九年級數(shù)學上冊 第二十六章 反比例函數(shù)課件 （新版）新人教版.ppt

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第二十六章反比例函數(shù) 26 1反比例函數(shù)26 1 1反比例函數(shù) 課前預習1 下列函數(shù)是反比例函數(shù)的是 A y B y C y x2 2xD y 4x 82 近視眼鏡的度數(shù)y 度 與鏡片焦距x m 成反比例 已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0 25m 則y與x的函數(shù)關系式為 A B C D 3 若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點 1 3 則其表達式為 4 已知y是x的反比例函數(shù) 當x 1時 y 20 則當x 4時 y B C 5 課堂精講知識點1反比例函數(shù)的定義1 定義 一般地 形如 為常數(shù) 的函數(shù)稱為反比例函數(shù) 還可以寫成2 反比例函數(shù)解析式的特征 1 等號左邊是函數(shù) 等號右邊是一個分式 分子是不為零的常數(shù) 也叫做比例系數(shù) 分母中含有自變量 且指數(shù)為1 2 比例系數(shù) 3 自變量的取值為一切非零實數(shù) 4 函數(shù)的取值是一切非零實數(shù) 例1 如果函數(shù) 0 是反比例函數(shù) 那么的值是多少 解析 由反比例函數(shù)的定義 得 解得答案 時函數(shù)為 變式拓展1 下列函數(shù) 其中是關于的反比例函數(shù)的有 知識點2根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關系式根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)的關系式的一般步驟 1 審題 探究問題中的等量關系 2 確定問題中的兩個變量 本別用字母表示 一般用x表示自變量 用y表示函數(shù) 3 列出反比例函數(shù)的關系式 例2 一個圓錐的體積是100cm3 求底面積S cm2 與高h cm 之間的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍 解析 本題考查了根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關系式 掌握圓錐的體積公式是解題的關鍵 圓錐的體積 底面積 高 把相關數(shù)值代入整理可求出底面積S cm2 與高h cm 之間的函數(shù)關系式 進而得到自變量的取值范圍 解 一個圓錐的體積是100cm3 底面積為S cm2 高為h cm Sh 100 S 100 h h表示圓錐的高 h 0 變式拓展2 用函數(shù)解析式表示下列問題中變量間的對應關系 一個游泳池的容積為2000m3 游泳池注滿水的時間t 單位 h 隨注水速度u m3 h 的變化而變化 解 由題意得ut 2000 整理得t 知識點3利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)的解析式 重點 利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟 1 設出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式 為常數(shù) 2 把已知一對 的值代入解析式 得到一個關于待定系數(shù)的方程 3 解這個方程求出待定系數(shù) 4 將所求的待定系數(shù)的值代回所設的函數(shù)解析式 例3 由下列條件求反比例函數(shù)的表達式 1 當 時 2 圖象經(jīng)過點 3 2 解析 設反比例函數(shù)的解析式為 把經(jīng)過的點的坐標代入解析式 利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可 解 1 設反比例函數(shù)的解析式為 當時 反比例函數(shù)解析式為 2 設反比例函數(shù)的解析式為 函數(shù)經(jīng)過點P 3 2 反比例函數(shù)解析式為 解析 設經(jīng)過C點的反比例函數(shù)的解析式是 設C 四邊形OABC是平行四邊形 BC OA BC OA A 4 0 B 3 3 點C的縱坐標是 3 3 4 0 1 C 1 3 點C在反比例函數(shù) 的圖象上 解得 解析式是 例4 如圖 A 4 0 B 3 3 以AO AB為邊作平行四邊形OABC 則經(jīng)過C點的反比例函數(shù)的解析式為 解 把代入 得 反比例函數(shù)的解析式為 隨堂檢測1 函數(shù)是 A 一次函數(shù)B 二次函數(shù)C 反比例函數(shù)D 正比例函數(shù) C 2 已知點 3 1 是雙曲線 上一點 則下列各點中不在該圖象上的是 A 9 B 3 1 C 1 3 D 6 3 已知一個矩形的面積為2 兩條邊的長度分別為x y 則y與x的函數(shù)關系式為 4 已知y與x成反比例 當x 2時 y 1 則y與x間的函數(shù)關系式為 B 5 2014梅州 已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點M 2 1 1 求該函數(shù)的表達式 2 當2 4時 求y的取值范圍 直接寫出結果 解 1 反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點M 2 1 2 1 2 該函數(shù)的表達式為 2 26 1 2反比例函數(shù)的圖像和性質 1 課前預習1 反比例函數(shù)的大致圖象是 A B C D 2 對于反比例函數(shù)y 下列說法正確的是 A 圖像經(jīng)過點 1 3 B 圖像在第二 四象限C x 0時 y隨x的增大而增大D x 0時 y隨x的增大而減小 B D 3 已知反比例函數(shù)的圖象在第象限內 4 反比例函數(shù) 的圖象是關于對稱的圖形 填寫軸對稱或中心對稱 5 函數(shù)中自變量的取值范圍是 二 四 原點 中心對稱 課堂精講知識點1反比例函數(shù)圖像的畫法反比例函數(shù)的圖像是雙曲線 它有兩個分支 這兩個分支分別位于第一 第三象限或第二 第四象限 它們關于原點對稱 由于反比例函數(shù)中自變量x 0 函數(shù)值y 0 所以它的圖像與x軸 y軸都沒有交點 即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸 但永遠不與坐標軸相交 反比例函數(shù)圖像的畫法 描點法 1 列表 自變量的取值應以O為中心 沿O的兩邊取三對 或三對以上 互為相反數(shù)的數(shù) 2 描點 以表中各對對應值為坐標 畫出各點 3 連線 按照從左到右的順序連接各點并延伸 注意雙曲線的兩個分支是斷開的 延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢 但永遠不與坐標軸相交 4 在圖像上注明函數(shù)的關系式 例1 試按要求填空 并作圖 1 請用描點法在直角坐標系上畫出的函數(shù)圖象 2 點在的函數(shù)圖象上嗎 為什么 解析 1 分別計算 4 3 4時的函數(shù)值 然后在坐標系中描點畫函數(shù)圖象 2 根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征進行判斷 解 1 如圖 2 點在的函數(shù)圖象上 變式拓展1 已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點 3 2 1 求的值 2 在如圖所示的正方形網(wǎng)格中畫出這個函數(shù)的圖象 解 1 把點 3 2 代入 得 解得 2 由 1 知 該反比例函數(shù)為 即該反比例函數(shù)圖象上點的橫 縱坐標的乘積為 6 其圖象如圖所示 知識點2反比例函數(shù)的圖像與性質反比例函數(shù)的圖像是雙曲線 其圖像和性質如下表 例2 2014 天水 已知函數(shù)的圖象如圖 以下結論 在每個分支上隨的增大而增大 若點A 1 a 點B 2 b 在圖象上 則a b 若點P x y 在圖象上 則點P1 x y 也在圖象上 其中正確的個數(shù)是 A 4個B 3個C 2個D 1個 解析 利用反比例函數(shù)的性質及反比例函數(shù)的圖象上的點的坐標特征對每個小題逐一判斷后即可確定正確的選項 根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的兩個分支 例3 2014涼山州 函數(shù)y mx n與y 其中m 0 n 0 那么它們在同一坐標系中的圖象可能是 A B C D 分別位于二 四象限 可得 故正確 在每個分支上隨的增大而增大 正確 若點A 1 a 點B 2 b 在圖象上 則a b 錯誤 若點P x y 在圖象上 則點P1 x y 也在圖象上 正確 答案 B 解析 A 函數(shù)y mx n經(jīng)過第一 二 四象限 m 0 n 0 nm 0 函數(shù)y 的圖象經(jīng)過第二 四象限 與圖示圖象不符 故本選項錯誤 B 函數(shù)y mx n經(jīng)過第一 三 四象限 m 0 n 0 nm 0 函數(shù)y 的圖象經(jīng)過第二 四象限 與圖示圖象一致 故本選項正確 C 函數(shù)y mx n經(jīng)過第一 三 四象限 m 0 n 0 nm 0 函數(shù)y 的圖象經(jīng)過第二 四象限 與圖示圖象不符 故本選項錯誤 D 函數(shù)y mx n經(jīng)過第二 三 四象限 m 0 n 0 nm 0 函數(shù)y 的圖象經(jīng)過第一 三象限 與圖示圖象不符 故本選項錯誤 答案 B 變式拓展2 下列關于反比例函數(shù)的三個結論 它的圖象經(jīng)過點 7 3 它的圖象在每一個象限內 隨的增大而減小 它的圖象在二 四象限內 其中正確的是 1 2 4421 隨堂檢測1 先填表 再畫出反比例函數(shù)的函數(shù)圖象 3 2014 泉州 在同一平面直角坐標系中 函數(shù)y mx m與y m 0 的圖象可能是 A B C D A 2 已知反比例函數(shù)的圖像在第二 四象限 則a的取值范圍是 A a 2B a 2C a 2D a 23 2015 溫州模擬 在同一坐標系中 水平方向是軸 函數(shù)和的圖象大致是 A B C D A A 4 2015 廣東模擬 已知 0 則函數(shù)和的圖象大致是 A B C D 5 如果反比例函數(shù)的圖象過點 1 2 那么它在每個象限內y隨x的增大而 6 寫出一個實數(shù)的值 使得反比例函數(shù)的圖象在二 四象限 A 增大 1 26 1 3反比例函數(shù)的圖像和性質 2 課前預習1 已知點M 1 m 和點N 2 n 是反比例函數(shù)圖象上的兩點 則m與n的大小關系是 A m nB m nC m nD 以上都不對2 如圖所示 點P是反比例函數(shù)圖象上一點 過點P分別作軸 軸的垂線 如果構成的矩形面積是4 那么反比例函數(shù)的解析式是 A B C D A C 3 點 1 2 在函數(shù)的圖象上 則 填 或 或 4 如圖 點A在反比例函數(shù)的圖象上 AB 軸于點B 且 AOB的面積為2 則 課堂精講知識點1比較反比例函數(shù)的大小 4 例1 在函數(shù)的圖象上有三點A 2 B 1 C 2 則 A B C D 解析 A B同在第二象限 隨的增大而增大 C在第四象限 縱坐標最小 2 1 0 2 0 C在第四象限 最小 答案 B 變式拓展1 已知兩點 在函數(shù)的圖象上 當 0時 下列結論正確的是 A 0B 0C 0D 0 知識點2反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義如圖所示 經(jīng)過雙曲線上任意一點 分別作軸 軸的垂線PM PN 則 即過雙曲線上任意一點作軸 軸的垂線 所得的矩形面積為 如圖所示 過雙曲線上任意一點E作EF垂直其中一標軸 垂足為F 連接EO 則 即過雙曲線上任意一點作一坐標軸的垂線 連接該點與原點 所得的三角形的面積為 例2 如圖 過反比例函數(shù)圖象上一點P向 軸分別作垂線段 垂足分別為M N 已知矩形PMON的面積為6 1 直接寫出反比例函數(shù)解析式 2 已知Q 2 m 在此圖象上 求m 解析 1 根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義易得 6 則反比例函數(shù)解析式為 2 根據(jù)反比例函數(shù)圖象的坐標特征得到 2m 6 然后解一次方程即可 解 1 6 而 0 6 反比例函數(shù)解析式為 2 把Q 2 m 代入得 2m 6 解得m 3 變式拓展2 如圖 四邊形OABC是矩形 ADEF是正方形 點A D在軸的正半軸上 點C在軸的正半軸上 點F在AB上 點B E在反比例函數(shù)的圖象上 OA 1 OC 6 則正方形ADEF的面積為 A 2B 4C 6D 12 B 隨堂檢測1 已知A 1 B 2 兩點在雙曲線上 且 則m的取值范圍是 A m 0B m 0C m D m 2 A B兩點是反比例函數(shù)的圖象上關于原點對稱的兩點 AC 軸 BC 軸 則 ABC的面積S為 A S 1B 1 S 2C S 2D S 2經(jīng)過一 三象限 點 1 2 在函數(shù)的圖象上 則 比大小 D C 4 如圖 點P為反比例函數(shù)的圖象上 過點P分別向軸 軸引垂線 垂足分別為A B 則矩形PAOB的面積為 5 課前預習1 已知三角形的面積是定值S 則三角形的高h與底a的函數(shù)關系式是h 這時h是a的 2 有一面積為60的梯形 其上底長是下底長的 若下底長為x 高為y 則y與x的函數(shù)關系是 3 一定質量的松桿 當它的體積V 2時 它的密度 0 5 103kg 則與V的函數(shù)關系為 26 2實際問題與反比例函數(shù) 反比例函數(shù) 4 小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭 已知阻力和阻力臂不變 分別為1200N和0 5m 那么動力F和動力臂之間的函數(shù)關系式是 課堂精講知識點1利用反比例函數(shù)知識解決實際問題利用反比例函數(shù)解決實際問題 我們應該抽象概括它的本質特征 將其數(shù)學化 形式化 形成數(shù)學模型 根據(jù)已知條件寫出反比例函數(shù)的關系式 并能把實際問題反映在函數(shù)的圖像上 結合圖像和性質解決實際問題 整體流程如下 利用反比例函數(shù)解決實際問題的關鍵是求出函數(shù)解析式 一般地 建立反比例函數(shù)解析式有以下兩種方法 1 待定系數(shù)法 若題目提供的信息中明確此函數(shù)為反比例函數(shù) 則可設反比例函數(shù)解析式為 k 0 然后求出k的值即可 2 列方程法 若題目信息中變量之間的函數(shù)關系不明確 在這種情況下 通常是列出關于函數(shù) y 和自變量 x 的方程 進而解出函數(shù) 便得到函數(shù)解析式 例1 2012春 漯河校級期中 某小區(qū)要種植一個面積為3500m2的矩形草坪 已知草坪的長y m 隨寬x m 的變化而變化 可用函數(shù)的表達式表示為 A xy 3500B x 3500yC D 解析 本題考查根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關系式 因為在長方形中長 面積 寬 根據(jù)此可列出函數(shù)式 已知草坪的長y m 隨寬x m 的變化而變化 答案 C 例2 某村利用秋冬季節(jié)興修水利 計劃請運輸公司用90 150天 含90與150天 完成總量300萬米3的土石方運送 設運輸公司完成任務所需的時間為y 單位 天 平均每天運輸土石方量為x 單位 萬米3 請寫出y關于x的函數(shù)關系式并給出自變量x的取值范圍 解析 本題考查了根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關系式 現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量 解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關系 然后利用待定系數(shù)法求出它們的關系式 利用 每天的工作量 天數(shù) 土石方總量 可以得到兩個變量之間的函數(shù)關系 解 由題意得 把 90代入 得 把 150代入 得 所以自變量的取值范圍為 2 答案 2 變式拓展 1 如果等腰三角形的底邊長為 底邊上的高為 則它的面積為定值時 與的函數(shù)關系為 A B C D 2 某種大米單價是y元 千克 若購買x千克花費了2 2元 則y與x的表達式是 C 知識點2物理學中的反比例函數(shù)問題在與數(shù)學聯(lián)系密切的物理中 存在大量的成反比例函數(shù)關系的量 凡是成反比例關系的兩個物理量 都可以用反比例函數(shù)解決 特別地 在求反比例函數(shù)的關系式時 要注意自變量的取值范圍 特別要考慮實際情況 例2 已知 力F所做的功是15焦耳 則力F與物體在力的方向上通過的距離S之間的函數(shù)關系圖像大致是圖中的 解析 F與S之間的函數(shù)關系式為 是反比例函數(shù) 又知F和S都是正數(shù) 故圖像是雙曲線 且在第一象限 故選B 答案 B 變式拓展3 某閉合電路中 電源的電壓為定值 電流 A 與電阻 成反比例 圖表示的是該電路中電流與電阻之間函數(shù)關系的圖象 則用電阻表示電流的函數(shù)解析式為 A B C D C 隨堂檢測1 用規(guī)格為50cm 50cm的地板磚密鋪客廳恰好需要60塊 如果改用規(guī)格為cm cm的地板磚y塊也恰好能密鋪該客廳 那么與之間的關系為 A B C D 2 某氣球內充滿了一定質量的氣體 當溫度不變時 氣球內氣體的氣壓p kPa 是氣體體積V m3 的反比例函數(shù) 如圖所示 則用氣體體積V表示氣壓p的函數(shù)解析式為 A B C D A C 3 蓄電池電壓為定值 使用此電源時 電流 安 與電阻 歐 之間關系圖象如圖所示 若點在圖象上 則與 0 的函數(shù)關系式是 4 寫出函數(shù)解析式表示下列關系 并指出它們各是什么函數(shù) 1 體積是常數(shù)時 圓柱的底面積與高的關系 2 柳樹鄉(xiāng)共有耕地面積 單位 該鄉(xiāng)人均耕地面積 單位 人 與全鄉(xiāng)總人口的關系 解 1 由題意可得 2 由題意可得 均為反比例函數(shù) 拓展反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用 課前預習1 在同一坐標系中 水平方向是軸 函數(shù)和的圖象大致是 A B C D 2 已知直線與反比例函數(shù)的圖象的一個交點為P a 2 則a的值為 A 2B C 2D A A 3 在同一平面直角坐標系中 若一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象沒有公共點 則的值可以是 2 課堂精講知識點反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用判斷正比例函數(shù)和反比例函數(shù)在同一直角坐標系中的交點個數(shù)可總結為 當與同號時 正比例函數(shù)和反比例函數(shù)在同一直角坐標系中有2個交點 當與異號時 正比例函比例函數(shù)和反比例函數(shù)在同一直角坐標系中有0個交點 例1 在同一直角坐標系中 一次函數(shù)與反比例函數(shù) 的圖象大致是 例2 如圖 Rt ABO的頂點A是雙曲線與直線在第二象限的交點 AB 軸于B且 1 求這兩個函數(shù)的解析式 2 A C的坐標分別為 1 3 和 3 1 求 AOC的面積 解析 1 根據(jù)反比例函數(shù)的系數(shù)的幾何意義得到 再根據(jù)反比例函數(shù)的性質可得 3 然后分別代入反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式 即可確定兩函數(shù)的解析式 2 設直線與軸交于點D 則D點坐標為 2 0 然后利用進行計算 解 1 而 0 3 反比例函數(shù)的解析式為 一次函數(shù)的解析式為 2 設直線與軸交于點D 則D點坐標為 2 0 如圖 2 3 2 1 4 變式拓展1 函數(shù)與 在同一坐標系中的圖象的位置可能是 A B C D B 2 如圖 一次函數(shù)y kx b的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A B兩點 1 根據(jù)圖象 求出兩函數(shù)解析式 2 說出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時x的取值范圍 解析 1 先把B 4 3 代入得到m的值 確定反比例函數(shù)解析式 再確定A點坐標 然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式 2 觀察函數(shù)圖象得到當 6 x 0或x 4時 一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象上方 即一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值 解 1 把B 4 3 代入得m 3 4 12 所以反比例函數(shù)的解析式為 把x 6代入得y 2 所以A點坐標為 6 2 把A 6 2 和B 4 3 代入y kx b得 6a b 2 4a b 3 解得a b 1 所以一次函數(shù)的解析式為y x 1 2 觀察函數(shù)圖象得到當 6 x 0或x 4時 一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象上方 即一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值 所以當 6 x 0或x 4時 一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值 隨堂檢測1 如圖 在平面直角坐標系中 反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y2 kx b的圖象交于A B兩點 若y1 y2 則x的取值范圍是 A 1 x 3B x 0或1 x 3C 0 x 1D x 3或0 x 1第1題第2題2 如圖 正比例函數(shù)y 2x的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A B兩點 其中 點A的橫坐標為 則點B的坐標為 B 3 已知 如圖 在平面直角坐標系xOy中 直線AB與x軸交于點A 2 0 與反比例函數(shù)在第一象限內的圖象的交于點B 2 n 連接BO 若 1 求該反比例函數(shù)的解析式和直線AB的解析式 2 若直線AB與y軸的交點為C 求 OCB的面積 4 如圖 在直角坐標系xOy中 反比例函數(shù)圖象與直線y x 2相交于橫坐標為3的點A 1 求反比例函數(shù)的解析式 2 如果點B在直線y x 2上 點C在反比例函數(shù)圖象上 BC x軸 BC 4 且BC在點A上方 求點B的坐標 3 解 1 由A 2 0 得OA 2 點B 2 n 在第一象限內 OA n 4 n 4 點B的坐標是 2 4 設該反比例函數(shù)的解析式為 a 0 將點B的坐標代入 得4 a 8 反比例函數(shù)的解析式為設直線AB的解析式為y kx b k 0 將點A B的坐標分別代入 得 2k b 0 2k b 4解得k 1 b 2 直線AB的解析式為y x 2 2 在y x 2中 令x 0 得y 2 點C的坐標是 0 2 OC 2 S OCB OC 2 2 2 2 4 解 1 設點A的坐標為 3 n 代入直線y x 2 得n 3 2 1 點A的坐標為 3 1 設反比例函數(shù)的解析式為 k 0 將點A坐標代入 得 k 3 反比例函數(shù)的解析式為 2 BC x軸又由y x 2得x y 2 得 可設點B的坐標為 y 點C的坐標為 y 2 y BC 4 且BC在點A的上方 y 2 4解得y 3或 1 舍去 將y 3代入直線y x 2 得x 5 點B的坐標為 5 3