西北工業(yè)大學(xué)彈性力學(xué)課件第二章.pps

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第二章應(yīng)力狀態(tài) 研究對(duì)象 三維彈性體微分單元體入手超靜定問題靜力平衡 幾何變形和本構(gòu)關(guān)系等三方面的條件本章從靜力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā) 討論一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 建立平衡微分方程和邊界條件 目錄 2 1體力和面力 2 2應(yīng)力與應(yīng)力張量 2 3二維應(yīng)力狀態(tài)與平衡微分方程 2 4應(yīng)力狀態(tài)的描述 2 5邊界條件 2 6主應(yīng)力與應(yīng)力主方向 2 7應(yīng)力球張量和球應(yīng)力偏張量 2 1體力和面力 物體外力 分為兩類體力面力體力和面力分別為物體單位體積或者單位面積的載荷 2 2應(yīng)力與應(yīng)力張量 內(nèi)力 外界因素作用下 物體內(nèi)部各個(gè)部分之間的相互作用力 附加內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)力矢量pn隨截面的法線方向n的方向改變而變化 應(yīng)力狀態(tài) 一點(diǎn)所有截面應(yīng)力矢量的集合 顯然 彈性體內(nèi)某確定點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力 應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài)分析 討論一點(diǎn)截面方位改變引起的應(yīng)力變化趨勢(shì) 應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于結(jié)構(gòu)強(qiáng)度是十分重要的 準(zhǔn)確描述應(yīng)力狀態(tài) 合理的應(yīng)力參數(shù) 為了探討各個(gè)截面應(yīng)力的變化趨勢(shì) 確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù) 通常將應(yīng)力矢量分解 2 2應(yīng)力2 應(yīng)力矢量沿坐標(biāo)分解 沒有工程意義正應(yīng)力和切應(yīng)力正應(yīng)力sn與切應(yīng)力tn與結(jié)構(gòu)強(qiáng)度關(guān)系密切根據(jù)截面方位不能完全確定切應(yīng)力應(yīng)力分量 應(yīng)力張量應(yīng)力張量可以描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài) 2 2應(yīng)力3 應(yīng)力張量 應(yīng)該注意 應(yīng)力分量是標(biāo)量箭頭僅是說明方向 2 2應(yīng)力4 2 3平衡微分方程 平衡物體整體平衡 內(nèi)部任何部分也是平衡的 對(duì)于彈性體 必須討論一點(diǎn)的平衡 微分平行六面體單元 平衡微分方程 切應(yīng)力互等定理 2 5平衡方程2 2 4應(yīng)力狀態(tài) 如果應(yīng)力張量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 則應(yīng)力張量可以描述其它應(yīng)力參數(shù) 坐標(biāo)變換與應(yīng)力張量關(guān)系 最大應(yīng)力及其方位的確定 公式表明 已知應(yīng)力張量 可以確定任意方位微分面的應(yīng)力矢量 當(dāng)然可以確定正應(yīng)力sn與切應(yīng)力tn 應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系 2 4應(yīng)力狀態(tài)2 應(yīng)力不僅隨位置改變而變化 而且隨截面方位改變而變化 同一點(diǎn)由于截面的法線方向不同 截面上的應(yīng)力也不同 討論應(yīng)力分量在坐標(biāo)變換時(shí)的變化規(guī)律 2 4應(yīng)力狀態(tài)3 任意斜截面的應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式 應(yīng)力分量滿足張量變化規(guī)則應(yīng)力張量為二階對(duì)稱張量轉(zhuǎn)軸公式表明 新坐標(biāo)系下的六個(gè)應(yīng)力分量可通過原坐標(biāo)系的應(yīng)力分量確定 應(yīng)力張量可以確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)軸后 應(yīng)力分量發(fā)生改變 但是作為整體所描述的應(yīng)力狀態(tài)沒有變化 2 4應(yīng)力狀態(tài)4 平面應(yīng)力狀態(tài)轉(zhuǎn)軸公式 彈性力學(xué)以坐標(biāo)系定義應(yīng)力分量 材料力學(xué)以變形效應(yīng)定義應(yīng)力分量 正應(yīng)力二者定義沒有差異而切應(yīng)力定義方向不同 2 4應(yīng)力狀態(tài)5 2 5邊界條件 彈性體的表面 應(yīng)力分量必須與表面力滿足面力邊界條件 維持彈性體表面的平衡 邊界面力已知 面力邊界Ss 面力邊界條件 確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系 2 5邊界條件2 面力邊界條件描述彈性體表面的平衡 平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部的平衡 這種平衡只是靜力學(xué)可能的平衡 真正處于平衡狀態(tài)的彈性體 還必須滿足變形連續(xù)條件 2 5邊界條件3 位移邊界條件邊界位移已知 位移邊界Su位移邊界條件就是彈性體表面的變形協(xié)調(diào)彈性體臨近表面的位移與已知邊界位移相等 2 5邊界條件4 混合邊界條件彈性體邊界S Ss Su部分邊界位移已知 位移邊界Su部分邊界面力已知 面力邊界Ss不論是面力邊界條件 位移邊界條件 還是混合邊界條件 任意邊界的邊界條件數(shù)必須等于3個(gè) 2 6主應(yīng)力與應(yīng)力主方向 轉(zhuǎn)軸公式描述了應(yīng)力隨坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)的變化規(guī)律結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析需要簡(jiǎn)化和有效的參數(shù) 最大正應(yīng)力 最大切應(yīng)力以及方位主應(yīng)力和主平面 應(yīng)力狀態(tài)分析重要參數(shù)應(yīng)力不變量 進(jìn)一步探討應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力和主平面主應(yīng)力分析 關(guān)于l m n的齊次線性方程組 非零解的條件為方程組的系數(shù)行列式等于零 即 2 6主應(yīng)力2 展開 其中 主元之和 代數(shù)主子式之和 應(yīng)力張量元素構(gòu)成的行列式 主應(yīng)力特征方程 2 6主應(yīng)力3 應(yīng)力狀態(tài)特征方程 確定彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向 主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于載荷 形狀和邊界條件等 與坐標(biāo)軸的選取無關(guān) 因此 特征方程的根是確定的 即I1 I2 I3的值是不隨坐標(biāo)軸的改變而變化的 I1 I2 I3分別稱為應(yīng)力張量的第一 第二和第三不變量 2 6主應(yīng)力4 特征方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根s1 s2 s3分別表示這三個(gè)根 代表某點(diǎn)三個(gè)主應(yīng)力 對(duì)于應(yīng)力主方向 將s1 s2 s3分別代入 和l2 m2 n2 1則可求應(yīng)力主方向 2 6主應(yīng)力5 主應(yīng)力和應(yīng)力主方向取決于結(jié)構(gòu)外力和約束條件 與坐標(biāo)系無關(guān) 因此特征方程的三個(gè)根是確定的 特征方程的三個(gè)根 即一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)數(shù) 根據(jù)三次方程性質(zhì)可以證明 任意一點(diǎn)三個(gè)應(yīng)力主方向是相互垂直的 三個(gè)應(yīng)力主軸正交的 應(yīng)力不變量性質(zhì) 坐標(biāo)系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量各分量變化 但應(yīng)力狀態(tài)不變 應(yīng)力不變量正是對(duì)應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述 2 6主應(yīng)力6 不變性實(shí)數(shù)性正交性 主應(yīng)力正交性證明 下面證明下述結(jié)論 1 若s1 s2 s3 特征方程無重根 應(yīng)力主軸必然相互垂直 2 若s1 s2 s3 特征方程有兩重根 s1和s2的方向必然垂直于s3的方向 而s1和s2的方向可以是垂直的 也可以不垂直 3 若s1 s2 s3 特征方程有三重根 三個(gè)應(yīng)力主軸可以垂直 也可以不垂直 任何方向都是應(yīng)力主軸 2 6主應(yīng)力7 設(shè)s1 s2 s3的方向分別為 l1 m1 n1 l2 m2 n2 和 l3 m3 n3 則 分別乘以l2 m2 n2 分別乘以 l1 m1 n1 六式相加 可得 2 6主應(yīng)力8 如果s1 s2 s3 3個(gè)應(yīng)力主方向相互垂直 如果s1 s2 s3 可以等于零 也可以不等于零 s3與s1和s2的方向垂直 而s1和s2的方向可以垂直或不垂直 s3的垂直方向都是s1和s2的應(yīng)力主向 2 6主應(yīng)力9 如果s1 s2 s3 則l1l2 m1m2 n1n2l2l3 m2m3 n2n3l1l3 m1m3 n1n3均可為零或者不為零 任何方向都是應(yīng)力主方向 因此問題可證 1 若s1 s2 s3 應(yīng)力主軸必然相互垂直 2 若s1 s2 s3 s1和s2必然垂直于s3 而s1和s2可以是垂直的 也可以不垂直 3 若s1 s2 s3 任何方向都是應(yīng)力主軸 2 6主應(yīng)力10 主應(yīng)力是一點(diǎn)所有微分面上最大或最小的正應(yīng)力 主應(yīng)力和主平面分析確定最大正應(yīng)力及其作用方位 最大切應(yīng)力的確定 討論任意截面正應(yīng)力和切應(yīng)力的變化趨勢(shì) 應(yīng)力圓 最大切應(yīng)力以及方位的確定 2 6主應(yīng)力11 正應(yīng)力和切應(yīng)力分析123應(yīng)力圓最大切應(yīng)力方位 2 6主應(yīng)力12 2 7應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量 應(yīng)力張量的分解應(yīng)力球量改變單元體體積 應(yīng)力偏量改變單元體形狀 八面體單元 2 7應(yīng)力分解2