右段梁為研究對象 圖8 8b 可得出同樣的結果 例8 2一懸臂梁 其尺寸及梁上荷載如圖8 9所示 求截面1 1上的剪力和彎矩 圖8 9 求得為正值 表示的實際方向與假定的方向相同 為負值 表示的實際方向與假定的方向相反 所以 按梁內力的符號規(guī)定 1 1截面上的剪力為正 彎矩為負 二 簡易法求內力求梁的內力還可用簡便的方法來進行 稱為簡易法 通過上述例題 可以總結出直接根據外力計算梁內力的規(guī)律 1 剪力的規(guī)律計算剪力時 對截面左 或右 段梁建立投影方程 經過移項后可得 或 上兩式說明 梁內任一橫截面上的剪力在數值上等于該截面一側所有外力在垂直于軸線方向投影的代數和 若外力對所求截面產生順時針方向轉動趨勢時 其投影取正號 圖8 6a 反之取負號 圖8 6b 此規(guī)律可記為 順轉剪力正 2 求彎矩的規(guī)律計算彎矩時 對截面左 或右 段梁建立力矩方程 經過移項后可得 或 上兩式說明 梁內任一橫截面上的彎矩在數值上等于該截面一側所有外力 包括力偶 對該截面形心力矩的代數和 將所求截面固定 若外力矩使所考慮的梁段產生下凸彎曲變形時 即上部受壓 下部受拉 等式右方取正號 圖8 7a 反之取負號 圖8 7b 此規(guī)律可記為 下凸彎矩正 用簡易法求內力可以省去畫受力圖和列平衡方程從而簡化計算過程 例8 3用簡易法求圖8 10所示簡支梁1 1截面上的剪力和彎矩 圖8 10 解 1 求支座反力圖8 10由梁的整體平衡方程求得 2 計算1 1截面上的內力由1 1截面以左部分的外力來計算內力 根據 順轉剪力正 和 下凸彎矩正 得 第三節(jié)梁的內力圖 為了計算梁的強度和剛度問題 除了要計算指定截面的剪力和彎矩外 還必須知道剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律 內力圖 從而直觀地找到梁內剪力和彎矩的最大值以及它們所在的截面位置 一 剪力方程和彎矩方程從上節(jié)的討論可以看出 梁內各截面上的剪力和彎矩一般隨截面的位置而變化 若橫截面的位置用沿梁軸線的坐標來表示 則各橫截面上的剪力和彎矩都可以表示為坐標的函數 即 以上兩個函數式表示梁內剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律 分別稱為剪力方程和彎矩方程 為了形象地表示剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律 可以根據剪力方程和彎矩方程分別繪制剪力圖和彎矩圖 以沿梁軸線的橫坐標表示梁橫截面的位置 以縱坐標表示相應橫截面上的剪力或彎矩 在土建工程中 習慣上把正剪力畫在軸上方 負剪力畫在軸下方 而把彎矩圖畫在梁受拉的一側 即正彎矩畫在軸下方 負彎矩畫在軸上方 如圖8 11所示 圖8 11 例8 4如圖8 12 所示 一簡支梁受均布荷載作用 試畫出梁的剪力圖和彎矩圖 解 1 求支座反力 由對稱關系可得 2 列剪力方程和彎矩方程 取距A點 坐標原點 為處的任意截面 則梁的剪力方程和彎矩方程為 圖8 12 3 畫剪力圖和彎矩圖 根據這兩個截面的剪力值 畫出剪力圖 如圖8 12 所示 由式 2 知 是的二次函數 說明彎矩圖是一條二次拋物線 應至少計算三個截面的彎矩值 方可描繪出曲線的大致形狀 圖8 13 根據上述結果 畫出彎矩圖 如圖8 12 所示 從上面的剪力圖和彎矩圖中可得出結論 在均布荷載作用的梁段 剪力圖為斜直線 彎矩圖為二次拋物線 在剪力等于零的截面上彎矩有極值 例8 5如圖8 13 a 一簡支梁受集中荷載作用 試畫出梁的剪力圖和彎矩圖 解 1 求支座反力由梁的整體平衡得 2 列剪力方程和彎矩方程 梁在處有集中力作用 故段和段的剪力方程和彎矩方程不相同 要分段列出 段 在距端為的任意截面處將梁假想截開 并考慮左段梁平衡 則剪力方程和彎矩方程為 段 在距端為的任意截面處假想截開 并考慮左段的平衡 列出剪力方程和彎矩方程為 3 畫剪力圖和彎矩圖 根據剪力方程和彎矩方程畫剪力圖和彎矩圖 圖 段剪力方程 為常數 其剪力值為 剪力圖是一條平行于軸的直線 且在軸上方 段剪力方程 也為常數 其剪力值為 剪力圖也是一條平行于軸的直線 但在軸下方 畫出全梁的剪力圖 如圖8 13 b 所示 根據上述計算結果 可畫出段彎矩圖 段彎矩 也是的一次函數 彎矩圖仍是一條斜直線 由上面兩個彎矩值 畫出段彎矩圖 整梁的彎矩圖如圖8 13 c 所示 從上述剪力圖和彎矩圖中可得結論 1 在無荷載作用梁段 剪力圖為平行直線 彎矩圖為斜直線 2 在集中力作用處 左右截面上的剪力圖發(fā)生突變 其突變值等于該集中力的大小 突變方向與該集中力的方向一致 而彎矩圖出現轉折 即出現尖點 尖點方向與該集中力方向一致 例8 6如圖8 14 a 所示 一簡支梁受集中力偶作用 試畫出梁的剪力圖和彎矩圖 解 1 求支座反力由梁的整體平衡得 圖8 14 2 列剪力方程和彎矩方程 梁在截面處有集中力偶作用 應分兩段列出剪力方程和彎矩方程 段 在端為的截面處假想將梁截開 考慮左段梁平衡 則剪力方程和彎矩方程為 1 2 段 在端為的截面處假想將梁截開 考慮左段梁平衡 則列出剪力方程和彎矩方程為 3 畫剪力圖和彎矩圖 圖 由式 1 3 式可知 梁在段和段剪力都是常數 其值為 故剪力是一條在軸上方且平行于軸的直線 畫出剪力圖如圖8 14 b 所示 3 4 圖 由式 2 4 式可知 梁在段和段內彎矩都是的一次函數 故彎矩圖是兩段斜直線 畫出彎矩圖如圖8 14 c 所示 由上述內力圖可得出結論 梁在集中力偶作用處 左右截面上的剪力無變化 而彎矩出現突變 其突變值等于該集中力偶矩 第四節(jié)利用微分關系繪制內力圖 一 剪力 彎矩和荷載集度三者之間的微分關系 上一節(jié)從直觀上總結出剪力圖 彎矩圖的一些規(guī)律和特點 現進一步討論剪力圖 彎矩圖與荷載集度三者之間的關系 如圖8 15 a 所示 梁上作用有任意的分布荷載 設 以向上為正 現取分布荷載作用下的一微段作為研究對象 如圖8 15 b 所示 圖8 15 考慮微段的平衡 由得 整理得 8 4 1 得結論一 梁上任意一橫載面上的剪力對的一階導數等于作用在該截面處的分布荷載集度 這一微分關系的幾何意義是 剪力圖上某點切線的斜率等于相應截面處的分布荷載集度 再由得 經過整理得 8 4 2 結論二 梁上任一橫截面上的彎矩對的一階導數等于該截面上的剪力 這一微分關系的幾何意義是 彎矩圖上某點切線的斜率等于相應截面上剪力 將式 8 4 2 兩邊求導 可得 8 4 3 結論三 梁上任一橫截面處的彎矩對的二階導數等于該截面處的分布荷載集度 這一微分關系的幾何意義是 彎矩圖上某點的曲率等于相應截面處的荷載集度 因此可以由分布荷載集度的正負來確定彎矩圖的凹凸方向 二 用微分關系法繪制剪力圖和彎矩圖 利用彎矩 剪力與荷載集度之間的微分關系及其幾何意義 可總結出下列一些規(guī)律 以用來校核或繪制梁的剪力圖和彎矩圖 1 無荷載梁段 即時 彎矩圖是一條斜直線 2 均布荷載梁段 即常數時 是的二次函數 即彎矩圖為二次拋物線 這時可能出現兩種情況 時 拋物線下凹 時 拋物線上凸 如圖8 16所示 圖8 16 利用上述荷載 剪力和彎矩三者之間的微分關系及規(guī)律 可更簡捷地繪制梁的剪力圖和彎矩圖 其步驟如下 1 分段 即根據梁上外力及支座等情況將梁分成若干段 2 根據各段梁上的荷載情況 判斷其剪力圖和彎矩圖的大致形狀 3 利用計算內力的簡便方法 直接求出若干控制截面上的值和值 4 根據值和值逐段直接繪出梁的剪力圖和彎矩圖 例8 7一外伸梁 梁上荷載如圖8 17 a 所示 已知 利用微分關系繪出梁的剪力圖和彎矩圖 解 1 求支座反力 圖8 17 2 根據梁上的外力情況將梁分為 和三段 3 計算控制截面剪力 畫剪力圖如圖8 17 b 所示 4 計算控制截面彎矩 畫彎矩圖如圖8 17 c 所示 例8 8一簡支梁 尺寸及梁上荷載如圖8 18 a 所示 利用微分關系繪出此梁的剪力圖和彎矩圖 解 1 求支座反力 2 根據梁上的荷載情況 將梁分為和兩段 逐段畫出內力圖 圖8 18 3 計算控制截面剪力 畫剪力圖如圖8 18 b 所示 4 計算控制截面彎矩 畫彎矩圖如圖8 18 c 所示 一 疊加原理由于在小變形條件下 梁的內力 支座反力 應力和變形等參數均與荷載呈線性關系 圖8 19每一荷載單獨作用時引起的某一參數不受其他荷載的影響 所以 當梁在個荷載共同作用下所引起的某一參數 內力 支座反力 應力和變形等 等于梁在各個荷載單獨作用時所引起的同一參數的代數和 這種關系稱為疊加原理 圖8 19 第五節(jié)疊加法畫彎矩圖 圖8 19 二 用疊加法畫彎矩圖根據疊加原理來繪制梁的內力圖的方法稱為疊加法 由于剪力圖一般比較簡單 因此不用疊加法繪制 下面只介紹用疊加法作梁的彎矩圖 其方法為 先分別作出梁在每一個荷載單獨作用下的彎矩圖 然后將各彎矩圖中同一截面的彎矩代數相加 即可得到梁在所有荷載共同作用下的彎矩圖 例8 9試用疊加法畫出圖8 20所示簡支梁的彎矩圖 圖8 20 解 1 先將梁上荷載分為集中力偶和均布荷載兩組 2 分別畫出和單獨作用時的彎矩圖 圖8 20b c 然后將這兩個彎矩圖相疊加 疊加時 是將相應截面的縱坐標代數相加 例8 10用疊加法畫出圖8 21所示簡支梁的彎矩圖 解 1 先將梁上荷載分為兩組 其中集中力偶和為一組 集中力為一組 2 分別畫出兩組荷載單獨作用下的彎矩圖 圖8 21b c 然后將這兩個彎矩圖相疊加 圖8 21 第六節(jié)梁的彎曲應力 一 梁橫截面上的正應力 一 純彎曲時梁橫截面上的正應力1 純彎曲如圖8 22所示為一矩形截面簡支梁 在給定荷載作用下 在梁的段上 各截面的彎矩為一常數 剪力為零 此段梁只發(fā)生彎曲變形而沒有剪切變形 2 非純彎曲在梁的 段上 各截面不僅有彎矩 還有剪力的作用 產生彎曲變形的同時 伴隨有剪切變形 本節(jié)將推導純彎曲情況下梁的正應力計算公式 1 實驗現象 梁變形后 可看到下列變形現象 1 駛所有的縱向線都變成為相互平行的曲線 且靠上部的縱向線縮短 靠下部的縱向線伸長 2 所有的豎直線仍保持為直線 且仍與縱向線正交 只是相對傾斜了一個角度 3 原來的矩形截面 變形后上部變寬 下部變窄 根據上述實驗現象 我們作如下分析 根據現象 2 梁橫截面周邊的所有橫線仍保持為直線 且與縱向曲線垂直 于是可以推斷 變形后 梁的橫截面仍為垂直于軸線的平面 此推斷稱為平面假設 它是建立梁橫截面上的正應力計算公式的基礎 根據現象 1 若設想梁是由無數縱向纖維所組成 由于靠上部纖維縮短 靠下部纖維伸長 則由變形的連續(xù)性可知 中間必有一層纖維既不伸長也不縮短 我們稱此層為中性層 中性層與橫截面的交線稱為中性軸 圖8 24 根據現象 1 3 中性層下部縱向纖維伸長而截面的寬度減小 上部縱向纖維縮短而截面的寬度增大 這一變形現象表示梁的上部受壓 下部受拉 若假設各縱向纖維間無相互擠壓 則各縱向纖維只產生單向拉伸或壓縮 圖8 24 2 正應力計算公式 根據上面的分析 我們來進一步推導梁的正應力計算公式 1 幾何方面 縱向纖維的線應變?yōu)?a 2 物理方面 假設縱向纖維受單向拉伸或壓縮 所以 當正應力不超過材料的比例極限時 由虎克定律可得 b 對于指定的橫截面 是常數 所以 b 式表明 正應力與距離成正比 即正應力沿截面高度按直線規(guī)律變化 圖8 26 中性軸上各點處的正應力等于零 距中性軸最遠的上 下邊緣處的正應力最大 3 靜力學方面 上面雖已找到了正應力的分布規(guī)律 但還不能直接按 b 式計算正應力 這是因為曲率半徑以及中性軸的位置均未確定 這可以通過靜力學方面來解決 對于圖8 27所示梁的一個橫截面 其微面積上的法向微內力組成一空間平行力系 因為橫截面上沒有軸力 只有位于梁對稱平面內的彎矩 所以 各微內力沿軸方向的合力為零 即 c 各微內力對中性軸的矩的和等于截面彎矩 即 d 將式 b 代入式 c 得 因為 0 所以必有 式中為截面形心的坐標 因為截面積 O 則必有 此式說明中性軸必通過截面的形心 這樣 中性軸的位置便確定了 將式 b 代入式 d 得 式中 是與截面形狀和尺寸有關的幾何量 稱為截面對軸的慣性矩 故 e 式 e 可確定中性層的曲率 式中稱為梁的抗彎剛度 梁的抗彎剛度愈大 曲率就愈小 即梁的彎曲變形就愈小 將 e 式代入 b 式 得 8 6 1 這就是梁橫截面上的正應力計算公式 例8 11長為的矩形截面懸臂梁 在自由端處作用一集中力 如圖8 28所示 已知 求C截面上K點的正應力 解 1 計算截面的彎矩 圖8 28 2 計算截面對中性軸的慣性矩 3 計算c截面上K點的正應力 二 梁橫截面上的剪應力 在工程中 大多數梁是在橫向力作用下發(fā)生剪切彎曲 剪切彎曲時橫截面上的內力不僅有彎矩 而且還有剪力 因此橫截面上除具有正應力外 還具有剪應力 由于剪應力的存在 就不能保證梁的橫截面在變形時保持為平面 也不能保證各縱向纖維間不互相擠壓 但試驗結果及彈性力學的理論分析表明 剪力的存在對正應力的影響很小 如果把純彎曲的正應力計算公式 8 6 1 用于剪切彎曲 其所產生的誤差非常小 并不影響工程計算的精度要求 因此 梁在剪切彎曲時其正應力仍采用公式 進行計算 至于梁的剪應力在橫截面上的分布情況 要比正應力復雜得多 剪應力公式的推導也是在某種假設前提下進行的 要根據截面的具體形狀 對剪應力的分布適當地作出一些假設 才能導出計算公式 本節(jié)只簡要地介紹幾種常見截面形式的剪應力計算公式和剪應力的分布情況 對于計算式將不進行推導 一 矩形截面梁的剪應力 8 6 2 式中 所求應力點的水平線到截面下 或上 邊緣間的面積對軸的靜矩 將上式及代入式 8 6 3 得 表明 剪應力沿截面高度按二次拋物線規(guī)律變化 圖8 29 c 在截面的上下邊緣 處的剪應力為零 在中性軸處 的剪應力最大 其值為 即矩形截面上的最大剪應力為截面上平均剪應力 的1 5倍 二 工字形截面梁的剪應力 工字形截面 由于翼緣上的豎向剪應力很小 計算時一般不予考慮 因此 我們也不作討論 對腹板上的剪應力 我們可以作和矩形截面相同的假設 導出與矩形截面梁的剪應力計算公式形式完全相同的公式 即 8 6 3 為所求應力點到截面邊緣間的面積 圖8 30 a 中陰影面積 對中性軸的靜矩 剪應力沿腹板高度的分布規(guī)律也是按拋物線規(guī)律變化的 如圖8 30 b 所示 其最大剪應力 中性軸上 和最小剪應力相差不多 接近于均勻分布 通過分析可知 對工字形截面梁剪力主要由腹板承擔 而彎矩主要由翼緣承擔 T字形截面也是工程中常用的截面形式 它是由兩個矩形截面組成 圖8 31 a 下面的狹長矩形與工字形截面的腹板類似 這部分上的剪應力仍用式 8 6 3 計算 剪應力的分布仍按拋物線規(guī)律變化 最大剪應力仍發(fā)生在中性軸上 如圖8 31 b 所示 例8 12一矩形截面簡支梁如圖8 32所示 已知 求截面上點的剪應力 圖8 32 解 1 求支座反力及截面上的剪力 2 計算截面的慣性矩及面積 對中性軸的靜矩分別為 3 計算截面上點的剪應力 第七節(jié)彎曲梁的強度計算 一 梁的正應力強度計算在橫向力的作用下 梁的橫截面一般同時存在彎曲正應力和彎曲剪應力 從應力分布規(guī)律可知 最大彎曲正應力發(fā)生在距中性軸最遠的位置 最大彎曲剪應力發(fā)生在中性軸處 為了保證梁能安全地工作 必須使梁內的最大應力不超過材料的容許應力 因此 對上述兩種應力應分別建立相應的強度條件 一 正應力強度條件梁內的最大正應力發(fā)生在彎矩最大的橫截面且距中性軸最遠的位置 該最大正應力的值為 所以 8 7 1 這就是梁的正應力強度條件 對矩形截面 圖8 33 a