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課時跟蹤檢測（十）小題考法——數(shù)列的概念及基本運算
A組——10＋7提速練
一、選擇題
1．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前n項和為Sn，則＝( )
A．2 B．4
C． D．
解析：選C ∵q＝2，
∴S4＝＝15a1，
∴＝＝.故選C.
2．(2017全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：選C 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則由得
即解得d＝4.
3．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S1＝a2－，S2＝a3－，則公比q＝( )
A．1 B．4
C．4或0 D．8
解析：選B ∵S1＝a2－，S2＝a3－，
∴
解得或，
故所求的公比q＝4.故選B.
4．(2019屆高三湖州五校聯(lián)考)若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，Sn是其前n項和，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．若a1＋a2>0，則a1＋a3>0
B．若a1＋a4>0，則a1a4>a2a3
C．若d>0且a1>0，則＋>
D．若S3＋S7>2S5，則d>0
解析：選D 由a1＋a2＝2a1＋d>0，得d>－2a1，由a1＋a3＝2a1＋2d>0，得d>－a1，顯然不符，A錯；a1a4＝a＋3a1d，a2a3＝a＋3a1d＋2d2，因為d≠0，所以a1a4
2S5＝10a1＋20d，解得d>0，D正確．
5．(2018金華統(tǒng)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S7＝S11，且a1>0，則Sn中最大的是( )
A．S7 B．S8
C．S9 D．S10
解析：選C 法一：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，根據(jù)S7＝S11可得7a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1，則Sn＝na1＋d＝na1＋＝－(n－9)2＋a1，由a1>0可知－<0，故當(dāng)n＝9時，Sn最大．
法二：根據(jù)S7＝S11可得a8＋a9＋a10＋a11＝0，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a8＋a11＝a9＋a10＝0，由a1>0可知a9>0，a10<0，所以數(shù)列{an}的前9項和最大．
6．(2019屆高三浙江名校聯(lián)考信息卷)已知數(shù)列{an}是正項數(shù)列，則“{an}為等比數(shù)列”是“a＋a≥2a”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A 若{an}為等比數(shù)列，則有anan＋2＝a，所以a＋a≥2＝2a，當(dāng)且僅當(dāng)an＝an＋2時取等號，所以充分性成立；當(dāng)a＋a≥2a時，取an＝n，則a＋a－2a＝n2＋(n＋2)2－2(n＋1)2＝2n2＋4n＋4－2n2－4n－2＝2>0，所以a＋a≥2a成立，但{an}是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，所以必要性不成立．所以“{an}為等比數(shù)列”是“a＋a≥2a”的充分不必要條件．故選A.
7．若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足SnSn＋1<0的正整數(shù)n的值為( )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：選C 由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即滿足SnSn＋1<0的正整數(shù)n的值為12，故選C.
8．(2018浙江考前熱身聯(lián)考)我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷(ɡuǐ)長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度)．二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同，周而復(fù)始．若冬至晷長一丈三尺五寸夏至晷長一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至之后的那個節(jié)氣(小暑)晷長是( )
A．五寸 B．二尺五寸
C．三尺五寸 D．四尺五寸
解析：選B 設(shè)從夏至到冬至的晷長依次構(gòu)成等差數(shù)列{an}，公差為d，a1＝15，a13＝135，則15＋12d＝135，解得d＝10.∴a2＝15＋10＝25，∴小暑的晷長是25寸．故選B.
9．已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且對任意n∈N*都有＋＋…＋的最大正整數(shù)n為________．
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由已知可得解得
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2－n.
Sn＝a1＋＋…＋， ①
＝＋＋…＋. ②
①－②得＝a1＋＋…＋－＝1－－＝1－－＝，
所以Sn＝，由Sn＝>，得0100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是( )
A．440 B．330
C．220 D．110
解析：選A 設(shè)第一項為第1組，接下來的兩項為第2組，再接下來的三項為第3組，依此類推，則第n組的項數(shù)為n，前n組的項數(shù)和為.
由題意可知，N>100，令>100，
得n≥14，n∈N*，即N出現(xiàn)在第13組之后．
易得第n組的所有項的和為＝2n－1，前n組的所有項的和為－n＝2n＋1－n－2.
設(shè)滿足條件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)組，且第N項為第k＋1組的第t(t∈N*)個數(shù)，
若要使前N項和為2的整數(shù)冪，則第k＋1組的前t項的和2t－1應(yīng)與－2－k互為相反數(shù)，
即2t－1＝k＋2，∴2t＝k＋3，∴t＝log2(k＋3)，
∴當(dāng)t＝4，k＝13時，N＝＋4＝95<100，不滿足題意；
當(dāng)t＝5，k＝29時，N＝＋5＝440；
當(dāng)t>5時，N>440，故選A.
3．(2018浙江考前沖刺卷)已知數(shù)列{an}是首項為1，公差d不為0的等差數(shù)列，且a2a3＝a8，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，其中b2＝－2，b5＝16，若數(shù)列{cn}滿足cn＝anbn，則|c1|＋|c2|＋|c3|＋…＋|cn|＝( )
A．3＋(2n－3)2n＋1 B．3＋(2n－3)2n
C．3－(2n－3)2n D．3＋(2n＋3)2n
解析：選B 由題意知，(a1＋d)(a1＋2d)＝a1＋7d，a1＝1，得d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q，則q3＝＝－8，q＝－2，所以bn＝(－2)n－1，所以|cn|＝|(2n－1)(－2)n－1|＝(2n－1)2n－1，所以|c1|＋|c2|＋|c3|＋…＋|cn|＝120＋321＋…＋(2n－1)2n－1.令Tn＝120＋321＋…＋(2n－1)2n－1，則2Tn＝121＋322＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，兩式相減得Tn＝－2(21＋22＋…＋2n－1)＋(2n－1)2n－1＝3＋(2n－3)2n，所以選B.
4．(2018浙江高三模擬)已知在數(shù)列{an}中，a1＝－，[1－(－1)n]an＝(－1)nan－1＋2－(n≥2)，且對任意的n∈N*，(an＋1－p)(an－p)<0恒成立，則實數(shù)p的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：選A ∵[1－(－1)n]an＝(－1)nan－1＋2－(n≥2)，(*)
a1＝－，∴①當(dāng)n為偶數(shù)時，化簡(*)式可知，an－1＝－2，∴an＝－2(n為奇數(shù))；
②當(dāng)n為奇數(shù)時，化簡(*)式可知，2an＝－an－1＋2－，即－4＝－an－1＋2－，即an－1＝6－，
∴an＝6－(n為偶數(shù))．于是an＝
∵對任意n∈N*，(an＋1－p)(an－p)<0恒成立，
∴對任意n∈N*，(p－an＋1)(p－an)<0恒成立．又數(shù)列{a2k－1}單調(diào)遞減，數(shù)列{a2k}單調(diào)遞增，∴當(dāng)n為奇數(shù)時，有an32n－1，且bn∈Z，則bn＝________，數(shù)列的前n項和為________．
解析：由2an＋1＝an＋an＋2，知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，因為a1＝2，a2＝4，所以其公差為2，所以an＝2n.由bn＋1－bn<2n＋，得bn＋2－bn＋1<2n＋1＋，所以bn＋2－bn<32n＋1，又bn＋2－bn>32n－1，且bn∈Z，所以bn＋2－bn＝32n，又b1＝2，b2＝4，所以bn＝2n.所以＝＝2n－1，則數(shù)列的前n項和為＝2n－1.
答案：2n 2n－1
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