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填空題滿分練(7)
1.已知a是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則a＝________.
答案 1
解析 ＝＝，
故所以a＝1.
2.若集合A＝{x|0
a>0)的離心率分別為e1和e2，則下列說法正確的是________.(填序號)
①e＝e；
②＋＝1；
③C1與C2的漸近線相同；
④C1與C2有8個公共點(diǎn).
答案?、?
解析 C1的離心率為e1＝＝；C2的離心率為e2＝＝，
∴e1＝e2，e＝e，∴①對，②錯；
∵C1的漸近線方程為y＝x，C2的漸近線方程為y＝x，∴③錯；
C1與C2有4個公共點(diǎn)，④錯，∴說法①正確.
5.已知點(diǎn)P(x，y)滿足條件則點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離為________.
答案
解析 畫出表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，
由得
由圖得，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－5,3)時，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離最大，且最大值為＝.
6.函數(shù)f(x)＝的最小正周期為____________，最大值為____________.
答案 π
解析 f(x)＝
＝
＝cos，
∴f(x)的最小正周期為T＝＝π，最大值為.
7.(2018南通、徐州、揚(yáng)州等六市模擬)如圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值為________.
答案 125
解析 執(zhí)行模擬程序可得S＝1，i＝1，滿足條件i<4，執(zhí)行循環(huán)體，S＝15＝5，i＝1＋1＝2，滿足條件i<4，執(zhí)行循環(huán)體，S＝55＝25，i＝2＋1＝3，滿足條件i<4，執(zhí)行循環(huán)體，S＝255＝125，i＝3＋1＝4，不滿足條件i<4，退出循環(huán)，輸出S的值為125.
8.將f(x)＝sin2x－cos2x＋1的圖象向左平移個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)y＝g(x)的說法正確的是________.(填序號)
①函數(shù)y＝g(x)的最小正周期是π；
②函數(shù)y＝g(x)的一條對稱軸是x＝；
③函數(shù)y＝g(x)的一個零點(diǎn)是；
④函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
答案?、佗冖?
解析 由題意可知f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1，則平移后，
得g(x)＝2sin＋1－1
＝2sin.易知①②③正確，④錯誤.
9.有一種細(xì)菌和一種病毒，每個細(xì)菌在每秒鐘殺死一個病毒的同時將自身分裂為2個，現(xiàn)在有1個這種細(xì)菌和200個這種病毒，問細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要______秒.
答案 8
解析 根據(jù)題意，每秒細(xì)菌殺死的病毒數(shù)成等比數(shù)列，
設(shè)需要n秒細(xì)菌將病毒全部殺死，
則1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，
∴≥200，
∴2n≥201，又n∈N，∴n≥8，
即至少需8秒鐘細(xì)菌將病毒全部殺死.
10.已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x－1) ，且f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)＝x2，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有4個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
答案 [5，＋∞)
解析 由題意可知函數(shù)f(x)是周期T＝2的偶函數(shù)，結(jié)合當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)＝x2，繪制函數(shù)圖象如圖所示，
函數(shù)g(x)有4個零點(diǎn)，則函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝loga(x＋2)的圖象在區(qū)間[－1,3]內(nèi)有4個交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可得，當(dāng)x＝3時，loga(3＋2)≤1，求解對數(shù)不等式可得a≥5.
11.已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，e為雙曲線的離心率，P是雙曲線右支上的點(diǎn)，△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為I，過F2作直線PI的垂線，垂足為B，則OB＝________.
答案 a
解析 延長F2B交PF1于點(diǎn)C，由PF1－PF2＝2a及圓的切線長定理知，
AF1－AF2＝2a，設(shè)內(nèi)切圓的圓心I的橫坐標(biāo)為x，
則(x＋c)－(c－x)＝2a，
∴x＝a，在△PCF2中，由題意得，它是一個等腰三角形，PC＝PF2，B為CF2的中點(diǎn)，
∴在△F1CF2中，有OB＝CF1＝(PF1－PC)
＝(PF1－PF2)＝2a＝a.
12.“現(xiàn)代五項(xiàng)”是由現(xiàn)代奧林匹克之父顧拜旦先生創(chuàng)立的運(yùn)動項(xiàng)目，包含射擊、擊劍、游泳、馬術(shù)和越野五項(xiàng)運(yùn)動.規(guī)定每一項(xiàng)運(yùn)動的前三名得分都分別為a，b，c(a>b>c，且a，b，c∈N*)，每位選手各項(xiàng)得分之和為最終得分.在一次比賽中，只有甲、乙、丙三人參加“現(xiàn)代五項(xiàng)”，甲最終得22分，乙和丙最終各得9分，且乙的馬術(shù)比賽獲得了第一名，則a＝________，游泳比賽的第三名是________.
答案 5 乙
解析 ∵5(a＋b＋c)＝22＋9＋9，故a＋b＋c＝8，
每個項(xiàng)目三個名次的分值情況只有兩種：①5分、2分、1分；②4分、3分、1分，
對于情況②4分、3分、1分，五場比賽甲不可能得22分，不合題意；
只能是情況①5分、2分、1分符合題意，所以a＝5.
因?yàn)橐业鸟R術(shù)比賽獲得第一名，5分，余下四個項(xiàng)目共得4分，只能是四個第三名；
余下四個第一名，若甲得三個第一名，15分，還有兩個項(xiàng)目得7分，不可能，
故甲必須得四個第一名，一個第二名，余下一個馬術(shù)第三名，四個第二名，剛好符合丙得分，由此可得游泳比賽的第三名是乙.
13.設(shè)min{m，n}表示m，n二者中較小的一個，已知函數(shù)f(x)＝x2＋8x＋14，g(x)＝min(x>0).若?x1∈[－5，a](a≥－4)，?x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，則a的最大值為________.
答案?。?
解析 由題意得g(x)＝則
g(x)max＝g(1)＝2.
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f(x)(－5≤x≤a)和g(x)(x>0)的圖象，如圖所示.
由f(x)＝2，得x＝－6或－2，
∵?x1∈[－5，a]，?x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，∴－4≤a≤－2，∴a的最大值為－2.
14.如圖，在△ABC中，sin＝，點(diǎn)D在線段AC上，且AD＝2DC，BD＝，則△ABC的面積的最大值為________.
答案 3
解析 由sin＝，可得cos＝，
則sin∠ABC＝2sincos＝.
由sin＝<可知，0<<45，
則0<∠ABC<90，
由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可知，cos∠ABC＝.
設(shè)AB＝x，BC＝y(tǒng)，AC＝3z(x>0，y>0，z>0)，
在△ABD中，由余弦定理可得，
cos∠BDA＝，
在△CBD中，由余弦定理可得，
cos∠BDC＝，
由∠BDA＋∠BDC＝180，
故cos∠BDA＝－cos∠BDC，
即＝－，
整理可得16＋6z2－x2－2y2＝0. ①
在△ABC中，由余弦定理可知，
x2＋y2－2xy＝2，
則6z2＝x2＋y2－xy，
代入①式整理計算可得，x2＋y2＋xy＝16，
由基本不等式可得，16≥2＋xy＝xy，
故xy≤9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3，y＝時等號成立，
據(jù)此可知，△ABC面積的最大值為Smax＝(ABBC)maxsin∠ABC＝9＝3.
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