（浙江專用）2019高考數(shù)學二輪復習精準提分 第二篇 重點專題分層練中高檔題得高分 第10練 正弦定理、余弦定理及應用試題.docx
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第10練 正弦定理、余弦定理及應用 [明晰考情] 1.命題角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式，常與三角恒等變換相結合.2.題目難度：單獨考查正弦、余弦定理時，難度中檔偏下；和三角恒等變換交匯考查時，中檔難度． 考點一 正弦定理、余弦定理 方法技巧 (1)分析已知的邊角關系，合理設計邊角互化． (2)結合三角函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，大邊對大角等求出三角形的基本量． 1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝，c＝2，cosA＝，則b等于( ) A.B.C．2D．3 答案 D 解析 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA， 即5＝b2＋22－2b2， 解得b＝3，故選D. 2．(2018全國Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，則AB等于( ) A．4B.C.D．2 答案 A 解析 ∵cos＝， ∴cosC＝2cos2－1＝22－1＝－. 在△ABC中，由余弦定理， 得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcosC＝52＋12－251＝32， ∴AB＝＝4.故選A. 3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則B＝_____. 答案 解析 方法一 由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理， 得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA. ∴2sinBcosB＝sin(A＋C)． 又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B. ∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB. 又sinB≠0，∴cosB＝. 又∵B∈(0，π)，∴B＝. 方法二 在△ABC中，由余弦定理，得acosC＋ccosA＝a＋c＝b， ∴條件等式變?yōu)?bcosB＝b，∴cosB＝. 又0＜B＜π，∴B＝. 4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsinA，則C＝________. 答案 解析 由余弦定理， 得a2＝b2＋c2－2bccosA， 所以b2＋c2－2bccosA＝3b2＋3c2－2bcsinA， sinA－cosA＝，2sin＝＝＋≥2， 當且僅當b＝c時，等號成立，因此b＝c，A－＝，所以A＝， 所以C＝＝. 考點二 與三角形的面積有關的問題 要點重組 三角形的面積公式 (1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)． (2)S＝absinC＝bcsinA＝casinB. (3)S＝r(a＋b＋c)(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑)． 5．(2018全國Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則C等于( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 ∵S＝absinC＝＝＝abcosC， ∴sinC＝cosC，即tanC＝1. 又∵C∈(0，π)，∴C＝. 6．鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC等于( ) A．5B.C．2D．1 答案 B 解析 ∵S＝ABBCsinB＝1sinB＝， ∴sinB＝，∴B＝或. 當B＝時，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此時△ABC為鈍角三角形，符合題意； 當B＝時，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此時AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意．故AC＝. 7.(2018全國Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________． 答案 解析 ∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC， ∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC. 又sinBsinC＞0，∴sinA＝. 由余弦定理得cosA＝＝＝＞0， ∴cosA＝，bc＝＝， ∴S△ABC＝bcsinA＝＝. 8．在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcosC＝3acosB－ccosB，＝2，則△ABC的面積為________． 答案 2 解析 因為bcosC＝3acosB－ccosB， 由正弦定理得sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB， 即sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB， 所以sin(B＋C)＝3sinAcosB. 又sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA， 所以sinA＝3sinAcosB，又sinA≠0，解得cosB＝， 所以sinB＝＝＝. 由＝2，可得cacosB＝2，解得ac＝6. 所以S△ABC＝acsinB＝6＝2. 考點三 解三角形中的最值(范圍)問題 方法技巧 由余弦定理中含兩邊和的平方(如a2＋b2－2abcosC＝c2)且a2＋b2≥2ab，因此在解三角形中，若涉及已知條件中含邊長之間的關系，且與面積有關的最值問題，一般利用S＝absinC型面積公式及基本不等式求解，有時也用到三角函數(shù)的有界性． 9．在△ABC中，＝|－|＝3，則△ABC的面積的最大值為( ) A.B.C.D．3 答案 B 解析 設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c， ∵＝|－|＝3，即bccosA＝3，a＝3， ∴cosA＝≥1－＝1－， ∴cosA≥，∴0＜sinA≤， ∴0＜tanA≤. ∴△ABC的面積S＝bcsinA＝tanA≤＝， 故△ABC面積的最大值為. 10．已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，其面積滿足S△ABC＝a2，則的最大值為( ) A.－1 B. C.＋1 D.＋2 答案 C 解析 根據(jù)題意，有S△ABC＝a2＝bcsinA，即a2＝2bcsinA．應用余弦定理，可得b2＋c2－2bccosA＝a2＝2bcsinA，令t＝，于是t2＋1－2tcosA＝2tsinA．于是2tsinA＋2tcosA＝t2＋1，所以2sin＝t＋，從而t＋≤2，當且僅當A＝時，“＝”成立，解得t的最大值為＋1. 11．已知a，b，c分別是△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，滿足cosAsinBsinC＋cosBsinAsinC＝2cosCsinAsinB，則C的最大值為______． 答案 解析 由正弦定理，得bccosA＋accosB＝2abcosC， 由余弦定理，得 bc＋ac＝2ab， ∴a2＋b2＝2c2， ∴cosC＝＝ ＝≥＝，當且僅當a＝b時，取等號． ∵0
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