（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.7 拋物線講義（含解析）.docx
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9.7 拋物線 最新考綱 考情考向分析 1.掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單幾何性質(zhì). 2.會解決直線與拋物線的位置關(guān)系的問題. 拋物線的方程、幾何性質(zhì)或與拋物線相關(guān)的綜合問題是命題的熱點(diǎn).題型既有小巧靈活的選擇、填空題，又有綜合性較強(qiáng)的解答題. 1.拋物線的概念 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線. 2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點(diǎn)坐標(biāo) O(0，0) 對稱軸 x軸 y軸 焦點(diǎn)坐標(biāo) F F F F 離心率 e＝1 準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 開口方向 向右 向左 向上 向下 概念方法微思考 1.若拋物線定義中定點(diǎn)F在定直線l上時(shí)，動點(diǎn)的軌跡是什么圖形？ 提示 過點(diǎn)F且與l垂直的直線. 2.直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的什么條件？ 提示 直線與拋物線的對稱軸平行時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，但不是相切，所以直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件. 題組一 思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊? (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.( ) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－.( ) (3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.( ) (4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.( √ ) (5)過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長為2a.( √ ) 題組二 教材改編 2.[P69例4]過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于( ) A.9B.8C.7D.6 答案 B 解析 拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 3.[P73A組T3]若拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線為l，P是拋物線上任意一點(diǎn)，則P到準(zhǔn)線l的距離與P到直線3x＋4y＋7＝0的距離之和的最小值是( ) A.2B.C.D.3 答案 A 解析 由拋物線定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，由拋物線y2＝4x及直線方程3x＋4y＋7＝0可得直線與拋物線相離.∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離與點(diǎn)P到直線3x＋4y＋7＝0的距離之和的最小值為點(diǎn)F(1，0)到直線3x＋4y＋7＝0的距離，即＝2.故選A. 4.[P72T1]已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點(diǎn)P(－2，－4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________. 答案 y2＝－8x或x2＝－y 解析 設(shè)拋物線方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0). 將P(－2，－4)代入，分別得方程為y2＝－8x或x2＝－y. 題組三 易錯(cuò)自糾 5.設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是( ) A.4B.6C.8D.12 答案 B 解析 如圖所示， 拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x＝－2，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P作PA⊥y軸，垂足是A，延長PA交直線l于點(diǎn)B，則|AB|＝2.由于點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離|PB|＝4＋2＝6，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離|PF|＝|PB|＝6.故選B. 6.已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是( ) A.y2＝2x B.y2＝2x C.y2＝4x D.y2＝4x 答案 D 解析 由已知可知雙曲線的焦點(diǎn)為(－，0)，(，0). 設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則＝， 所以p＝2，所以拋物線方程為y2＝4x.故選D. 7.設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是__________. 答案 [－1，1] 解析 Q(－2，0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意，故設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 當(dāng)k＝0時(shí)，符合題意，當(dāng)k≠0時(shí)， 由Δ＝(4k2－8)2－4k24k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1且k≠0， 綜上，k的取值范圍是[－1，1]. 題型一 拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 命題點(diǎn)1 定義及應(yīng)用 例1 設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動點(diǎn)，若B(3，2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________. 答案 4 解析 如圖，過點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1， 則|P1Q|＝|P1F|. 則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4， 即|PB|＋|PF|的最小值為4. 引申探究 1.若將本例中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(3，4)，試求|PB|＋|PF|的最小值. 解 由題意可知點(diǎn)B(3，4)在拋物線的外部. ∵|PB|＋|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離，F(xiàn)(1，0)， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2， 即|PB|＋|PF|的最小值為2. 2.若將本例中的條件改為：已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1＋d2的最小值. 解 由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0). 點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d1＝|PF|－1， 所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1. 易知d2＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離， 故d2＋|PF|的最小值為＝3， 所以d1＋d2的最小值為3－1. 命題點(diǎn)2 求標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0，2)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A.y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x C.y2＝4x或y2＝16x D.y2＝2x或y2＝16x 答案 C 解析 由題意知，F(xiàn)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，則由拋物線的定義知，xM＝5－，設(shè)以MF為直徑的圓的圓心為，所以圓的方程為2＋2＝，又因?yàn)閳A過點(diǎn)(0，2)，所以yM＝4，又因?yàn)辄c(diǎn)M在C上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x或y2＝16x，故選C. 思維升華 (1)與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決與過拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān)問題的重要途徑. (2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1，1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________. 答案 解析 如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線是x＝－1， 由拋物線的定義知，點(diǎn)P到直線x＝－1的距離等于點(diǎn)P到F的距離. 于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1，1)的距離與點(diǎn)P到F(1，0)的距離之和最小， 顯然，連接AF與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)， 此時(shí)最小值為＝. (2)如圖所示，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A.y2＝x B.y2＝9x C.y2＝x D.y2＝3x 答案 D 解析 分別過點(diǎn)A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分別為A1，B1，由已知條件|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|， 所以∠BCB1＝30. 又|AA1|＝|AF|＝3， 所以|AC|＝2|AA1|＝6， 所以|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3， 所以F為線段AC的中點(diǎn). 故點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p＝|AA1|＝， 故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝3x. 題型二 拋物線的幾何性質(zhì) 例3 (1)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，過焦點(diǎn)F且斜率為的直線與C相交于P，Q兩點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為M，N兩點(diǎn)，則S△MFN等于( ) A.p2 B.p2 C.p2 D.p2 答案 B 解析 不妨設(shè)P在第一象限，過Q作QR⊥PM，垂足為R， 設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為E，∵直線PQ的斜率為，∴直線PQ的傾斜角為60.由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝＋＝＝p. 在Rt△PRQ中，sin∠RPQ＝， ∴|QR|＝|PQ|sin∠RPQ＝p＝p，由題意可知|MN|＝|QR|＝p，∴S△MNF＝|MN||FE|＝pp＝p2.故選B. (2)過點(diǎn)P(－2，0)的直線與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|＝|AB|，則點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為( ) A.B.C.D.2 答案 A 解析 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別過點(diǎn)A，B作直線x＝－2的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E.∵|PA|＝|AB|， ∴又得x1＝， 則點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為1＋＝. 思維升華在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題更是如此. 跟蹤訓(xùn)練2(1)已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為( ) A.18B.24C.36D.48 答案 C 解析 以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，將x＝代入y2＝2px，可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，所以p＝6.因?yàn)辄c(diǎn)P在準(zhǔn)線上，所以點(diǎn)P到AB的距離為p＝6，所以△PAB的面積為612＝36. (2)(2015浙江)如圖，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由圖形可知，△BCF與△ACF有公共的頂點(diǎn)F，且A，B，C三點(diǎn)共線， 則△BCF與△ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點(diǎn)F(1，0)，作準(zhǔn)線l，則l的方程為x＝－1. ∵點(diǎn)A，B在拋物線上，過A，B分別作AK，BH與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點(diǎn)K，H，且與y軸分別交于點(diǎn)N，M.由拋物線定義，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN， ∴＝＝. 題型三 直線與拋物線 例4 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的長是8，AB的中點(diǎn)到x軸的距離是3. (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線m在y軸上的截距為6，且與拋物線交于P，Q兩點(diǎn).連接QF并延長交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)R，當(dāng)直線PR恰與拋物線相切時(shí)，求直線m的方程. 解 (1)設(shè)拋物線的方程是x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由拋物線定義可知y1＋y2＋p＝8， 又AB的中點(diǎn)到x軸的距離為3， ∴y1＋y2＝6， ∴p＝2， ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＝4y. (2)由題意知，直線m的斜率存在，設(shè)直線m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 由消去y得x2－4kx－24＝0， ∴(*) 易知拋物線在點(diǎn)P處的切線方程為y－＝(x－x3)， 令y＝－1，得x＝，∴R， 又Q，F(xiàn)，R三點(diǎn)共線， ∴kQF＝kFR，又F(0，1)， ∴＝， 即(x－4)(x－4)＋16x3x4＝0， 整理得(x3x4)2－4[(x3＋x4)2－2x3x4]＋16＋16x3x4＝0， 將(*)式代入上式得k2＝，∴k＝， ∴直線m的方程為y＝x＋6. 思維升華 (1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系. (2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn).若過拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式. (3)涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法. 提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解. (4)設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ①x1x2＝，y1y2＝－p2. ②弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角). ③以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. ④通徑：過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦. 跟蹤訓(xùn)練3已知拋物線C：x2＝2py(p>0)和定點(diǎn)M(0，1)，設(shè)過點(diǎn)M的動直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線交點(diǎn)為N. (1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值； (2)若△ABN面積的最小值為4，求拋物線C的方程. 解 (1)可設(shè)AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將AB的方程代入拋物線C，得 x2－2pkx－2p＝0，Δ＝4p2k2＋8p>0，顯然方程有兩不等實(shí)根， 則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.① 由x2＝2py得y′＝， 則A，B處的切線斜率乘積為＝－＝－1， 則有p＝2. (2)設(shè)切線AN為y＝x＋b， 又切點(diǎn)A在拋物線y＝上， ∴y1＝，∴b＝－＝－， ∴yAN＝x－. 同理yBN＝x－. 又∵N在yAN和yBN上， ∴解得N. ∴N(pk，－1). |AB|＝|x2－x1|＝， 點(diǎn)N到直線AB的距離d＝＝， S△ABN＝|AB|d＝≥2， ∴2＝4，∴p＝2， 故拋物線C的方程為x2＝4y. 直線與圓錐曲線問題的求解策略 例 (15分)已知拋物線C：y＝mx2(m>0)，焦點(diǎn)為F，直線2x－y＋2＝0交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，過P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q. (1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)； (2)若拋物線C上有一點(diǎn)R(xR，2)到焦點(diǎn)F的距離為3，求此時(shí)m的值； (3)是否存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由. 規(guī)范解答 解 (1)∵拋物線C：x2＝y(tǒng)， ∴它的焦點(diǎn)為F.[2分] (2)∵|RF|＝y(tǒng)R＋， ∴2＋＝3，得m＝.[4分] (3)存在，聯(lián)立方程 消去y得mx2－2x－2＝0(m>0)， 依題意，有Δ＝(－2)2－4m(－2)＝8m＋4>0恒成立， 方程必有兩個(gè)不等實(shí)根.[7分] 設(shè)A(x1，mx)，B(x2，mx)，則(*) ∵P是線段AB的中點(diǎn)， ∴P， 即P，∴Q，[10分] 得＝，＝. 若存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則＝0， 即＋＝0，[13分] 結(jié)合(*)式化簡得－－＋4＝0， 即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－， ∵m>0，∴m＝2. ∴存在實(shí)數(shù)m＝2，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形.[15分] 解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟 第一步：聯(lián)立方程，得關(guān)于x或y的一元二次方程； 第二步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出Δ>0時(shí)參數(shù)范圍(或指出直線過曲線內(nèi)一點(diǎn))； 第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的關(guān)系式，求得結(jié)果； 第四步：反思回顧，查看有無忽略特殊情況. 1.(2018浙江省名校聯(lián)考)拋物線y＝x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A.(2，0) B.(0，2) C. D. 答案 B 解析 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝8y，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，故選B. 2.已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A∈l，線段AF交拋物線C于點(diǎn)B，若＝3，則||等于( ) A.3B.4C.6D.7 答案 B 解析 由已知B為AF的三等分點(diǎn)，作BH⊥l于H，如圖， 則|BH|＝|FK|＝， ∴||＝||＝， ∴||＝3||＝4，故選B. 3.拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作斜率為的直線l與拋物線在y軸右側(cè)的部分相交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，則△AHF的面積是( ) A.4B.3C.4D.8 答案 C 解析 由拋物線的定義可得|AF|＝|AH|，∵AF的斜率為，∴AF的傾斜角為30，∵AH垂直于準(zhǔn)線， ∴∠FAH＝60，故△AHF為等邊三角形.設(shè)A，m>0，過F作FM⊥AH于M，則在△FAM中，|AM|＝|AF|，∴－1＝，解得m＝2，故等邊三角形AHF的邊長|AH|＝4，∴△AHF的面積是44sin60＝4.故選C. 4.拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的點(diǎn)，若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則p等于( ) A.2B.4C.6D.8 答案 D 解析 ∵△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切， ∴△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑. ∵圓的面積為36π，∴圓的半徑為6. 又∵圓心在OF的垂直平分線上，|OF|＝， ∴＋＝6，∴p＝8.故選D. 5.過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為120的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，則的值等于( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 記拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為l′， 如圖，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分別是A1，B1，C， 則cos∠ABB1＝＝＝， 即cos60＝＝，由此得＝. 6.(2018浙江省杭州市四校聯(lián)考)直線l交拋物線y2＝4x于A，B兩點(diǎn)，C(－1，2)，若拋物線的焦點(diǎn)F恰好為△ABC的重心，則直線AB的方程是( ) A.2x－y－3＝0 B.2x－y－5＝0 C.2x－y－5＝0或2x＋y－3＝0 D.2x＋y－3＝0 答案 D 解析 方法一 由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F(1，0). 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2， 線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1). 設(shè)直線AB的方程為t(y＋1)＝x－2，與拋物線方程聯(lián)立，消去x并整理得y2－4ty－4(t＋2)＝0，所以y1＋y2＝4t＝－2，t＝－，則直線AB的方程為－(y＋1)＝x－2，即2x＋y－3＝0，故選D. 方法二 由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F(1，0). 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2， 線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)，所以x1≠x2. 又A，B在拋物線上， 所以y＝4x1，y＝4x2，kAB＝＝＝－2， 則直線AB的方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0，故選D. 7.動點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，2)的距離比它到直線l：y＝－4的距離小2，則動點(diǎn)P的軌跡方程為____________. 答案 x2＝8y 解析 ∵動點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，2)的距離比它到直線l：y＝－4的距離小2，∴動點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，2)的距離與它到直線y＝－2的距離相等.根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡為以A(0，2)為焦點(diǎn)，以直線y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝8y. 8.(2018浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，M是拋物線C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若＝，則|FN|＝________. 答案 5 解析 如圖，過點(diǎn)M，N分別向拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線x＝－1作垂線段MA，NB， 其中MA交y軸于點(diǎn)C，因?yàn)閽佄锞€y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，所以|OF|＝1， 因?yàn)椋?，所以|MC|＝|OF|＝，所以|MA|＝，由拋物線的定義可得|MF|＝， 所以|MN|＝，所以|FN|＝5. 9.(2018湖州模擬)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，|AF||FB|＝8，則p＝______. 答案 2 解析 方法一 由題意知，直線方程為y＝x－，得x＝y(tǒng)＋代入拋物線方程，得y2＝2p，即y2－2py－p2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2＝－p2，|AF||FB|＝|y1||y2|＝2|y1y2|＝2p2＝8，得p＝2. 方法二 由題意可知，＋＝，得|FA|＋|FB|＝|FA||FB|＝，即|AB|＝＝，得p＝2. 10.如圖，已知拋物線C：x2＝2y，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，AB是拋物線C上的一條弦.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，2)，點(diǎn)B在第一象限上，且|BF|＝2|AF|，則直線AB的斜率為________，△ABF的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________. 答案 2＋2＝ 解析 因?yàn)閨BF|＝2|AF|，所以yB＋＝2＝2，解得yB＝，代入拋物線的方程得點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則直線AB的斜率kAB＝＝，直線AF的斜率kAF＝＝－，直線BF的斜率kBF＝＝，則kAFkBF＝－1，直線AF與直線BF相互垂直，即△ABF為直角三角形，則△ABF的外接圓的圓心為，即，半徑為＝，所以外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋2＝. 11.(2018浙江七彩陽光聯(lián)盟聯(lián)考)已知F是拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是不在拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P向拋物線C作兩條切線l1，l2，切點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)如果點(diǎn)P在直線y＝－1上，求＋的值； (2)若點(diǎn)P在以F為圓心，半徑為4的圓上，求|AF||BF|的值. 解 (1)因?yàn)閽佄锞€C的方程為y＝， 所以y′＝， 所以切線PA的方程為y－y1＝(x－x1)， 即x－y－y1＝0，① 同理切線PB的方程為x－y－y2＝0，② 設(shè)P(x0，y0)，則由①②得x1x0－2y1－2y0＝0及x2x0－2y2－2y0＝0， 所以直線AB的方程為x0x－2y－2y0＝0. 由于點(diǎn)P是直線y＝－1上的一個(gè)動點(diǎn)， 所以y0＝－1， 即直線AB的方程為x0x－2y＋2＝0， 因此它過拋物線的焦點(diǎn)F(0，1). 當(dāng)x0＝0時(shí)，AB的方程為y＝1，此時(shí)|AF|＝|BF|＝2， 所以＋＝1； 當(dāng)x0≠0時(shí)，把直線AB的方程代入拋物線C的方程， 得y2－(x＋2)y＋1＝0， 從而有y1y2＝1，y1＋y2＝x＋2， 所以＋＝＋＝＝1. 綜上可知，＋＝1. (2)由(1)知，切線PA的方程為y＝x－， 切線PB的方程為y＝x－， 聯(lián)立得點(diǎn)P. 設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，代入拋物線C：x2＝4y，得x2－4kx－4m＝0，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2k，－m)，所以|PF|＝＝4，即(m＋1)2＝16－4k2，從而|AF||BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝(kx1＋m＋1)(kx2＋m＋1)＝k2x1x2＋k(m＋1)(x1＋x2)＋(m＋1)2＝－4mk2＋4k2(m＋1)＋16－4k2＝16. 12.如圖，過拋物線M：y＝x2上一點(diǎn)A(點(diǎn)A不與原點(diǎn)O重合)作拋物線M的切線AB交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C是拋物線M上異于點(diǎn)A的點(diǎn)，設(shè)G為△ABC的重心(三條中線的交點(diǎn))，直線CG交y軸于點(diǎn)D. (1)設(shè)A(x0，x)(x0≠0)，求直線AB的方程； (2)求的值. 解 (1)因?yàn)閥′＝2x，所以直線AB的斜率k＝＝2x0， 所以直線AB的方程為y－x＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x－x. (2)由題意及(1)得，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)yB＝－x， 所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為. 設(shè)C(x1，y1)，G(x2，y2)， 直線CG的方程為x＝my＋x0. 由 得m2y2＋(mx0－1)y＋x＝0. 因?yàn)镚為△ABC的重心， 所以y1＝3y2. 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 y1＋y2＝4y2＝，y1y2＝3y＝. 所以＝， 解得mx0＝－32. 所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)yD＝－＝， 故＝＝46. 13.如圖所示，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若F是AC的中點(diǎn)，且|AF|＝4，則線段AB的長為( ) A.5 B.6 C. D. 答案 C 解析 方法一 如圖所示，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AD⊥l，交l于點(diǎn)D， 由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4， 所以x1＝3，解得y1＝2， 所以A(3，2)， 又F(1，0)，所以直線AF的斜率k＝＝， 所以直線AF的方程為y＝(x－1)， 代入拋物線方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0， 所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故選C. 方法二 如圖所示，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AD⊥l，交l于點(diǎn)D，由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝.故選C. 方法三 如圖所示，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AD⊥l，交l于點(diǎn)D， 由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4， 由F是AC的中點(diǎn)，知|AF|＝2|MF|＝2p， 所以2p＝4，解得p＝2， 所以拋物線的方程為y2＝4x. 因?yàn)椋?，|AF|＝4， 所以|BF|＝， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.故選C. 14.如圖所示，拋物線y＝x2，AB為過焦點(diǎn)F的弦，過A，B分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)M，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，則①若AB的斜率為1，則|AB|＝4；②|AB|min＝2；③yM＝－1；④若AB的斜率為1，則xM＝1；⑤xAxB＝－4.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( ) A.1B.2C.3D.4 答案 B 解析 由題意得，焦點(diǎn)F(0，1)，對于①，lAB的方程為y＝x＋1，與拋物線的方程聯(lián)立， 得消去x，得y2－6y＋1＝0， 所以yA＋yB＝6，則|AB|＝y(tǒng)A＋yB＋p＝8，則①錯(cuò)誤； 對于②，|AB|min＝2p＝4，則②錯(cuò)誤； 因?yàn)閥′＝，則lAM：y－yA＝(x－xA)， 即y＝xAx－，lBM：y－yB＝(x－xB)， 即y＝xBx－， 聯(lián)立lAM與lBM的方程得 解得M. 設(shè)lAB的方程為y＝kx＋1，與拋物線的方程聯(lián)立， 得消去y，得x2－4kx－4＝0， 所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4， 所以yM＝－1，③和⑤均正確； 對于④，當(dāng)AB的斜率為1時(shí)，xM＝2，則④錯(cuò)誤，故選B. 15.(2019浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知拋物線y2＝4x，焦點(diǎn)記為F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則|AF|－的最小值為________. 答案 2－2 解析 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝1. 由拋物線的定義可得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1， 所以|AF|－＝x1＋1－＝＝＝＝. 令x2－1＝t(t>0)，則x2＝t＋1， 所以|AF|－＝＝ ≥＝＝＝2－2(當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)等號成立)； 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易得|AF|－＝1. 綜上，|AF|－的最小值為2－2. 16.設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條，求r的取值范圍. 解 如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 則 兩式相減得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2). 當(dāng)l的斜率k不存在時(shí)，符合條件的直線l必有兩條. 當(dāng)k存在時(shí)，x1≠x2， 則有＝2， 又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2. 由CM⊥AB，得k＝－1， 即y0k＝5－x0， 因此2＝5－x0，x0＝3， 即M必在直線x＝3上. 將x＝3代入y2＝4x， 得y2＝12，則有－2下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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