（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第21練 圓錐曲線的定義、方程與性質試題 理.docx

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第21練圓錐曲線的定義、方程與性質明晰考情1.命題角度：圓錐曲線的定義、方程與幾何性質是高考考查的熱點.2.題目難度：中等偏難.考點一圓錐曲線的定義及標準方程方法技巧(1)應用圓錐曲線的定義解題時，一定不要忽視定義中的隱含條件.(2)凡涉及橢圓或雙曲線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到焦點距離，一般可以利用定義進行轉化.(3)求解圓錐曲線的標準方程的方法是“先定型，后計算”.1.已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C為一個焦點作過A，B的橢圓，則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是_.答案y21(y1)解析由兩點間距離公式，可得AC13，BC15，AB14，因為A，B都在橢圓上，所以AFACBFBC，AFBFBCAC20，b0)的左焦點為F，離心率為.若經過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的方程為_.答案1解析由e知ab，且ca.雙曲線漸近線方程為yx.又kPF1，c4，則a2b28.故雙曲線方程為1.3.已知拋物線yx2，A，B是該拋物線上兩點，且AB24，則線段AB的中點P離x軸最近時點P的縱坐標為_.答案8解析由題意得拋物線的標準方程為x216y，焦點F(0,4)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ABAFBF(y14)(y24)y1y28，y1y216，則線段AB的中點P的縱坐標y8，線段AB的中點P離x軸最近時點P的縱坐標為8.4.(2018如皋調研)已知橢圓C：1的右頂點為A，點M(2,4)，過橢圓C上任意一點P作直線MA的垂線，垂足為H，則2PMPH的最小值為_.答案22解析在橢圓中，a2，c1，所以橢圓的右焦點為F(1，0)，右準線方程為x4.過點P作右準線的垂線，設垂足為G，則PHPG2，由橢圓的第二定義得e，所以PG2PF.因此2PMPH2PM2PF22(PMPF)22MF222，當且僅當M，P，F(xiàn)三點共線時等號成立，所以2PMPH的最小值為22.考點二圓錐曲線的幾何性質方法技巧(1)確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，就是確立一個關于a，b，c的方程(組)或不等式(組)，再根據(jù)a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式.(2)要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.5.(2018全國改編)雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為_.答案yx解析雙曲線1的漸近線方程為bxay0.又離心率，a2b23a2，ba(a0，b0).漸近線方程為axay0，即yx.6.若雙曲線1(a0，b0)上存在點M，使得右焦點F關于直線OM(O為雙曲線的中心)的對稱點在y軸上，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_.答案(，)解析若存在點M，使得右焦點F關于直線OM(O為雙曲線的中心)的對稱點在y軸上，則只要這個雙曲線上存在點M，使得OM的斜率的絕對值為1即可，所以只要漸近線的斜率的絕對值大于1，也就是離心率大于.7.(2018全國改編)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點，O是坐標原點.過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若PF1OP，則C的離心率為_.答案解析如圖，過點F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P，連結PF2，由題意可知，四邊形PF1PF2為平行四邊形，且PPF2是直角三角形.因為F2Pb，F(xiàn)2Oc，所以OPa.又PF1aF2P，PP2a，所以F2Pab，所以ca，所以e.8.在平面直角坐標系xOy中，雙曲線1(a0，b0)的右支與焦點為F的拋物線x22py(p0)交于A，B兩點，若AFBF4OF，則該雙曲線的漸近線方程為_.答案yx解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得a2y22pb2ya2b20，y1,2，y1y2.又AFBF4OF，y1y24，即y1y2p，p，即，雙曲線的漸近線方程為yx.考點三圓錐曲線的綜合問題方法技巧(1)圓錐曲線范圍、最值問題的常用方法定義性質轉化法；目標函數(shù)法；條件不等式法.(2)圓錐曲線中的定值、定點問題可以利用特例法尋求突破，然后對一般情況進行證明.9.已知方程1表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是_.答案解析由1轉化成標準方程為1，假設焦點在x軸上，則2m(m1)0，解得m1；假設焦點在y軸上，則(m1)2m0，解得2m.綜上可知，m的取值范圍為.10.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為_.答案解析如圖，因為MF1與x軸垂直，所以MF1.又sinMF2F1，所以，即MF23MF1.由雙曲線的定義得2aMF2MF12MF1，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以離心率e.11.過拋物線yax2 (a0)的焦點F作一條直線交拋物線于A，B兩點，若線段AF，BF的長分別為m，n，則_.答案解析顯然直線AB的斜率存在，故設直線方程為ykx，與yax2聯(lián)立，消去y得ax2kx0，設A(x1，ax)，B(x2，ax)，因為x1,2，所以x1x2，x1x2，xx，max，nax，mn，mn，.12.已知橢圓1(ab0)的短軸長為2，上頂點為A，左頂點為B，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，且F1AB的面積為，點P為橢圓上的任意一點，則的取值范圍為_.答案1，4解析由已知得2b2，故b1，F(xiàn)1AB的面積為，(ac)b，ac2，又a2c2(ac)(ac)b21，a2，c，又2PF12，1PF4PF14，14，即的取值范圍為.1.若點O和點F(2,0)分別為雙曲線y21(a0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為_.答案32，)解析由題意，得22a21，即a，設P(x，y)，x，(x2，y)，則(x2)xy2x22x12，因為x，所以的取值范圍為32，).2.若橢圓的對稱軸是坐標軸，且短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到同側頂點的距離為，則橢圓的方程為_.答案1或1解析由題意，得所以所以b2a2c29.所以當橢圓焦點在x軸上時，橢圓的方程為1；當橢圓焦點在y軸上時，橢圓的方程為1.故橢圓的方程為1或1.3.已知A(1,2)，B(1,2)，動點P滿足.若雙曲線1(a0，b0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是_.答案(1,2)解析設P(x，y)，由題設條件，得動點P的軌跡方程為(x1)(x1)(y2)(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓.又雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為yx，即bxay0，由題意，可得1，即1，所以e1，故1e0)與C交于點P，PFx軸，則k_.答案2解析因為拋物線方程是y24x，所以F(1,0). 又因為PFx軸，所以P(1,2)，把P點坐標代入曲線方程y(k0)，即2，所以k2.4.過拋物線y22px(p0)的焦點作直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PQ中點的橫坐標為3，PQ10，則拋物線的方程是_.答案y28x解析設拋物線y22px(p0)的焦點為F，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由拋物線的定義可知，PQPFQFx1x2(x1x2)p，線段PQ中點的橫坐標為3，又PQ10，106p，可得p4，拋物線的方程為y28x.5.已知直線l過點A(1,0)且與B：x2y22x0相切于點D，以坐標軸為對稱軸的雙曲線E過點D，一條漸近線平行于l，則E的方程為_.答案1解析直線l的斜率存在，可設直線方程為yk(x1)，B：x2y22x0的圓心為(1,0)，半徑為1，由相切可得圓心到直線的距離d1，即k，所以直線l的方程為y(x1)，故漸近線方程為yx，聯(lián)立直線l和圓的方程，解得x，y，即D，設雙曲線方程為y2x2m(m0)，代入點D，解得m，所以雙曲線方程為1.6.已知雙曲線：1(a0，b0)的一條漸近線為l，圓C：(xa)2y28與l交于A，B兩點，若ABC是等腰直角三角形，且5(其中O為坐標原點)，則雙曲線的離心率為_.答案解析雙曲線的漸近線方程為yx，圓(xa)2y28的圓心為(a,0)，半徑r2，由于ACB，由勾股定理得AB4，故OAAB1.在OAC，OBC中，由余弦定理得cosBOC，解得a213.由圓心到直線yx的距離為2，得2，結合c2a2b2，解得c，故離心率為.7.(2018天津改編)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點.設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1d26，則雙曲線的方程為_.答案1解析如圖，不妨設A在B的上方，則A，B.其中的一條漸近線為bxay0，則d1d22b6，b3.又由e2，知a2b24a2，a.雙曲線的方程為1.8.設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得PF1PF23b，PF1PF2ab，則該雙曲線的離心率為_.答案解析不妨設P為雙曲線右支上一點，PF1r1，PF2r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(負值舍去)，故e.9.設F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則PMPF1的最大值為_.答案15解析因為橢圓1中，a5，b4，所以c3，得焦點為F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0).根據(jù)橢圓的定義，得PMPF1PM(2aPF2)10(PMPF2).因為PMPF2MF2，當且僅當P在MF2的延長線上時等號成立，此時PMPF1的最大值為10515.10.已知F是拋物線C：y28x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則FN_.答案6解析如圖，不妨設點M位于第一象限內，拋物線C的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，PMOF.由題意知，F(xiàn)(2,0)，F(xiàn)OAO2.點M為FN的中點，PMOF，MPFO1.又BPAO2，MBMPBP3.由拋物線的定義知MFMB3，故FN2MF6.11.已知拋物線y22px(p0)上的一點M(1，t)(t0)到焦點的距離為5，雙曲線1(a0)的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)a的值為_.答案3解析由題意知15，p8.M(1,4)，由于雙曲線的左頂點A(a,0)，且直線AM平行于一條雙曲線的漸近線，則a3.12.已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上異于長軸端點的任意一點，若M是線段PF1上一點，且滿足MF12，MF20，則橢圓C的離心率的取值范圍為_.答案解析設P(x，y)(y0)，取MF1的中點N，由MF12知，NF1，解得點N，又MF20，所以MF2，連結ON，由三角形的中位線可知，即(x，y)0，整理得(xc)2y2c2(y0)，所以點P的軌跡為以(c,0)為圓心，c為半徑的圓(去除兩點(0,0)，(2c,0)，要使得圓與橢圓有公共點，則acc，所以e，又0e1，所以橢圓的離心率的取值范圍為.