2019高考數學二輪復習 專題十 第十九講 數學文化與核心素養(yǎng)習題 文.docx

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第十九講　數學文化與核心素養(yǎng) 1.《算數書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現存最早的有系統的數學典籍,其中記載有求“囷蓋”的術:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”該術相當于給出了由圓錐的底面周長l與高h,計算其體積V的近似公式V≈136l2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式V≈7264l2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取為(　　) A.227 B.258 C.15750 D.355113 2.我國南宋著名數學家秦九韶發(fā)現了由三角形三邊長求三角形的面積的“三斜求積”公式:設△ABC的三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則△ABC的面積S=14c2a2-c2+a2-b222.若a2sinC=4sinA,(a+c)2=12+b2,則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為(　　) A.3 B.2 C.3 D.6 3.3世紀中期,數學家劉徽發(fā)現當圓內接正多邊形的邊數無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,并因此創(chuàng)立了“割圓術”.利用“割圓術”,劉徽得到了圓周率精確到小數點后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術”設計的一個程序框圖,則輸出的n為(參考數據:sin15≈0.2588,sin7.5≈0.1305)(　　) A.12 B.24 C.36 D.48 4.(2018貴州貴陽模擬)我國明朝數學家程大位著的《算法統宗》里有一道聞名世界的題目:“一百饅頭一百僧,大僧三個更無爭.小僧三人分一個,大小和尚各幾丁?”如圖所示的程序框圖反映了對此題的一個求解算法,執(zhí)行程序框圖,則輸出的n的值為(　　) A.20 B.25 C.30 D.35 5.(2018重慶六校聯考)《九章算術》中有如下問題:“今有勾八步,股一十五步,問勾中容圓徑幾何.”其大意:“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步,問其內切圓的直徑為多少步?”現若向此三角形內隨機投一粒豆子,則豆子落在其內切圓外的概率是(　　) A.3π10 B.3π20 C.1-3π10 D.1-3π20 6.(2018云南昆明調研)如圖所示的程序框圖來源于中國古代數學著作《孫子算經》,其中定義[x]表示不超過x的最大整數,例如[0.6]=0,[2]=2,[3.6]=3.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的a=(　　) A.9 B.16 C.23 D.30 7.(2018吉林長春監(jiān)測)《九章算術》卷五商功中有如下問題:今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高一丈,問積幾何?芻甍:底面為矩形的屋脊狀的幾何體(網格紙中粗線部分為其三視圖,設網格紙上每個小正方形的邊長為1),那么該芻甍的體積為(　　) A.4 B.5 C.6 D.12 8.北宋數學家沈括的主要成就之一為隙積術,即用來計算諸如累棋、層壇的物體體積的方法.設隙積共n層,上底由ab個物體組成,以下各層的長、寬依次增加一個物體,最下層(即下底)由cd個物體組成,沈括給出求隙積中物體總數的公式為s=n6[(2a+c)b+(2c+a)d]+n6(c-a),其中a是上底長,b是上底寬,c是下底長,d是下底寬,n為層數.已知由若干個相同小球粘黏組成的隙積的三視圖如圖所示,則該隙積中所有小球的個數為(　　) A.83 B.84 C.85 D.86 9.(2018福建福州模擬)如圖所示的程序框圖的算法思路源于我國古代著名的《孫子算經》.圖中的Mod(N,m)≡n表示正整數N除以正整數m后的余數為n,例如Mod(10,3)≡1.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的i等于(　　) A.23 B.38 C.44 D.58 10.祖暅是南北朝時代的偉大科學家,他在5世紀末提出體積計算原理,即祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是:夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截,如果截得的兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等.圖①是從圓柱中挖去一個圓錐所得的幾何體,圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺和半球,則滿足祖暅原理的兩個幾何體為(　　) A.①② B.①③ C.②④ D.①④ 11.《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表,它的出現標志著中國古代數學形成了完整的體系.其中《方田》章有弧田面積計算問題,術曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面積計算公式為:弧田面積=12(弦矢+矢矢).弧田是由圓弧(弧田弧)和以圓弧的端點為端點的線段(弧田弦)圍成的平面圖形,公式中的“弦”指的是弧田弦的長,“矢”指的是弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差.現有一弧田,其弧田弦AB等于6米,其弧田弧所在圓為圓O,若用上述弧田面積計算公式算得該弧田的面積為72平方米,則cos∠AOB=(　　) A.125 B.325 C.15 D.725 12.中國傳統文化中很多內容體現了數學的“對稱美”.如圖所示的太極圖是由黑、白兩個魚形紋組成的圓形圖案,充分體現了相互轉化、對稱統一的形式美、和諧美.定義:圖象能夠將圓O的周長和面積同時等分成兩部分的函數稱為圓O的一個“太極函數”.給出下列命題: ①對于任意一個圓O,其“太極函數”有無數個; ②函數f(x)=ln(x2+x2+1)可以是某個圓的“太極函數”; ③正弦函數y=sinx可以同時是無數個圓的“太極函數”; ④函數y=f(x)是“太極函數”的充要條件為函數y=f(x)的圖象是中心對稱圖形. 其中正確的命題為(　　) A.①③ B.①③④ C.②③ D.①④ 13.如圖,正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是　　　　　. 14.(2018四川成都模擬)“更相減損術”是我國古代數學名著《九章算術》中的算法案例,其對應的程序框圖如圖所示.若輸入的x,y,k的值分別為4,6,1,則輸出的k的值為　　　　. 15.《九章算術》中,將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬,將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.若三棱錐P-ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上,則球O的體積為　　　　. 答案精解精析 1.A　依題意,設圓錐的底面半徑為r,則V=13πr2h≈7264l2h=7264(2πr)2h,化簡得π≈227.故選A. 2.A　根據正弦定理及a2sinC=4sinA,得ac=4.再結合(a+c)2=12+b2,得a2+c2-b2=4,則S=14c2a2-c2+a2-b222=16-44=3,故選A. 3.B　按照程序框圖執(zhí)行,n=6,S=3sin60=332,不滿足條件S≥3.10,執(zhí)行循環(huán);n=12,S=6sin30=3,不滿足條件S≥3.10,執(zhí)行循環(huán);n=24,S=12sin15≈120.2588=3.1056,滿足條件S≥3.10,跳出循環(huán),輸出n的值為24,故選B. 4.B　解法一:執(zhí)行程序框圖,n=20,m=80,S=60+803≠100;n=21,m=79,S=63+793≠100;……;n=25,m=75,S=75+25=100,退出循環(huán).輸出n=25.故選B. 解法二:由題意,得m+n=100,3n+m3=100,且m,n都是整數,解得n=25,m=75,故選B. 5.D　如圖,直角三角形的斜邊長為82+152=17,設其內切圓的半徑為r,則8-r+15-r=17,解得r=3,∴內切圓的面積為πr2=9π,∴豆子落在內切圓外的概率P=1-9π12815=1-3π20. 6.C　執(zhí)行程序框圖,k=1,a=9,9-393≠2;k=2,a=16,16-3163=1≠2;k=3,a=23,23-3233=2,23-5235=3,滿足條件,退出循環(huán),則輸出a=23.故選C. 7.B　如圖所示,由三視圖可還原得到幾何體ABCDEF,過E,F分別作垂直于底面的截面EGH和FMN,可將原幾何體切割成直三棱柱EHG-FNM,四棱錐E-ADHG和四棱錐F-MBCN,易知直三棱柱的體積為12312=3,兩個四棱錐的體積相同,都為13131=1,則原幾何體的體積為3+1+1=5.故選B. 8.C　由三視圖知,n=5,a=3,b=1,c=7,d=5,代入公式s=n6[(2a+c)b+(2c+a)d]+n6(c-a),得s=85,故選C. 9.A　Mod(11,3)≡2成立,Mod(11,5)≡3不成立,i=12;Mod(12,3)≡2不成立,i=13;Mod(13,3)≡2不成立,i=14;Mod(14,3)≡2成立,Mod(14,5)≡3不成立,i=15;Mod(15,3)≡2不成立,i=16;Mod(16,3)≡2不成立,i=17;Mod(17,3)≡2成立,Mod(17,5)≡3不成立,i=18;Mod(18,3)≡2不成立,i=19;Mod(19,3)≡2不成立,i=20;Mod(20,3)≡2成立,Mod(20,5)≡3不成立,i=21;Mod(21,3)≡2不成立,i=22;Mod(22,3)≡2不成立,i=23;Mod(23,3)≡2成立,Mod(23,5)≡3成立,Mod(23,7)≡2成立,結束循環(huán).故輸出的i=23.故選A. 10.D　設截面與下底面的距離為h,則①中截面內的圓半徑為h,則截面圓環(huán)的面積為π(R2-h2);②中截面圓的半徑為R-h,則截面圓的面積為π(R-h)2;③中截面圓的半徑為R-h2,則截面圓的面積為πR-h22;④中截面圓的半徑為R2-h2,則截面圓的面積為π(R2-h2).所以①④中截面的面積相等,滿足祖暅原理,故選D. 11.D　如圖,AB=6,設CD=x(x>0),則12(6x+x2)=72,解得x=1.設OA=y,則(y-1)2+9=y2,解得y=5. 由余弦定理得cos∠AOB=25+25-36255=725,故選D. 12.A　過圓心的直線都可以將圓的周長和面積等分成兩部分,故對于任意一個圓O,其“太極函數”有無數個,故①正確; 函數f(x)=ln(x2+x2+1)的大致圖象如圖所示, 故其不可能為圓的“太極函數”,故②錯誤; 將圓的圓心放在正弦函數y=sinx圖象的對稱中心上,則正弦函數y=sinx是該圓的“太極函數”,從而正弦函數y=sinx可以同時是無數個圓的“太極函數”,故③正確; 函數y=f(x)的圖象是中心對稱圖形,則y=f(x)是“太極函數”,但函數y=f(x)是“太極函數”時,圖象不一定是中心對稱圖形,如圖,故④錯誤,故選A. 13.答案　π8 解析　設正方形的邊長為2,則正方形的內切圓的半徑為1,其中黑色部分和白色部分關于正方形的中心對稱,則黑色部分的面積為π2,所以在正方形內隨機取一點,此點取自黑色部分的概率P=π222=π8. 14.答案　4 解析　x=4,y=6,k=1,k=1+1=2,因為4>6不成立,4=6不成立,所以y=6-4=2;k=2+1=3,因為4>2成立,所以x=4-2=2;k=3+1=4,因為2>2不成立,2=2成立,所以輸出的k=4. 15.答案　205π3 解析　如圖,在長方體中可找到符合題意的三棱錐P-ABC,則球O的直徑2R=PC=PA2+AC2=20=25,所以R=5.故球O的體積V=43πR3=205π3.