《數(shù)學分析選講》教學大綱.doc

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《數(shù)學分析選講》課程教學大綱 一、《分析選講》課程說明 課程代碼：0741123110 課程英文名稱：Selective Lectures of Mathematic Analysis 開課對象：數(shù)學與應用數(shù)學本科生 課程的性質(zhì)：考試 學時：72 　　數(shù)學分析選講是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)重要的選修課,它是學生進一步學習分析數(shù)學的分支和科學研究必不可少的專業(yè)基礎知識, 同時也可使其他理科專業(yè)學生進一步了解微積分學知識，是報考對數(shù)學要求較高的碩士學位研究生同學的必修課程。 本課程的前導課程為數(shù)學分析。 　　　　教學目的： 通過本課程的教學，使學生系統(tǒng)拓展和加深數(shù)學分析中的基本技能、基本思想和方法,主要培養(yǎng)學生分析論證問題的能力、抽象思維能力和科學研究的初步能力. 教學內(nèi)容： 本課程主要系統(tǒng)拓展和加深學習極限理論, 實數(shù)的連續(xù)性, 微分中值定理的及其應用, 常數(shù)項級數(shù)和廣義積分,與“一致性”有關的幾個概念及判別法, 多元函數(shù)微分學,多元函數(shù)積分學，兩個極限過程的換序這八個核心內(nèi)容。 教學時數(shù) 教學時數(shù)：７2學時 學分數(shù)：　學分 教學時數(shù)具體分配： 教學內(nèi)容 講課(學時) 習題課(學時) 累計 一、函數(shù)與極限 1.1　　函數(shù) 2 2 1.2 極限 6 6 二、實數(shù)的連續(xù)性 2.1 實數(shù)基本定理 2 2 2.2 連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì) 2 2 三、微分中值定理及其應用 3.1 微分中值定理的應用 4 4 3.2 泰勒中值定理的應用 4 4 四、常數(shù)項級數(shù)和廣義積分 4.1 常數(shù)項級數(shù)的收斂判別法 8 8 4.2 無窮級數(shù)的求和法 4 4 4.3 廣義積分的斂散性判別法 4 4 4.4 廣義積分的求值法 4 4 五、與“一致性”有關的幾個概念及判別法 5.1 函數(shù)項級數(shù)一致收斂及判別法 2 2 5.2 含參變量的廣義積分的一致收斂性 2 2 六、多元函數(shù)微分法 6.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù) 4 4 6.2 偏導數(shù)與全微分 4 4 七、多元函數(shù)積分法 7.1 重積分 6 6 7.2 曲線積分和曲面積分 6 6 八、兩個極限過程的換序 8.1 與函數(shù)項級數(shù)有關的換序問題 2 2 8.2 與積分有關的換序問題 4 4 8.3 兩個基本點求極限運算的換序及兩個求導運算的換序 2 2 合計 72 0 72 教學方式 課堂講授,課外習作及批改. 考核方式和成績記載說明 考核方式為考試。嚴格考核學生出勤情況，達到學籍管理規(guī)定的曠課量則取消考試資格。綜合成績根據(jù)平時成績和期末考試成績評定，平時成績占20%，期末考試成績占80%。 二、講授大綱與各章的基本要求 第一章　　函數(shù)與極限 教學要點： 本章主要研究內(nèi)容為函數(shù)性質(zhì)的確定；通過實例總結(jié)求數(shù)列與函數(shù)極限的方法，以及如何確定極限的存在性等。 教學時數(shù)：8學時。 教學內(nèi)容： 第一節(jié)　　函數(shù) 　　　　　1.1　求函數(shù)的定義域與值域 　　　　　1.2　由已知函數(shù)關系求函數(shù)的表達式 　　　　　1.3　確定函數(shù)的性質(zhì) 　　　　　1.4　函數(shù)方程 第二節(jié)　　極限 　　　　　2.1　極限的概念 　　　　　2.2　求極限的方法 　　　　　2.3　確定極限存在性的方法 　　考核要求： 通過本章的學習，學生應能理解函數(shù)的定義，準確地確定函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握極限的概念及耱極限的各種常用方法；掌握判斷極限存在性的常用方法。 第二章　　實數(shù)的連續(xù)性 教學要點： 　　本章主要研究 教學時數(shù)：4學時。 教學內(nèi)容： 本章主要內(nèi)容為對實數(shù)的基本定理——七大定理（確界存在定理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理、Weierstress定理、Cauchy收斂原理、有限覆蓋定理、聚點定理）的內(nèi)容加以復習及沒證明過的定理給予補充證明，及給出例子加以說明它們的應用，同時本章介紹連續(xù)性的證明，連續(xù)性的應用，一致連續(xù)的判別等方面的內(nèi)容。 第一節(jié)　　實數(shù)基本定理 第二節(jié) 連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì) 　　　　　2.1　基本性質(zhì) 　　　　　2.2　介值性與連續(xù)性 　　　　　2.3　判別一致連續(xù)的方法 考核要求： 通過本章的學習，學習者要理解實數(shù)的基本定理及其應用，掌握連續(xù)，一致連續(xù)概念及性質(zhì)，掌握連續(xù)性的應用及一致連續(xù)的證明。 第三章 微分中值定理及其應用 教學要點： 　　本章主要研究Roll中值定理、Langrange中值定理、Cauchy中值定理在實際問題中的應用；給出了導數(shù)的兩大特性；討論了帶Langrange余項與帶Peano余項的Gaylor公式在解題中的若干應用。 教學時數(shù)：8學時。 教學內(nèi)容： 第一節(jié) 微分中值定理的應用 1.1 Roll定理 1.2 Langrange定理 1.3 導數(shù)的兩大特性 1.4 Cauchy中值定理 第二節(jié) 泰勒中值定理的應用 2.1 證明中值公式 2.2 用Taylor公式證明不等式 2.3 關于界的估計 2.4 中值點的極限 2.5 求無窮遠處的極限 考核要求： 本章要求掌握Roll中值定理、Langrange中值定理、Cauchy中值定理在實際問題中的應用；了解利用Taylor公式證明中值公式，掌握利用Taylor公式證明不等式，掌握利用Taylor公式進行界的估計；掌握中值點的極限求法，了解求無窮遠處的極限方法。 第四章 常數(shù)項級數(shù)和廣義積分 教學要點： 　　本章主要復習常數(shù)項級數(shù)的收斂的定義及其斂散性判別法，以及無窮級數(shù)的求和法；研究廣義積分斂散性的判別及其求值。用有一定難度的修例子來加深這些方面的訓練，使得學生能夠更好地掌握這一章內(nèi)容。 教學時數(shù)：20學時。 教學內(nèi)容： 第1節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的收斂判別法 1.1 一般級數(shù)的收斂判別法 1.2 正項級數(shù)收斂判別法 1.3 任意級數(shù)收斂性的判別法 第2節(jié) 無窮級數(shù)的求和法 2.1 作為部分和的極限 2.2 逐項微分與逐項積分法 2.3 Abel方法 2.4 利用微分方程的方法 2.5 利用Eulor常數(shù) 2.6 作為兩級數(shù)的乘積 第3節(jié) 廣義積分的斂散性判別法 3.1 根據(jù)定義判別廣義積分的收斂性 3.2 廣義積分收斂的充要條件 3.3 廣義積分斂散性的比較判別法 3.4 Abel判別法和Dirichlet判別法 第4節(jié) 廣義積分的求值法 4.1 利用廣義積分的定義 4.2 化為已知的廣義積分 4.3 利用換序性 考核要求： 熟練掌握常用的判別常數(shù)項級數(shù)斂散性的判別法；能熟練地求無窮級數(shù)的和；掌握判別廣義積分斂散性的常用判別法；能求具有一定難度的廣義積分的和。 第五章 與“一致性”有關的幾個概念及判別法 教學要點： 　　本章主要研究函數(shù)項級數(shù)、函數(shù)列一致收斂的概念及其斂散性判別法；討論含參變量的廣義積分的一致收斂性判別法。 教學時數(shù)：4學時。 教學內(nèi)容： 第一節(jié) 函數(shù)項級數(shù)一致收斂及判別法 1.1 一致收斂的概念 1.2 判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂或非一致收斂的常用方法 第二節(jié) 含參變量的廣義積分的一致收斂性 2.1 M-判別法 2.2 Abel判別法 2.3 Dirichlet判別法 考核要求： 準確理解函數(shù)項級數(shù)收斂和一致收斂的概念；熟練掌握函數(shù)項級數(shù)的一致收斂的判別法；熟練應用判別含參變量的廣義積分斂散性的三大方法。 第六章 多元函數(shù)微分法 教學要點： 　　本章主要研究求二元函數(shù)的極限的方法，二元函數(shù)的連續(xù)性的證明及應用；偏導數(shù)的計算及可微、不可微的證明；求極值、最值的方法。 教學時數(shù)：8學時。 教學內(nèi)容： 第一節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù) 1.1 求重極限的方法 1.2 多元函數(shù)的連續(xù)性與一元函數(shù)連續(xù)性的關系 第二節(jié) 偏導數(shù)與全微分 2.1 偏導數(shù)與全微分的關系 2.2 求偏導數(shù)的方法 2.3 求極大(小)值和最大(小)值的方法, 考核要求： 通過本章的學習，準確理解二元函數(shù)極限、連續(xù)的定義、及偏導數(shù)、全微分的定義。掌握二元函數(shù)極限的計算方法；掌握二元函數(shù)連續(xù)性的證明及應用；掌握二元函數(shù)偏導數(shù)的計算及可微、不可微的證明。 第七章 多元函數(shù)積分法 教學要點： 　　本章主要研究二重積分、三重積分的計算；第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的計算；格林公式、高斯公式、斯托克司公式的應用。 教學時數(shù)：12學時。 教學內(nèi)容： 第一節(jié) 重積分 1.1 重積分的可積性 1.2 二重積分的計算方法 1.3 二重積分的應用 1.4 三重積分的計算方法與應用 第二節(jié) 曲線積分和曲面積分 2.1 曲線積分的計算方法與技巧 2.2 曲面積分的計算方法與技巧 考核要求： 通過本章的學習，掌握二重積分、三重積分的計算；掌握第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的計算；掌握格林公式、高斯公式、斯托克司公式的應用。 第八章 兩個極限過程的換序 教學要點： 　　本章主要研究與函數(shù)項級數(shù)有關的換序問題（包括求和與極限的換序、求和與積分的換序、求和與求導的換序）；與積分有關的換序問題；兩個極限運算的換序問題；兩個求導運算的換序問題。 教學時數(shù)：8學時。 教學內(nèi)容： 第一節(jié) 與函數(shù)項級數(shù)有關的換序問題 第二節(jié) 與積分有關的換序問題 2.1 積分號下取極限 2.2 兩個積分運算的換序 2.3 積分與微分運算的換序 第三節(jié) 兩個求極限運算的換序及兩個求導運算的換序 考核要求： 了解求和與極限、積分的換序，掌握求和與求導的換序；掌握積分號下取極限，了解兩個積分運算的換序，掌握積分與微分運算的換序；了解兩個求極限、兩個求導運算的換充。 三、推薦教材和參考書目 1、《數(shù)學分析講義》，陳紀修、於崇華、金路編，高等教育出版社，1999年。 2、《數(shù)學分析解題方法600例》，李世金、趙潔編，東北師范大學出版社，1992年。 3、《數(shù)學分析選講》，劉三陽、于力、李廣民編，科學出版社2007年。