《幾何與代數(shù)》科學(xué)出版社習(xí)題解析第四章.ppt

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幾何與代數(shù) 關(guān)秀翠 東南大學(xué)數(shù)學(xué)系 習(xí)題解析第四章 教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配 第四章n維向量 能由向量組I 1 s線性表示 r A r A Ax 有解 L 1 2 s R A 1 2 s與 1 2 t等價(jià) L 1 2 s L 1 2 t r A r A B r B 矩陣方程AX B BY A都有解 1 t能由 1 s線性表示 AX B有解 等價(jià)的向量組 相同個(gè)數(shù) 構(gòu)成的矩陣必等價(jià) 相抵 一 向量組的線性表示與等價(jià) 反之不成立 x1 1 x2 2 xs s 只在x1 x2 xs 0時(shí)成立 1 s x 只有零解 1 s x Ax 有非零解 向量組 1 s 1 s線性相關(guān) 向量組 1 s 1 s線性無關(guān) r A s r A s 向量個(gè)數(shù) 某個(gè)向量 i可由其余的向量線性表示 共線共面的推廣 唯一表示定理 Il i I l d 可由I唯一線性表示 Th4 3大向量組由小向量組線性表示 大向量組l d Th4 5 若I可由II線性表示 則秩 I 秩 II 且這兩個(gè)向量組等價(jià) 秩 I 秩 II 反之不成立 二 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 三 向量組的極大無關(guān)組 i I0l i ii I I0 I0 l d I可由I0線性表示 命題 如果r 1 2 s r 則 1 2 s中任意r個(gè)線性無關(guān)的向量均為 1 2 s的極大無關(guān)組 極大無關(guān)組不唯一 任兩個(gè)極大無關(guān)組都等價(jià) 向量空間V的基為向量組V中的極大無關(guān)組 V的維數(shù)為向量組的秩 齊次線性方程組的解空間V x Rn Ax 0 的基礎(chǔ)解系為向量組V的極大無關(guān)組 V的維數(shù)為n r A 四 向量空間 V Rn 對加法數(shù)乘封閉 Rn本身 e1 e2 en n 零空間 無 0 齊次線性方程組的解空間 x Rn Ax A Rm n Ax 的基礎(chǔ)解系 n r A 生成子空間L 1 s k1 1 ks s k1 ks R 1 s的極大無關(guān)組 1 s的秩 A的秩 A的列向量組的極大無關(guān)組 矩陣A的列空間 即L A1 A2 An n r A Ax 的基礎(chǔ)解系 A的秩 A的列向量組的極大無關(guān)組 A的核空間或零空間K A x Rn Ax A的值域R A Ax x Rn L A1 A2 An 五 向量的內(nèi)積 向量空間 基和維數(shù) 一 內(nèi)積和正交性 二 標(biāo)準(zhǔn)正交基和Schmidt正交化方法 線性相關(guān) 共線共面 基 直角坐標(biāo)系 標(biāo)準(zhǔn)正交基 維數(shù) 仿射坐標(biāo)系 三 正交矩陣 維數(shù) 將l i 向量化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 Q QT 正交 QTQ E Q 1 QT Q列 行 向量組標(biāo)準(zhǔn)正交 基礎(chǔ)解系本質(zhì)是解向量組的極大無關(guān)組 維數(shù)為n r A r A b r A 1 Ax b無解 b不能由A的列向量組線性表示 直線 或平面 間無公共點(diǎn) 2 r A b r A n Ax b有唯一解 b可由A的列向量組唯一地線性表示 直線 或平面 間有唯一公共點(diǎn) 3 r A b r A n Ax b有無窮多解 且通解中含有n r A 個(gè)自由變量 Ax 0的基礎(chǔ)解系有n r A 個(gè)解向量 b可由A的列向量組線性表示 但表示方式不唯一 直線 或平面 重合或平面交于一條直線 x 0 k1 1 kn r n r 六 線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 非齊次線性方程組的一般解 作業(yè)中的問題 作業(yè)中的問題 證明一組向量線性無關(guān)時(shí) 最好不要假設(shè)它們線性相關(guān) 再令線性組合等于0 而是直接令線性組合等于0 再證明所有的組合系數(shù)都等于0 將向量組寫成矩陣時(shí) 要事先說明向量是列向量還是行向量 并注意區(qū)分向量組等價(jià)及矩陣等價(jià) 第四章n維向量 A成立的充要條件是B成立 即A成立當(dāng)且僅當(dāng)B成立 即A成立 B成立 既要證明必要性 又要證明充分性 8 設(shè)a b為參數(shù) 討論向量組的秩 并問a b為何值時(shí) 向量組線性無關(guān) 解 令 A中含有一個(gè)二階非零子式 r A 2 當(dāng)a 0或b 1 3時(shí) r A 2 當(dāng)a 0且b 1 3時(shí) r A 3 向量組線性無關(guān) 習(xí)題解析 第二章n維向量 11 設(shè) 1 2 s線性均為n維向量 1 1 2 1 2 3 1 2 3 s 1 2 s 證明 1 2 s線性無關(guān) 1 2 s線性無關(guān) 證1 第二章n維向量 設(shè) 1 2 s線性無關(guān) 則k1 1 k2 1 2 ks 1 2 s 習(xí)題解析 證明充分性 設(shè)k1 1 k2 2 ks s 即 k1 ks 1 k2 ks 2 ks s 因?yàn)?1 2 s線性無關(guān) 所以 1 2 s線性無關(guān) 11 設(shè) 1 2 s線性均為n維向量 1 1 2 1 2 3 1 2 3 s 1 2 s 證明 1 2 s線性無關(guān) 1 2 s線性無關(guān) 證1 第二章n維向量 所以 1 2 s線性無關(guān) 習(xí)題解析 證明必要性 設(shè) 1 2 s線性無關(guān) 因 1 2 s可由 1 2 s線性表示 r 1 2 s r 1 2 s s s 所以r 1 2 s s 11 設(shè) 1 2 s線性均為n維向量 1 1 2 1 2 3 1 2 3 s 1 2 s 證明 1 2 s線性無關(guān) 1 2 s線性無關(guān) 證2 第二章n維向量 習(xí)題解析 由已知可得 1 1 2 2 1 3 3 2 s s s 1 1 2 s與 1 2 s等價(jià) r 1 2 s r 1 2 s 1 2 s線性無關(guān) 1 2 s線性無關(guān) 11 設(shè) 1 2 s線性均為n維向量 1 1 2 1 2 3 1 2 3 s 1 2 s 證明 1 2 s線性無關(guān) 1 2 s線性無關(guān) 證3 第二章n維向量 習(xí)題解析 1 2 s 1 2 s 1 2 s線性無關(guān) 1 2 s線性無關(guān) 因 1 s可由 1 s線性表示 設(shè)A 1 s B 1 s C B AC C 1 0 C可逆 A BC 1 故 1 s可由 1 s線性表示 r 1 2 s r 1 2 s 設(shè) i為列向量 12 已知 1 2 3線性無關(guān) 問參數(shù)a b為何值時(shí)向量組 1 a 1 b 2 2 a 2 b 3 3 a 3 b 1線性無關(guān) 解 第二章n維向量 設(shè)A 1 2 3 B 1 2 3 1 2 3線性無關(guān) r B r 1 2 3 3 C a3 b3 0 設(shè) 1 2 3為n維列向量組 則B a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1 AC r C 3 C 0 習(xí)題解析 a b 0 3 r B r C 3 13 已知 能由向量組I 1 2 s線性表示 證明 表示方式唯一 1 2 s線性無關(guān) 證明1 充分性 第二章n維向量 習(xí)題解析 1 2 s線性無關(guān) 能由向量組 1 2 s線性表示 由唯一表示定理知 能由I唯一的線性表示 必要性 l1 1 l2 2 ls s 設(shè)k1 1 k2 2 ks s 0 l1 k1 1 l2 k2 2 ls ks s 因?yàn)?的線性表示方式唯一 k1 k2 ks 0 1 2 s線性無關(guān) 13 已知 能由向量組I 1 2 s線性表示 證明 表示方式唯一 1 2 s線性無關(guān) 證明2 第二章n維向量 習(xí)題解析 且 1 2 s線性無關(guān) 能由向量組I 1 2 s線性表示 設(shè) i為列向量 A 1 s r A r A Ax 有解 能由向量組I唯一線性表示 Ax 有唯一解 r A r A s r A r A 且Ax 只有零解 能由向量組I 1 2 s線性表示 14 設(shè)向量組 1 s線性相關(guān) 1 0 證明存在某個(gè) j 2 j s 可由前j 1個(gè)向量 1 j 1線性表示 證明1 第二章n維向量 設(shè)kj 2 j s 是最后一個(gè)不為0的系數(shù) 即k1 k2 kj 1不全為0 kj 0 kj 1 ks 0 向量組 1 2 s線性相關(guān) 設(shè)k1 1 k2 2 kj j ks s 0 習(xí)題解析 則存在一組不全為0的數(shù)k1 k2 ks 使得 k1 1 k2 2 kj j 0 kj 0 存在某個(gè) j可由前j 1個(gè)向量 1 j 1線性表示 證明2 反證法 第二章n維向量 則ks 0 k1 1 0 假設(shè)錯(cuò)誤 命題成立 設(shè)任意 j 2 j s 都不能由前j 1個(gè)向量 1 2 j 1線性表示 設(shè)k1 1 k2 2 ks 1 s 1 ks s 0 同理 ks 1 k2 0 因?yàn)?1 0 k1 0 1 2 s線性無關(guān) 與已知矛盾 習(xí)題解析 則 s都不能由前s 1個(gè)向量 1 2 s 1線性表示 14 設(shè)向量組 1 s線性相關(guān) 1 0 證明存在某個(gè) j 2 j s 可由前j 1個(gè)向量 1 j 1線性表示 第三章矩陣的相抵變換和秩 線性方程組 3 4線性方程組解的結(jié)構(gòu) 證明1 17 設(shè)向量組 1 s線性無關(guān) j 1 2 s 記A aij s s 證明 1 2 s線性無關(guān) A可逆 j 1 2 s 設(shè)B 1 s C 1 s B CA 必要性 設(shè) 1 s線性無關(guān) r A s 則s r B r A s A可逆 充分性 設(shè)A可逆 C BA 1 故 1 s可由 1 s線性表示 兩向量組等價(jià) r 1 s s 則 1 s線性無關(guān) 設(shè) i為列向量 第三章矩陣的相抵變換和秩 線性方程組 3 4線性方程組解的結(jié)構(gòu) 證明2 17 設(shè)向量組 1 s線性無關(guān) j 1 2 s 記A aij s s 證明 1 2 s線性無關(guān) A可逆 設(shè)k1 1 k2 2 ks s 1 s線性無關(guān) A aij Rs s可逆 只有零解 k1 ks 0 1 2 s線性無關(guān) 證明 A正交 28 設(shè)A是n階正交陣 證明 1 A 1 2 若 A 1 則 E A 0 AAT E A 2 A AT 1 A 1 2