（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第五章 三角函數(shù)、解三角形 5.5 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用講義（含解析）.docx

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5.5　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用 最新考綱 考情考向分析 了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的實際意義，掌握y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響. 以考查函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的五點法畫圖、圖象之間的平移伸縮變換以及由圖象求函數(shù)解析式為主，常與三角函數(shù)的性質、三角恒等變換結合起來進行綜合考查，加強數(shù)形結合思想的應用意識．題型為選擇題和填空題，中檔難度. 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有關概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點 如下表所示： x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函數(shù)y＝sinx的圖象經變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑 概念方法微思考 1．怎樣從y＝sinωx的圖象變換得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的圖象？ 提示　向左平移個單位長度． 2．函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)圖象的對稱軸是什么？ 提示　x＝＋－(k∈Z)． 題組一　思考辨析 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)y＝sin的圖象是由y＝sin的圖象向右平移個單位長度得到的．(　√　) (2)將函數(shù)y＝sinωx的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度，得到函數(shù)y＝sin(ωx－φ)的圖象．(　　) (3)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為.(　√　) (4)函數(shù)y＝sinx的圖象上各點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，所得圖象對應的函數(shù)解析式為y＝sinx.(　　) 題組二　教材改編 2．[P55T2]為了得到函數(shù)y＝2sin的圖象，可以將函數(shù)y＝2sin2x的圖象向________平移________個單位長度． 答案　右　 3．[P56T3]y＝2sin的振幅、頻率和初相分別為__________________． 答案　2，，－ 題組三　易錯自糾 4．(2018嘉興第一中學期中考試)為了得到函數(shù)y＝sin的圖象，可以將函數(shù)y＝cos2x的圖象(　　) A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度 答案　A 解析　y＝sin＝cos ＝cos＝cos， 故把函數(shù)y＝cos2x的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)y＝sin的圖象． 5．將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應的函數(shù)為________________． 答案　y＝2sin 解析　函數(shù)y＝2sin的周期為π，將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個周期，即個單位長度， 所得函數(shù)為y＝2sin＝2sin. 6．y＝cos(x＋1)圖象上相鄰的最高點和最低點之間的距離是________． 答案　 解析　相鄰最高點與最低點的縱坐標之差為2，橫坐標之差恰為半個周期π，故它們之間的距離為. 7.若函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分圖象如圖所示，則f的值為________． 答案　 解析　由題干圖象可知A＝2，T＝－＝， ∴T＝π，∴ω＝2，∵當x＝時，函數(shù)f(x)取得最大值， ∴2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)， 又0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin， 則f＝2sin＝2cos＝. 題型一　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換 例1已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且當x＝時，f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式； (2)作出f(x)在[0，π]上的圖象(要列表)． 解　(1)因為函數(shù)f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因為當x＝時，f(x)取得最大值2. 所以A＝2， 同時2＋φ＝2kπ＋，k∈Z， φ＝2kπ＋，k∈Z， 因為－<φ<， 所以φ＝， 所以函數(shù)y＝f(x)的解析式為f(x)＝2sin. (2)因為x∈[0，π]，所以2x＋∈， 列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 描點、連線得圖象： 引申探究 在本例條件下，若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移m(m>0)個單位長度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，且y＝g(x)是偶函數(shù)，求m的最小值． 解　由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin＝2sin是偶函數(shù)，所以2m－＝(2k＋1)，k∈Z，m＝＋，k∈Z， 又因為m>0，所以m的最小值為. 思維升華 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象可用“五點法”作簡圖得到，可通過變量代換z＝ωx＋φ計算五點坐標． (2)由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩條途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”． 跟蹤訓練1　(1)把函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點的橫坐標都縮小到原來的一半，縱坐標保持不變，再把圖象向右平移個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為________________． 答案　y＝sin 解析　把函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點的橫坐標都縮小到原來的一半，縱坐標保持不變，得到函數(shù)y＝sin2x的圖象，再把該函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)y＝sin2＝sin的圖象． (2)已知函數(shù)f(x)＝sin(0<ω<2)滿足條件：f＝0，為了得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，可將函數(shù)g(x)＝cosωx的圖象向右平移m(m>0)個單位長度，則m的最小值為(　　) A．1B.C.D. 答案　A 解析　由題意得sin＝0，即－ω＋＝kπ(k∈Z)，則ω＝－2kπ(k∈Z)，結合0<ω<2，得ω＝，所以f(x)＝sin＝cos＝cos，所以只需將函數(shù)g(x)＝cosx的圖象向右至少平移1個單位長度，即可得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，故選A. 題型二　由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2(1)若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則y＝________________. 答案　2sin 解析　由題圖可知，A＝2，T＝2＝π，所以ω＝2，由五點作圖法可知2＋φ＝，所以φ＝－，所以函數(shù)的解析式為y＝2sin. (2)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ) 的部分圖象如圖所示，則y＝f取得最小值時x的集合為________． 答案　 解析　根據(jù)所給圖象，周期T＝4＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外圖象經過點，代入有2＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)， 再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x)＝sin， ∴f＝sin， 當2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)時，y＝f取得最小值． 思維升華y＝Asin(ωx＋φ)中φ的確定方法 (1)代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入． (2)五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口． 跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后，得到函數(shù)g(x)的圖象關于點對稱，則m的值可能為(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　依題意得解得 ＝＝－＝， 故ω＝2，則f(x)＝sin(2x＋φ)＋. 又f＝sin＋＝， 故＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)． 因為|φ|<，故φ＝， 所以f(x)＝sin＋. 將函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個單位長度后得到g(x)＝sin＋的圖象，又函數(shù)g(x)的圖象關于點對稱，即h(x)＝sin的圖象關于點對稱，故sin＝0，即＋2m＝kπ(k∈Z)，故m＝－(k∈Z)．令k＝2，則m＝. 題型三　三角函數(shù)圖象、性質的綜合應用 命題點1　圖象與性質的綜合問題 例3(2018浙江省知名重點中學聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h(A>0，ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間． 解　(1)由三角函數(shù)的圖象可知， 得 設函數(shù)f(x)的最小正周期為T，則由題意得＝－，所以T＝π， 所以＝π，解得ω＝2. 因為函數(shù)f(x)的圖象過點，且0<φ<， 所以2＝sin＋1，解得φ＝. 所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝sin＋1. (2)由(1)知，f(x)＝sin＋1， 因為將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)圖象， 所以g(x)＝sin＋1＝sin＋1. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間為，k∈Z. 命題點2　函數(shù)零點(方程根)問題 例4已知關于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有兩個不同的實數(shù)根，則m的取值范圍是____________． 答案　(－2，－1) 解析　方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0可轉化為 m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x ＝2sin，x∈. 設2x＋＝t，則t∈， ∴題目條件可轉化為＝sint，t∈有兩個不同的實數(shù)根． ∴y1＝和y2＝sint，t∈的圖象有兩個不同交點，如圖： 由圖象觀察知，的取值范圍是， 故m的取值范圍是(－2，－1)． 引申探究 本例中，若將“有兩個不同的實數(shù)根”改成“有實根”，則m的取值范圍是__________． 答案　[－2,1) 解析　由上例題知，的取值范圍是， ∴－2≤m<1，∴m的取值范圍是[－2,1)． 思維升華 (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結合思想進行解題． (2)方程根的個數(shù)可轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)． 跟蹤訓練3　(1)將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向左平移個單位長度后關于原點對稱，則函數(shù)f(x)在上的最小值為(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向左平移個單位長度得到y(tǒng)＝sin＝sin的圖象，該圖象關于原點對稱，即為奇函數(shù)，則＋φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝sin.當x∈時，2x－∈，所以當2x－＝－，即x＝0時，f(x)取得最小值，最小值為－. (2)若函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)滿足f(0)＝f，且函數(shù)在上有且只有一個零點，則f(x)的最小正周期為________． 答案　π 解析　∵f(0)＝f，∴x＝是f(x)圖象的一條對稱軸，∴f＝1，∴ω＋＝＋kπ，k∈Z， ∴ω＝6k＋2，k∈Z，∴T＝(k∈Z)． 又f(x)在上有且只有一個零點， ∴<≤－，∴0)的最小正周期是π，則其圖象向右平移個單位長度后對應函數(shù)的單調遞減區(qū)間是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　B 解析　由題意知ω＝＝2，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)＝cos＝cos＝sin2x的圖象，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得所求函數(shù)的單調遞減區(qū)間為(k∈Z)． 4．函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調遞增區(qū)間為(　　) A．[－1＋4kπ，1＋4kπ](k∈Z) B．[－3＋8kπ，1＋8kπ](k∈Z) C．[－1＋4k,1＋4k](k∈Z) D．[－3＋8k,1＋8k](k∈Z) 答案　D 解析　由題圖知，T＝4(3－1)＝8，所以ω＝＝，所以f(x)＝sin.把(1,1)代入，得sin＝1，即＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得8k－3≤x≤8k＋1(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為[8k－3,8k＋1](k∈Z)． 5．若函數(shù)y＝sin(ωx－φ)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是(　　) A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－ 答案　A 解析　由題圖可知，T＝2＝π， 所以ω＝＝2，又sin＝0， 所以－φ＝2kπ(k∈Z)， 即φ＝－2kπ(k∈Z)， 又|φ|<，所以φ＝，故選A. 6．將函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)的圖象向左平移個單位長度后是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)在上的最小值為(　　) A．－B．－C.D. 答案　A 解析　將函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)的圖象向左平移個單位長度得到y(tǒng)＝sin的圖象，該函數(shù)為奇函數(shù)，則＋φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝sin.當x∈時，x－∈，所以當x－＝－，即x＝0時，f(x)取得最小值，最小值為－. 7．已知函數(shù)f(x)＝Atan(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f＝________. 答案　 解析　由題干圖象知＝2＝，所以ω＝2. 因為2＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 所以φ＝kπ＋(k∈Z)， 又|φ|<，所以φ＝，這時f(x)＝Atan. 又函數(shù)圖象過點(0,1)，代入上式得A＝1，所以f(x)＝tan.所以f＝tan＝. 8.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)＝________. 答案　 解析　由題圖可知，＝－＝， 則T＝π，ω＝2，又＝， 所以f(x)的圖象過點，即sin＝1， 所以2＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<，可得φ＝，所以f(x)＝sin. 由f(x1)＝f(x2)，x1，x2∈， 可得x1＋x2＝－＋＝， 所以f(x1＋x2)＝f＝sin＝sin＝. 9．(2018“七彩陽光”聯(lián)盟期初聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象過點，若f(x)≤f對x∈R恒成立，則ω的值為__________；當ω最小時，函數(shù)g(x)＝f－在區(qū)間[0,22]上的零點個數(shù)為________． 答案　1＋12k(k∈N)　8 解析　由題意得φ＝，且當x＝時，函數(shù)f(x)取得最大值，故ω＋＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝1＋12k，k∈Z，又ω>0，所以ω＝1＋12k，k∈N，則ω的最小值為1.因此g(x)＝f－＝sinx－，又7π<22<8π，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,22]上的零點個數(shù)是8. 10．已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－ω，ω)內單調遞增，且函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝ω對稱，則ω的值為________． 答案　 解析　f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin， 因為f(x)在區(qū)間(－ω，ω)內單調遞增，且函數(shù)圖象關于直線x＝ω對稱，所以f(ω)必為一個周期上的最大值，所以有ωω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝. 11．已知函數(shù)f(x)＝2sin(其中0<ω<1)，若點是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心． (1)求ω的值，并求出函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)先列表，再作出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－π，π]上的圖象． 解　(1)因為點是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心， 所以－＋＝kπ(k∈Z)，ω＝－3k＋(k∈Z)， 因為0<ω<1，所以當k＝0時，可得ω＝. 所以f(x)＝2sin. 令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)由(1)知，f(x)＝2sin，x∈[－π，π]， 列表如下： x＋ － － 0 π x －π － － π f(x) －1 －2 0 2 0 －1 作出函數(shù)部分圖象如圖所示： 12．(2018浙江五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝asin2x＋bcos2x(其中a，b為非零常數(shù))的圖象經過點，. (1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)若x∈，f(x)＝，求cos2x的值． 解　(1)由題意得得 故f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得 －＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， ∴函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)由f(x)＝2sin＝， 得sin＝， ∵x∈，∴－≤2x－≤， ∴cos＝. ∴cos2x＝cos ＝coscos－sinsin ＝－＝－. 13．(2018浙江省六校協(xié)作體期末聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋θ)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋θ)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若f(x)，g(x)的圖象都經過點P，則φ的一個可能值是(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　由函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋θ)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，得函數(shù)f(x)的最小正周期為π，則π＝，所以ω＝2，函數(shù)f(x)＝3sin(2x＋θ)的圖象向右平移φ個單位長度，得到g(x)＝3sin(2x＋θ－2φ)的圖象，因為f(x)，g(x)的圖象都經過點P，所以sinθ＝，sin(θ－2φ)＝，又－<θ<，所以θ＝，所以sin＝，所以－2φ＝2kπ＋(k∈Z)或－2φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝－kπ(k∈Z)或φ＝－kπ－(k∈Z)，因為φ>0，所以結合選項知φ的一個可能值是，故選D. 14．已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.在曲線y＝f(x)與直線y＝1的交點中，若相鄰交點距離的最小值為，則f(x)的最小正周期為________． 答案　π 解析　f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ω>0)． 由2sin＝1，得sin＝， ∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)． 令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝， ∴x1＝0，x2＝.由|x1－x2|＝， 得＝，∴ω＝2.故f(x)的最小正周期T＝＝π. 15．已知函數(shù)y＝Msin(ωx＋φ)(M>0，ω>0,0<φ<π)的圖象關于直線x＝對稱．該函數(shù)的部分圖象如圖所示，AC＝BC＝，C＝90，則f的值為________． 答案　 解析　依題意知，△ABC是直角邊長為的等腰直角三角形，因此其邊AB上的高是，函數(shù)f(x)的最小正周期是2，故M＝，＝2，ω＝π，f(x)＝sin(πx＋φ)． 又f(x)的圖象關于直線x＝對稱， ∴f＝sin＝. ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<π，∴φ＝， ∴f＝sin＝. 16．已知函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)－的圖象在y軸上的截距為1，且關于直線x＝對稱，若存在x∈，使m2－3m≥f(x)成立，則實數(shù)m的取值范圍為________________． 答案　(－∞，1]∪[2，＋∞) 解析　∵函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)－的圖象在y軸上的截距為1，∴Asinφ－＝1，即Asinφ＝. ∵函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)－的圖象關于直線x＝對稱，∴2＋φ＝kπ＋，k∈Z， 又0<φ<，∴φ＝，∴Asin＝， ∴A＝，∴f(x)＝sin－. 當x∈時，2x＋∈， ∴當2x＋＝，即x＝時，f(x)min＝－－＝－2. 令m2－3m≥－2，解得m≥2或m≤1.