陜西省藍(lán)田縣高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4.2.2 最大值最小值問題教案 北師大版選修1 -1.doc
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4.2.2 最大值最小值問題 教學(xué)目標(biāo) 1.能夠區(qū)分極值與最值兩個(gè)不同的概念. 2.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次). 3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題. 教學(xué)重點(diǎn) 1. 考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值及單調(diào)性等問題. 2. 結(jié)合單調(diào)性與最值求參數(shù)范圍、證明不等式內(nèi)容是高考熱點(diǎn),難點(diǎn)。 學(xué)時(shí)難點(diǎn) 1. 考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值及單調(diào)性等問題. 2. 結(jié)合單調(diào)性與最值求參數(shù)范圍、證明不等式內(nèi)容是高考熱點(diǎn), 教學(xué)活動(dòng) 活動(dòng)1【講授】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 知識(shí)梳理:(1)如果函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,那么f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值.函數(shù)的最值是函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì). 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值點(diǎn)x0指的是:函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值______________. 最大值或者_(dá)___________取得,或者_(dá)___________取得. 問題探究一 函數(shù)的最值 問題1 如圖,觀察區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖像,它的極大值、極小值嗎? 問題2 觀察問題1的函數(shù)y=f(x),你能找出函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值、最小值嗎? 問題3 函數(shù)的極值和最值有什么區(qū)別和聯(lián)系? (1)函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念,最大值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值;最小值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值. (2)函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的,函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的,函數(shù)的極值可以有多個(gè),但最值只能有一個(gè);極值只能在區(qū)間內(nèi)取得,最值則可以在端點(diǎn)取得;有極值的未必有最值,有最值的未必有極值;極值有可能成為最值,最值只要不在端點(diǎn)必定是極值. 問題4 怎樣求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值? 只要求出函數(shù)的各個(gè)極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值,進(jìn)行比較即可. 例1. (2014鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)=(k為常數(shù),e=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行. (1)求k的值; (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; [解題指導(dǎo)](1)已知:曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行. (2)分析:①由曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行可知f′(1)=0即可求出k的值;②由函數(shù)解析式,求導(dǎo)進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.③構(gòu)造函數(shù)證明不等式. 訓(xùn)練1 求函數(shù)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]的最值. 解 f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3 ∵f′(x)在[-1,1]內(nèi)恒大于0, ∴f (x)在[-1,1]上為增函數(shù) 故x=-1時(shí),f(x)最小值=-12; 即f(x)的最小值為-12,最大值為2. 問題探究二 含參數(shù)的最值問題 問題1 若函數(shù)f(x)已知最值,且函數(shù)關(guān)系式中含有參數(shù),怎樣根據(jù)函數(shù)最值確定參數(shù)? 答案 根據(jù)函數(shù)在哪一點(diǎn)處取得最值,采用待定系數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)列方程可以解出參數(shù)值.問題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)的極值或端點(diǎn)處的函數(shù)值以及它們的大?。? 問題2 含參數(shù)的函數(shù),怎樣求函數(shù)的最值? 答案 由于參數(shù)的取值范圍不同會(huì)導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化,從而導(dǎo)致最值的變化,因此解決這類問題往往需要分類討論,參數(shù)分界標(biāo)準(zhǔn)是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為零時(shí)自變量的大小或通過函數(shù)值的大小等方面確定的. 例2若函數(shù)f(x)=ax3-bx+4,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)f(x)有極值- . (1)求函數(shù)的解析式; (2)若關(guān)于x的方程f(x)=k有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 解 (1)由題意可知f′(x)=3ax2-b. 故所求的函數(shù)解析式為f(x)=x3-4x+4. (2)由(1)可知f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2). 令f′(x)=0,得x=2,或x=-2 因此,當(dāng)x=-2時(shí),f(x)有極大值,當(dāng)x=2時(shí),f(x)有極小值-, 所以函數(shù)的大致圖象如圖所示,故實(shí)數(shù)k的取值范圍是. 小結(jié) 含參數(shù)的函數(shù),已知最值可考慮使用待定系數(shù)法確定參數(shù);求含參數(shù)的最值要分類討論,注意導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的大小及是否在函數(shù)定義域內(nèi). 訓(xùn)練2 設(shè)f(x)=-x3+x2+2ax. (1)若f(x)在(,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求a的取值范圍. (2)當(dāng)00.由f′(x)=-x2+x+2a=-(x-)2++2a,f′(x)在區(qū)間[,+∞)上單調(diào)遞減,則只需f′()>0即可.由f′()=+2a>0解得a>-,所以,當(dāng)a>-時(shí),f(x)在(,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間. (2)令f′(x)=0,得兩根x1= ,x2=. 所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上單調(diào)遞增,又f(4)-f(1)=-+6a<0,即f(4)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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