（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 考點(diǎn)規(guī)范練26 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入.docx

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考點(diǎn)規(guī)范練26　數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 基礎(chǔ)鞏固組 1.已知復(fù)數(shù)z=(1+i)(1-ai)是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.0 C.-1 D.1 答案A 解析∵z=(1+i)(1-ai)=(1+a)+(1-a)i是實(shí)數(shù), ∴1-a=0,即a=1,故選A. 2.已知i是虛數(shù)單位,則z=i1-2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案B 解析∵z=i1-2i=i(1+2i)(1-2i)(1+2i)=-2+i5=-25+15i, ∴z=i1-2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為-25,15,位于第二象限,故選B. 3.(2017浙江高考樣卷)已知復(fù)數(shù)z=1+ii,其中i為虛數(shù)單位,則|z|=(　　) A.12 B.22 C.2 D.2 答案C 解析由題意得z=1-i,∴|z|=2,故選C. 4.(2017山東高考)已知a∈R,i是虛數(shù)單位,若z=a+3i,zz=4,則a=(　　) A.1或-1 B.7或-7 C.-3 D.3 答案A 解析由z=a+3i,zz=4得a2+3=4,所以a=1,故選A. 5.(2018全國3)(1+i)(2-i)=(　　) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 答案D 解析(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i. 6.設(shè)復(fù)數(shù)z=52-i(其中i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為　　　　　,虛部為　　　　　. 答案2　1 解析∵z=52-i=5(2+i)(2-i)(2+i)=2+i, ∴復(fù)數(shù)z的實(shí)部為2,虛部為1. 7.(2017浙江嘉興一模改編)設(shè)復(fù)數(shù)z=1-i(i是虛數(shù)單位),則2z+z等于. 答案2 解析2z+z=21-i+1-i=2(1+i)(1-i)(1+i)+1-i=1+i+1-i=2. 8.已知i為虛數(shù)單位,a∈R,如果復(fù)數(shù)2i-ai1-i是實(shí)數(shù),則a的值為　　　　　. 答案4 解析依題意,2i-ai1-i=2i-ai(1+i)(1+i)(1-i)=a+(4-a)i2是實(shí)數(shù),因此4-a=0,a=4. 能力提升組 9.(2017課標(biāo)Ⅰ高考)設(shè)有下面四個(gè)命題 p1:若復(fù)數(shù)z滿足1z∈R,則z∈R; p2:若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R,則z∈R; p3:若復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1z2∈R,則z1=z2; p4:若復(fù)數(shù)z∈R,則z∈R. 其中的真命題為(　　) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 答案B 解析令z=a+bi(a,b∈R),則由1z=1a+bi=a-bia2+b2∈R得b=0,所以z∈R,故p1正確;當(dāng)z=i時(shí),因?yàn)閦2=i2=-1∈R,而z=i?R知,p2不正確;當(dāng)z1=z2=i時(shí),滿足z1z2=-1∈R,但z1≠z2,知p3不正確;對(duì)于p4,因?yàn)閷?shí)數(shù)沒有虛部,所以它的共軛復(fù)數(shù)是它本身,也屬于實(shí)數(shù),故p4正確,故選B. 10.在復(fù)平面中,滿足等式|z+i|=|4-3i|的復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是(　　) A.一條直線 B.兩條直線 C.圓 D.橢圓 答案C 解析設(shè)z=x+yi(x,y∈R),代入|z+i|=|4-3i|,得|x+(y+1)i|=|4-3i|,即x2+(y+1)2=42+(-3)2, ∴x2+(y+1)2=5.∴復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓.故選C. 11.已知復(fù)數(shù)z=1+2i1-i,則1+z+z2+…+z2 019=(　　) A.1+i B.1-i C.i D.0 答案D 解析∵z=1+2i1-i=1+2i(1+i)2=i,∴1+z+z2+…+z2019=1(1-z2020)1-z=1-i20201-i=1-i45051-i=0. 12.已知(z-1+3i)(2-i)=4+3i(其中i是虛數(shù)單位,z是z的共軛復(fù)數(shù)),則z的虛部為(　　) A.1 B.-1 C.i D.-i 答案A 解析因?yàn)?z-1+3i)(2-i)=4+3i, 所以z=4+3i2-i+1-3i=(4+3i)(2+i)5+1-3i=1+2i+1-3i=2-i.所以z=2+i,虛部為1,故選A. 13.已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足41+z=1-i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是　　　　　,zz=　　　　　. 答案(1,2)　5 解析由41+z=1-i,得z=41-i-1=1+2i,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,2),zz=|z|2=5. 14.(2017浙江麗水質(zhì)測(cè))若3+bi1-i=a+bi(a,b為實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位),則a=　　　　　,b=　　　　　. 答案0　3 解析∵3+bi1-i=(3+bi)(1+i)2=12[(3-b)+(3+b)i]=3-b2+3+b2i.∴a=3-b2,b=3+b2,解得a=0,b=3. 15.已知i是虛數(shù)單位,a∈R,復(fù)數(shù)z1=3-ai,z2=1+2i,若z1z2是純虛數(shù),則a=　　　　　. 答案-32 解析∵復(fù)數(shù)z1=3-ai,z2=1+2i, ∴z1z2=(3-ai)(1+2i)=3+2a+(6-a)i是純虛數(shù), ∴3+2a=0,6-a≠0,解得a=-32. 16.復(fù)數(shù)z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn). (1)求DC所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù); (2)這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù). 解(1)如圖,z1,z2,z3分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,B,C. ∵AB=OB-OA, ∴AB所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2-z1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i. 在正方形ABCD中,DC=AB, ∴DC所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3-i. (2)∵DC=OC-OD, ∴OD=OC-DC所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z3-(-3-i)=(-1-2i)-(-3-i)=2-i. ∴第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2-i. 17.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足4z+2z=33+i,ω=sin θ-icos θ. (1)求z的值; (2)求|z-ω|的取值范圍. 解(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z=a-bi. 代入4z+2z=33+i,得4(a+bi)+2(a-bi)=33+i, 即6a+2bi=33+i.∴a=32,b=12.∴z=32+12i. (2)|z-ω|=32+12i-(sinθ-icosθ) =32-sinθ2+12+cosθ2=2-2sinθ-π6. ∵-1≤sinθ-π6≤1, ∴0≤2-2sinθ-π6≤4.∴0≤|z-ω|≤2.