2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題16 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用練習(xí) 理.docx
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16 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 1.某班的全體學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人數(shù)是15,則該班的學(xué)生人數(shù)是( ). A.45 B.50 C.55 D.60 解析? 由頻率分布直方圖知,低于60分的頻率為(0.010+0.005)20=0.3, ∴該班學(xué)生人數(shù)n=150.3=50,故選B. 答案? B 2.有一個(gè)容量為66的樣本,數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下: [11.5,15.5),2;[15.5,19.5),4;[19.5,23.5),9;[23.5,27.5),18;[27.5,31.5),11;[31.5,35.5),12;[35.5,39.5),7;[39.5,43.5],3. 根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì),數(shù)據(jù)落在[27.5,43.5]內(nèi)的概率是 . 解析? 由條件可知,落在[27.5,43.5]內(nèi)的數(shù)據(jù)有11+12+7+3=33(個(gè)),故所求概率是3366=12. 答案? 12 3.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中,再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù): 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為 . 解析? 20組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰好有兩次命中的是191,271,932,812,393,其頻率為520=0.25,以此估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為0.25. 答案? 0.25 4.如圖所示的莖葉圖是甲、乙兩人在4次模擬測(cè)試中的成績(jī),其中一個(gè)數(shù)字被污損,則甲的平均成績(jī)不超過(guò)乙的平均成績(jī)的概率為 . 解析? 依題意,設(shè)題中被污損的數(shù)字為x,若甲的平均成績(jī)不超過(guò)乙的平均成績(jī),則有(8+9+2+1)-(5+3+x+5)≤0,解得x≥7,即此時(shí)x的可能取值是7,8,9,因此甲的平均成績(jī)不超過(guò)乙的平均成績(jī)的概率P=310=0.3. 答案? 0.3 能力1 ? 概率與隨機(jī)抽樣的交匯問(wèn)題 【例1】 已知某中學(xué)高三理科班學(xué)生的數(shù)學(xué)與物理的水平測(cè)試成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)如下表: x 人數(shù) y A B C A 14 40 10 B a 36 b C 28 8 34 若抽取學(xué)生n人,成績(jī)分為A(優(yōu)秀),B(良好),C(及格)三個(gè)等級(jí),設(shè)x與y分別表示數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī),例如:表中物理成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的共有14+40+10=64(人),數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)锽等級(jí)且物理成績(jī)?yōu)镃等級(jí)的共有8人.已知x與y均為A等級(jí)的概率是0.07. (1)設(shè)在該樣本中,數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率是30%,求a,b的值; (2)已知a≥7,b≥6,求數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的人數(shù)比C等級(jí)的人數(shù)多的概率. 解析? (1)由題意知14n=0.07,解得n=200, ∴14+a+28200100%=30%,解得a=18, 易知a+b=30,∴b=12. (2)由14+a+28>10+b+34得a>b+2.又a+b=30且a≥7,b≥6,則(a,b)的所有可能結(jié)果為(7,23),(8,22),(9,21),…,(24,6),共18種,而a>b+2的可能結(jié)果為(17,13),(18,12),…,(24,6),共8種,則所求概率P=818=49. 求解古典概型與抽樣方法交匯問(wèn)題的思路 (1)依據(jù)題目中抽樣方法的信息,提煉需要的信息. (2)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與古典概型概率的正確計(jì)算. 某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下: 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費(fèi)(元) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下: 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率; (2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率; (3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值. 解析? (1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”,則事件A發(fā)生即為當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,故P(A)=0.1+0.05=0.15. (2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1,故P(B)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. 又P(AB)=P(A),故P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)=0.150.55=311. (3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X,則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 E(X)=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23. 能力2 ? 概率與頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用 【例2】 PM2.5是衡量空氣污染程度的一個(gè)指標(biāo),為了了解某市空氣質(zhì)量情況,從去年每天的PM2.5值的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取40天的數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖所示. 現(xiàn)將PM2.5值劃分為如下等級(jí) PM2.5值 [0,100) [100,150) [150,200) [200,250] 等級(jí) 一級(jí) 二級(jí) 三級(jí) 四級(jí) 用頻率估計(jì)概率. (1)估計(jì)該市在下一年的360天中空氣質(zhì)量為一級(jí)的天數(shù); (2)在樣本中,按照分層抽樣的方法抽取8天的PM2.5值的數(shù)據(jù),再?gòu)倪@8個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個(gè),求一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)、四級(jí)天氣都有的概率; (3)如果該市對(duì)環(huán)境進(jìn)行治理,治理后經(jīng)統(tǒng)計(jì),每天PM2.5值X近似滿足X~N(115,752),求治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了多少. 解析? (1)由樣本空氣質(zhì)量PM2.5的數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可知,其頻率分布如下表: PM2.5值 [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,250] 頻率 0.125 0.125 0.375 0.25 0.125 由上表可知,如果該市維持現(xiàn)狀不變,那么該市下一年的某一天空氣質(zhì)量為一級(jí)的概率為0.25, 因此在360天中約有3600.25=90(天). (2)在樣本中,按照分層抽樣的方法抽取8天的PM2.5值數(shù)據(jù),則這8個(gè)數(shù)據(jù)中一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)、四級(jí)天氣的數(shù)據(jù)分別有2個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè). 從這8個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個(gè),則這四種天氣都有三種情況:一級(jí)天氣的數(shù)據(jù)有2個(gè),其余的均為1個(gè);二級(jí)天氣的數(shù)據(jù)有2個(gè),其余的均為1個(gè);三級(jí)天氣的數(shù)據(jù)有2個(gè),其余的均為1個(gè). 情況有:C22C31C21C11+C21C32C21C11+C21C31C22C11=24種. 而從8個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個(gè),有C85=56種情況. 故所求概率為2456=37. (3)如果該市維持現(xiàn)狀不變,那么該市的PM2.5值的均值約為 E(Y)=250.125+750.125+1250.375+1750.25+2250.125=131.25. 如果該市對(duì)環(huán)境進(jìn)行治理,那么該市的PM2.5值X的均值為E(X)=115, 因此該市治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了16.25. 有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型,已成為高考考查的熱點(diǎn).概率與統(tǒng)計(jì)綜合題,無(wú)論是直接描述還是利用概率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息,準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵. 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值.由測(cè)量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[55,65),[65,75),[75,85]內(nèi)的頻率之比為4∶2∶1. (1)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率; (2)若將頻率視為概率,從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件,記這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間[45,75)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為X,求X的分布列. 解析? (1)設(shè)這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率為x,則落在區(qū)間[55,65),[65,75)內(nèi)的頻率分別為4x,2x. 依題意得(0.004+0.012+0.019+0.030)10+4x+2x+x=1,解得x=0.05. 所以這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率為0.05. (2)由(1)得,這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[45,75)內(nèi)的頻率為0.3+0.2+0.1=0.6,將頻率視為概率得p=0.6. 從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件,相當(dāng)于進(jìn)行了3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),所以X服從二項(xiàng)分布B(n,p),其中n=3,p=0.6. 因?yàn)閄的所有可能取值為0,1,2,3, 且P(X=0)=C300.600.43=0.064, P(X=1)=C310.610.42=0.288, P(X=2)=C320.620.41=0.432, P(X=3)=C330.630.40=0.216, 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 能力3 ? 概率與統(tǒng)計(jì)案例的綜合應(yīng)用 【例3】 某校計(jì)劃面向高一年級(jí)1200名學(xué)生開設(shè)校本選修課程,為確保工作的順利實(shí)施,先按性別進(jìn)行分層抽樣,抽取了180名學(xué)生對(duì)社會(huì)科學(xué)類、自然科學(xué)類這兩大類校本選修課程的選課意向進(jìn)行調(diào)查,其中男生有105人.在這180名學(xué)生中選擇社會(huì)科學(xué)類的男生、女生均為45人. (1)分別計(jì)算抽取的樣本中男生、女生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻率,并以統(tǒng)計(jì)的頻率作為概率,估計(jì)實(shí)際選課中選擇社會(huì)科學(xué)類的學(xué)生人數(shù); (2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果,完成22列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“科類的選擇與性別有關(guān)”. 選擇自然科學(xué)類 選擇社會(huì)科學(xué)類 合計(jì) 男生 女生 合計(jì) 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(K2≥k0) 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析? (1)由條件知,抽取的男生有105人,女生有180-105=75(人), 所以男生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻率為45105=37,女生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻率為4575=35. 由題意知,男生總數(shù)為1200105180=700,女生總數(shù)為120075180=500,所以估計(jì)選擇社會(huì)科學(xué)類的學(xué)生人數(shù)為70037+50035=600. (2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),可得列聯(lián)表如下: 選擇自然科學(xué)類 選擇社會(huì)科學(xué)類 合計(jì) 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合計(jì) 90 90 180 則K2的觀測(cè)值k=180(6045-3045)2105759090≈5.1429>5.024, 所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下能認(rèn)為“科類的選擇與性別有關(guān)”. (1)本題常見的錯(cuò)誤是對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想理解不深刻,做出錯(cuò)誤判定.(2)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí),提出的假設(shè)是兩者無(wú)關(guān). 近幾年出現(xiàn)各種食品問(wèn)題,食品添加劑會(huì)引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病.為了解三高疾病是否與性別有關(guān),醫(yī)院隨機(jī)對(duì)入院的60人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表: 患三高疾病 不患三高疾病 合計(jì) 男 6 30 女 合計(jì) 36 (1)請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整.若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽取9人,其中女性抽取多少人? (2)為了研究患三高疾病是否與性別有關(guān),請(qǐng)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量K2的觀測(cè)值k,并說(shuō)明是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“患三高疾病與性別有關(guān)”. 臨界值表: P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 參考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d. 解析? (1)補(bǔ)充列聯(lián)表如下: 患三高疾病 不患三高疾病 合計(jì) 男 24 6 30 女 12 18 30 合計(jì) 36 24 60 在患三高疾病的人群中抽取9人,則抽取比例為936=14, 所以女性應(yīng)該抽取1214=3(人). (2)由22列聯(lián)表,得K2的觀測(cè)值 k=60(2418-612)230303624=10>7.879, 所以可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“患三高疾病與性別有關(guān)”. 能力4 ? 統(tǒng)計(jì)與概率的綜合應(yīng)用 【例4】 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示. 將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立. (1)求在未來(lái)連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率; (2)用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望E(X)及方差D(X). 解析? (1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”,A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”,B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)”,因此 P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6, P(A2)=0.00350=0.15, P(B)=0.60.60.152=0.108. (2)X可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率為 P(X=0)=C30(1-0.6)3=0.064, P(X=1)=C310.6(1-0.6)2=0.288, P(X=2)=C320.62(1-0.6)=0.432, P(X=3)=C330.63=0.216. X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因?yàn)閄~B(3,0.6),所以數(shù)學(xué)期望E(X)=30.6=1.8, 方差D(X)=30.6(1-0.6)=0.72. 二項(xiàng)分布的期望與方差. (1)如果X~B(n,p),那么用公式E(X)=np;D(X)=np(1-p)求解,可大大減少計(jì)算量. (2)有些隨機(jī)變量雖然不服從二項(xiàng)分布,但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,這時(shí),可以綜合應(yīng)用E(aX+b)=aE(X)+b以及E(X)=np求出E(aX+b),同樣還可求出D(aX+b). 空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí):0~50為優(yōu);51~100為良;101~150為輕度污染;151~200為中度污染;201~300為重度污染;300以上為嚴(yán)重污染. 一環(huán)保人士記錄去年某地六月中的10天的AQI的莖葉圖如圖所示. (1)利用該樣本估計(jì)該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù); (2)將頻率視為概率,從六月中隨機(jī)抽取3天,記3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為ξ,求ξ的分布列. 解析? (1)從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)為2,空氣質(zhì)量為良的天數(shù)為4, ∴該樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的頻率為610=35, 從而估計(jì)該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為3035=18. (2)由(1)估計(jì)六月某天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為35, ξ的所有可能取值為0,1,2,3,且ξ~B3,35. ∴P(ξ=0)=253=8125, P(ξ=1)=C3135252=36125, P(ξ=2)=C3235225=54125, P(ξ=3)=353=27125, 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 8125 36125 54125 27125 一、選擇題 1.已知隨機(jī)變量x,y的值如表所示,如果x與y線性相關(guān)且回歸直線方程為y＾=bx+72,那么實(shí)數(shù)b=( ). x 2 3 4 y 5 4 6 A.-12 B.12 C.-110 D.110 解析? 因?yàn)閤-=3,y-=5,由回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(3,5),得5=3b+72,所以b=12. 答案? B 2.把樣本容量為20的數(shù)據(jù)分組,分組區(qū)間與頻數(shù)如下:[10,20),2;[20,30),3;[30,40),4;[40,50),5;[50,60),4;[60,70],2.則在區(qū)間[10,50)上的數(shù)據(jù)的頻率是( ). A.0.05 B.0.25 C.0.5 D.0.7 解析? 由題知,在區(qū)間[10,50)上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)是2+3+4+5=14,故其頻率為1420=0.7,故選D. 答案? D 3.在一個(gè)容量為N的總體中抽取容量為n的樣本,當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí),總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1,p2,p3,則( ). A.p1=p2下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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