陜西省藍(lán)田縣高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4.2.2 最大值最小值問(wèn)題導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 北師大版選修1 -1.doc

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4.2.2導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【考綱要求】 熟練利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)性質(zhì)?！局R(shí)梳理】1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f(x)0或f(x)1的解集為(A)A(3，2)(2,3)B(，)C(2,3)D(，)(，)【例題精析】題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程根的方法例1已知函數(shù)f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在x1處取得極值，直線ym與yf(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍解(1)f(x)3x23a3(x2a)，當(dāng)a0，當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，解得x.由f(x)0，解得x0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)，(，)，單調(diào)減區(qū)間為(，)(2)f(x)在x1處取得極值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x1處取得極大值f(1)1，在x1處取得極小值f(1)3.直線ym與函數(shù)yf(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合如圖所示f(x)的圖像可知：實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3,1)探究提高(1)對(duì)于該問(wèn)題的求解，一般利用研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖像的交點(diǎn)情況，建立含參數(shù)的方程組(或不等式)求之，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一(2)本題常見的錯(cuò)誤是不能把函數(shù)的極值與圖像交點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，缺乏轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的意識(shí)變式訓(xùn)練1 已知函數(shù)f(x)x3x26xa.(1)對(duì)任意xR，f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)(2)a或a0，試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)若f(x)在1，e上的最小值為，求a的值；(3)若f(x)0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是單調(diào)遞增函數(shù)(2)由(1)可知，f(x).若a1，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時(shí)f(x)在1，e上為增函數(shù)，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時(shí)f(x)在1，e上為減函數(shù)，f(x)minf(e)1，a(舍去)若ea1，令f(x)0得xa，當(dāng)1xa時(shí)，f(x)0，f(x)在(1，a)上為減函數(shù)；當(dāng)ax0，f(x)在(a，e)上為增函數(shù)，f(x)minf(a)ln(a)1，a.綜上所述，a.(3)f(x)x2，ln x0，axln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x.x(1，)時(shí)，h(x)0，h(x)在(1，)上是減函數(shù)h(x)h(1)20，即g(x)0，g(x)在(1，)上也是減函數(shù)g(x)g(1)1，當(dāng)a1時(shí)，f(x)x2在(1，)上恒成立探究提高(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，直接求導(dǎo)，然后解不等式即可，注意函數(shù)的定義域(2)參數(shù)問(wèn)題涉及的有最值恒成立的問(wèn)題、單調(diào)性的逆向應(yīng)用等，求解時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用變式訓(xùn)練2 設(shè)f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)當(dāng)a2時(shí)，求曲線yf(x)在x1處的切線方程；(2)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；(3)如果對(duì)任意的s，t都有f(s)g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)xln x，f(x)ln x1，f(1)2，f(1)1，故y2(x1)所以曲線yf(x)在x1處的切線方程為xy30.(2)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，等價(jià)于：g(x1)g(x2)maxM，g(x)x3x23，g(x)3x22x3x，x02g(x)0g(x)3遞減極(最)小值遞增1由上表可知：g(x)ming，g(x)maxg(2)1，g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min，所以滿足條件的最大整數(shù)M4.(3)對(duì)任意的s，t，都有f(s)g(t)成立等價(jià)于：在區(qū)間上，函數(shù)f(x)的最小值不小于g(x)的最大值，由(2)知，在區(qū)間上，g(x)的最大值為g(2)1.f(x)min1.又f(1)a，a1.下面證當(dāng)a1時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)f(x)1成立當(dāng)a1且x時(shí)，f(x)xln xxln x，記h(x)xln x，h(x)ln x1，h(1)0，當(dāng)x時(shí)，h(x)ln x10，所以函數(shù)h(x)xln x在區(qū)間上遞減，在區(qū)間(1,2上遞增，h(x)minh(1)1，即h(x)1，所以當(dāng)a1且x時(shí)，f(x)1成立，即對(duì)任意s，t都有f(s)g(t)題型三利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問(wèn)題例3為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x) (0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值解(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x).再由C(0)8，得k40，因此C(x).又建造費(fèi)用為C1(x)6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)20C(x)C1(x)206x6x (0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6.解得x5，x(舍去)當(dāng)0x5時(shí)，f(x)0，當(dāng)5x0，故x5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)6570.當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元變式訓(xùn)練3 (2011福建)某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2，其中3x6，a為常數(shù)已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大解：(1)a2(2)x4