（文理通用）2019屆高考數學大二輪復習 第1部分 專題7 概率與統(tǒng)計 第3講 概率、隨機變量及其分布列練習.doc

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第一部分 專題七 第三講 概率、隨機變量及其分布列 A組 1．小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是( C ) A．　　　 B．　　　　 C．　　　 D． [解析]　根據題意可以知道，所輸入密碼所有可能發(fā)生的情況如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15種情況，而正確的情況只有其中一種，所以輸入一次密碼能夠成功開機的概率是. 2．(2018濰坊模擬)在某項測量中，測量結果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)內取值的概率為0.8，則ξ在(0,1)內取值的概率為( C ) A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8 [解析]　因為μ＝1，所以P(0<ξ<2)＝0.8＝2P(0<ξ<1)，故P(0<ξ<1)＝0.4. 3．某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是( A ) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 [解析]　本題考查條件概率的求法． 設A＝“某一天的空氣質量為優(yōu)良”，B＝“隨后一天的空氣質量為優(yōu)良”，則 P(B|A)＝＝＝0.8，故選A． 4．隨機變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝. [解析]　設P(ξ＝1)＝p，則P(ξ＝2)＝－p，從而由E(ξ)＝0＋1p＋2(－p)＝1，得p＝.故D(ξ)＝(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝. 5．(2018河南信陽二模)如圖所示，A，B兩點由5條連線并聯，它們在單位時間內能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.現記從中任取三條線且在單位時間內都通過的最大信息總量為ξ，則P(ξ≥8)＝. [解析]　解法一(直接法)：由已知得，ξ的可能取值為7,8,9,10， ∵P(ξ＝7)＝＝， P(ξ＝8)＝＝， P(ξ＝9)＝＝， P(ξ＝10)＝＝， ∴ξ的概率分布列為： ξ 7 8 9 10 P ∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝＋＋＝. 解法二(間接法)：由已知得，ξ的可能取值為7,8,9,10，故P(ξ≥8)與P(ξ＝7)是對立事件，所以P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝. 6．某小型玩具廠擬對n件產品在出廠前進行質量檢測，若一件產品通過質量檢測能獲利潤10元；否則產品報廢，虧損10元．設該廠的每件產品能通過質量檢測的概率為，每件產品能否通過質量檢測相互獨立，現記對n件產品進行質量檢測后的總利潤為Sn. (1)若n＝6時，求恰有4件產品通過質量檢測的概率； (2)記X＝S5，求X的分布列，并計算數學期望EX. [解析]　(1)n＝6時，恰有4件產品通過質量檢測的概率： P＝C()4(1－)2＝. (2)因為X＝S5，所以X的可能取值為－50，－30，－10,10,30,50， P(X＝－50)＝C()0(1－)5＝， P(X＝－30)＝C()1(1－)4＝， P(X＝－10)＝C()2(1－)3＝， P(X＝10)＝C()3(1－)2＝， P(X＝30)＝C()4(1－)1＝， P(X＝50)＝C()5(1－)0＝， 所以X的分布列為： X －50 －30 －10 10 30 50 P EX＝－50－30－10＋10＋30＋50＝. 7．甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求： (1)“星隊”至少猜對3個成語的概率； (2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列和數學期望EX. [解析]　(1)記事件A：“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”， 記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”， 記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”． 由題意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC. 由事件的獨立性與互斥性，得 P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC) ＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P() ＝＋2(＋) ＝. 所以“星隊”至少猜對2個成語的概率為. (Ⅱ)由題意，隨機變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨立性與互斥性，得 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝2(＋)＝＝， P(X＝2)＝＋＋＋＝， P(X＝3)＝＋＝＝， P(X＝4)＝2(＋)＝＝， P(X＝6)＝＝＝. 可得隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以數學期望EX＝0＋1＋2＋3＋4＋6＝. B組 1．為了了解今年某校高三畢業(yè)班準備報考飛行員學生的身體素質，學校對他們的體重進行了測量，將所得的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為123，其中第2小組的頻數為12. (1)求該校報考飛行員的總人數； (2)以這所學校的樣本數據來估計全省的總體數據，若從全省報考飛行員的學生中(人數很多)任選3人，設X表示體重超過60kg的學生人數，求X的分布列和數學期望． [解析]　(1)設報考飛行員的人數為n，前3個小組的頻率分別為p1，p2，p3，則由條件可得： 解得p1＝0.125，p2＝0.25，p3＝0.375. 又因為p2＝0.25＝，故n＝48. (2)由(1)可得，一個報考學生體重超過60kg的概率為 P＝p3＋(0.037＋0.013)5＝， 由題意知X服從二項分布B(3，)， P(x＝k)＝C()k()3－k(k＝0,1,2,3)， 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 2．從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，. (1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量X的分布列和數學期望； (2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率． [解析]　(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝(1－)(1－)(1－)＝， P(X＝1)＝(1－)(1－)＋(1－)(1－)＋(1－)(1－)＝， P(X＝2)＝(1－)＋(1－)＋(1－)＝， P(X＝3)＝＝. 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 隨機變量X的數學期望E(X)＝0＋1＋2＋3＝. (2)設Y表示第一輛車遇到紅燈的個數，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數，則所求事件的概率為 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0) ＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) ＝＋＝. 所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為. 3．已知2件次品和3件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束． (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率； (2)已知每檢測一件產品需要費用100元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列和均值(數學期望)． [解析]　(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A． P(A)＝＝. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X＝200)＝＝. P(X＝300)＝＝. P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝. 故X的分布列為 X 200 300 400 P EX＝200＋300＋400＝350. 4．某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖： 以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數． (1)求X的分布列． (2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值． (3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n＝19與n＝20之中選其一，應選用哪個？ 【解析】(1)每臺機器更換的易損零件數為8,9,10,11， 記事件Ai為第一臺機器3年內換掉i＋7個零件(i＝1,2,3,4) 記事件Bi為第二臺機器3年內換掉i＋7個零件(i＝1,2,3,4) 由題知P(A1)＝P(A3)＝P(A4)＝P(B1)＝P(B3)＝P(B4)＝0.2，P(A2)＝P(B2)＝0.4. 設2臺機器共需更換的易損零件數的隨機變量為X，則X的可能的取值為16,17,18,19,20,21,22， P(X＝16)＝P(A1)P(B1)＝0.20.2＝0.04， P(X＝17)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝0.20.4＋0.40.2＝0.16， P(X＝18)＝P(A1)P(B3)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B1)＝0.20.2＋0.40.4＋0.20.2＝0.24， P(X＝19)＝P(A1)P(B4)＋P(A2)P(B3)＋P(A3)P(B2)＋P(A4)P(B1)＝0.20.2＋0.40.2＋0.20.4＋0.20.2＝0.24， P(X＝20)＝P(A2)P(B4)＋P(A3)P(B3)＋P(A4)P(B2)＝0.40.2＋0.20.2＋0.20.4＝0.2， P(X＝21)＝P(A3)P(B4)＋P(A4)P(B3)＝0.20.2＋0.20.2＝0.08， P(X＝22)＝P(A4)P(B4)＝0.20.2＝0.04. 所以X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)要令P(X≤n)≥0.5， ∵0.04＋0.16＋0.24<0.5,0.04＋0.16＋0.24＋0.24≥0.5， 則n的最小值為19. (3)購買零件所需費用含兩部分，一部分為購買機器時購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用， 當n＝19時，費用的期望為19200＋5000.2＋1 0000.08＋1 5000.04＝4 040， 當n＝20時，費用的期望為20200＋5000.08＋1 0000.04＝4 080. 所以應選用n＝19.