《幾何與代數(shù)》科學出版社第六章二次型與二次曲面.ppt

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幾何與代數(shù) 主講 關(guān)秀翠 東南大學數(shù)學系 東南大學線性代數(shù)課程 教學內(nèi)容和學時分配 第六章二次型與二次曲面 一 二次型及其矩陣表示 二 用正交變換化實二次型為標準形 三 用配方法化實二次型為標準形 實對稱陣的正交相似對角化問題 f x xTAx 標準形g y yT y 旋轉(zhuǎn)變換保持夾角距離不變 幾何形狀不變 仿射變換時幾何形狀可能改變 可逆線性變換下的不變量 r f p f q f 標準形不唯一 但規(guī)范形唯一 6 1二次型 第六章二次型與二次曲面 f x xTAx Py TA Py yT PTAP y yT y g y 尋求可逆矩陣P 使得 即尋求可逆的線性變換x Py 使得 PTAP AT A A與 合同 定義 對于方陣A B 若存在可逆矩陣P 使得PTAP B 則稱A與B相合或合同 定理5 7 設(shè)A是實對稱陣 正交矩陣Q使得Q 1AQ QTAQ是對角矩陣 6 1二次型 第六章二次型與二次曲面 定理6 1 實對稱矩陣與對角矩陣合同 定義 對于方陣A B 若存在可逆矩陣P 使得PTAP B 則稱A與B相合或合同 性質(zhì) 矩陣間的相合關(guān)系也是一種等價關(guān)系 1 反身性 A ETAE 對稱性 傳遞性 A B相合 B C相合 則A C相合 PTAP B A PT 1BP 1 P 1 TBP 1 五 方陣的合同 定義 對于方陣A B 若存在可逆矩陣P 使得PTAP B 則稱A與B相合或合同 相合的實對稱陣的最簡形 PTAP 不變量 秩 正負慣性指數(shù) n階實對稱陣A B相合 正負慣性指數(shù)相同 規(guī)范形 規(guī)范形相同 定理6 1 實對稱矩陣與對角矩陣合同 性質(zhì) 矩陣間的相合關(guān)系也是一種等價關(guān)系 6 1二次型 第六章二次型與二次曲面 PTAP 不變量 秩 正負慣性指數(shù) 實對稱陣相合 正負慣性指數(shù)相同 命題 A B相合 A是對稱陣 則B也是對稱陣 PTAP B 證明 A B相合 則存在可逆陣P 使得 BT PTATP PTAP B 對稱 1 2 例6 相合的實對稱陣的最簡形 規(guī)范形相同 6 1二次型 第六章二次型與二次曲面 等價關(guān)系匯總 相抵 相似 四種等價關(guān)系之間的相互關(guān)系 相合 正交相似 PTAP 不變量 秩 正負慣性指數(shù) 實對稱陣相合 正負慣性指數(shù)相同 相合的實對稱陣的最簡形 規(guī)范形相同 實對稱陣相似必相合 實對稱陣相合必相似 相似的不變量 秩 特征值 跡 行列式 實對稱陣相似 特征值同 p q同 必相合 反之不然 Rn n Rm n 相抵 相似 正交相似 Rn n 實對稱 相抵標準形 為初等陣 i為特征值 秩 特征值 跡 行列式 秩 相合 Rn n r f p A q A 對稱性 秩 實對稱 若A可相似對角化 實對稱陣相似 特征值同 p q同 必相合 反之不然 等價關(guān)系匯總 相似的不變量 秩 特征值 跡 行列式 實對稱陣相合的不變量 秩 正負慣性指數(shù) 規(guī)范形 對稱性 相抵的不變量 秩 例7 B C D F F 由跡為1排除法只有F 由對稱性排除剩下B C B C 由秩為1確定 特征值也為0 2 p 1 q 0 F有兩個不同的特征值0 1 特征值中正項 負項的個數(shù) 例8設(shè) 問A B C哪些相似 哪些合同 解 1 A是對角陣 B是上三角陣 且有3個互異特征值與A相同 所以B可以相似對角陣化為A 即A與B相似 2 因為A是對角陣 所以與A合同的矩陣必是對稱陣 而B不是對稱陣 A與B不合同 3 得 C又是實對稱矩陣 陣使 故C與A即相似又合同 再由傳遞性知C與B也相似 但C與B不合同 因為C是對稱陣 與對稱陣合同的矩陣必是對稱陣 而B不是對稱陣 所以C與B不合同 第六章二次型與二次曲面 六 正定二次型與正定矩陣 1 定義 設(shè)實二次型f x xTAx滿足對Rn中任何非零向量x 有f x 0 則稱之為正定二次型 稱A為正定矩陣 若對Rn中任何非零向量x 有f x 0 則稱之為負定二次型 稱A為負定矩陣 注1 正定 負定 矩陣必為實對稱矩陣 對任何x 注2 x xi 0 并不是 xi 0 注3 f x a11x12 a22x22 annxn2正定 aii 0 i 1 2 n 6 1二次型 第六章二次型與二次曲面 6 2慣性定理與正定二次型 1 正定二次型f x xTAx滿足 x 有f x 0 2 性質(zhì) 命題3 同階正定矩陣的和仍為正定矩陣 命題1 可逆線性變換不改變二次型的正定性 x f x xTAx 0 x Py P可逆 y P 1x g y yT PTAP y xTAx 0 命題2 相合的實對稱矩陣的正定性也相同 A B正定 則 x xTAx 0 xTBx 0 A B T AT BT A B x xT A B x xTAx xTBx 0 A B正定 A B實對稱 設(shè)A B正定 第六章二次型與二次曲面 6 2慣性定理與正定二次型 定理6 4 設(shè)A為n階實對稱陣 則下列命題等價 1 A是正定矩陣 2 A的正慣性指數(shù)為n 3 A的特征值均大于零 4 A與E相合 5 存在可逆陣P 使得A PTP 例9 設(shè)實對稱矩陣A滿足A2 3A 2E O 證明A是正定的 負定 q n i 0 A與 E相合 A PTP 存在可逆陣P 使得A PTP 推論 設(shè)A是正定矩陣 則 A 0 trA 0 證明 設(shè) 為A的特征值 則 2 3 2 0 1或2 因此A的所有可能特征值均大于零 所以A正定 第六章二次型與二次曲面 6 2慣性定理與正定二次型 例10 設(shè)A是正定的n階實對稱矩陣 證明A E的跡大于n 證明 因為A是正定的n階實對稱矩陣 所以A的n個特征值 1 n均大于零 是A的特征值 f f 是f A 的特征值 A E的特征值為 i 1 i 1 n A 2E的特征值為 i 2 i 1 n 第六章二次型與二次曲面 6 2慣性定理與正定二次型 證明2 因為A是正定的n階實對稱矩陣 所以A的n個特征值 1 n均大于零 則Q 1 A E Q E 例10 設(shè)A是正定的n階實對稱矩陣 證明A E的跡大于n 則Q 1 A 2E Q 2E 6 1二次型 第六章二次型與二次曲面 則 0 a11 0 0 6 1二次型 第六章二次型與二次曲面 則 a11 0 第六章二次型與二次曲面 6 2慣性定理與正定二次型 定理6 4 n階實對稱矩陣A是正定矩陣 A的各階順序主子式 1 a11 均大于零 n A 故A不是正定的 實對稱陣A負定 各階順序主子式負正相間 A也不是負定的 1 2 0 求參數(shù)t的范圍 使下列二次型正定 解二次型的矩陣為 例12 A正定 A的各階順序主子式 i 0 即 當 2 t 1時A正定 設(shè)A Rm n 證明ATA正定 r A n 證 n r ATA r A n r A n 由 ATA T ATA知ATA是n階實對稱陣 由r A n知 齊次方程組Ax 只有零解 所以實二次型xTATAx正定 故ATA正定 若ATA正定 則 ATA 0 例13 而且 例14 假設(shè)A B都是n階實對稱矩陣 A的特征值均大于a B的特征值均大于b 證明 A B的特征值均大于a b 證明 A是n階實對稱陣 于是 1 a n a 0 為A aE的特征值 則存在n階正交陣Q使得 Q 1AQ diag 1 n 特征值 i a i 1 n 所以A aE是正定陣 是A的特征值 f f 是f A 的特征值 同理 B bE是正定陣 因為同階正定矩陣的和仍為正定矩陣 所以A B a b E也是正定陣 其特征值均大于0 設(shè) 為A B的任一特征值 則 a b 是A B a b E的特征值 a b 第六章二次型與二次曲面 6 2慣性定理與正定二次型 1 正定二次型f x xTAx滿足 x 有f x 0 2 性質(zhì) 同階正定矩陣的和仍為正定矩陣 可逆線性變換不改變二次型的正定性 定理6 3A正定 p n A的特征值均大于零 A與E相合 存在可逆陣P 使得A PTP 定理6 4 A正定 A的各階順序主子式 均大于零 解題思想 利用實對稱陣A的正交相似對角化 將f A 轉(zhuǎn)化為對角陣f 進行求解或證明 A E E 1 1 n 1 Rn n Rm n 相抵 相似 正交相似 Rn n 實對稱 相抵標準形 為初等陣 i為特征值 秩 特征值 跡 行列式 秩 相合 Rn n r p q 對稱性 秩 實對稱 若A可相似對角化 實對稱陣相似 特征值同 p q同 必相合 反之不然 正定性 a d 0 b c a 1 4 1 1 a 0 a 1 0 a b 0 c 1