2019版高考數(shù)學一輪復習 坐標系與參數(shù)方程課時訓練 選修4-4.doc

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選修44　坐標系與參數(shù)方程 第1課時　坐 標 系 1. (1) 將點M的極坐標化成直角坐標； (2) 將點N的直角坐標(4，－4)化成極坐標(ρ≥0，0≤θ<2π)． 解：(1) ∵ x＝4cos π＝4cos ＝4＝－2，y＝4sin π＝4sin ＝2，∴ 點M的直角坐標是(－2，2)． (2) ∵ ρ＝＝8，tan θ＝＝－，θ∈[0，2π)，又點(4，－4)在第四象限，∴ θ＝，∴ 點N的極坐標為. 2. 已知圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρsin－4＝0，求圓心的極坐標． 解：以極坐標系的極點為直角坐標系的原點O，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系xOy. ∵ 圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0， ∴ 圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6. ∴ 圓心的直角坐標為(1，－1)，則其極坐標為. 3. (2017省揚中等七校聯(lián)考)在極坐標系中，已知點P，直線l：ρcos＝2，求點P到直線l的距離． 解：點P的直角坐標為(3, ), 直線l的普通方程為x－y－4＝0, 從而點P到直線l的距離為＝. 4. 已知點P(－1＋cos α，sin α)(其中α∈[0，2π))，點P的軌跡記為曲線C1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點Q在曲線C2：ρ＝上． (1) 求曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程； (2) 當ρ≥0，0≤θ<2π時，求曲線C1與曲線C2的公共點的極坐標． 解：(1) 曲線C1：(x＋1)2＋y2＝2，極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－1＝0，曲線C2的直角坐標方程為y＝x－1. (2) 曲線C1與曲線C2的公共點的坐標為(0，－1)，極坐標為. 5. 在極坐標系中，求圓ρ2－4ρsin θ－5＝0截直線θ＝(ρ∈R)所得線段長． 解：以極點O為原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy.則圓ρ2－4ρsin θ－5＝0化為普通方程為x2＋y2－4y－5＝0，即x2＋(y－2)2＝9.直線θ＝(ρ∈R)化為普通方程為y＝x，即x－y＝0.圓心(0，2)到直線x－y＝0的距離為d＝＝1，于是所求線段長為2＝4. 6. (2017金陵中學質檢)在極坐標系中，已知圓C的極坐標方程為ρ2－4ρcos＋7＝0，直線l的極坐標方程為3ρcos θ－4ρsin θ＋a＝0.若直線l與圓C相切，求實數(shù)a的值． 解：圓C和直線l的直角坐標方程分別為(x－2)2＋(y－2)2＝1，3x－4y＋a＝0. 因為圓C與直線l相切， 所以d＝＝1，解得a＝－3或a＝7. 7. 在極坐標系中，已知圓A的圓心為(4，0)，半徑為4，點M為圓A上異于極點O的動點，求弦OM中點的軌跡的極坐標方程． 解：由題意知，圓A的極坐標方程為ρ＝8cos θ， 設弦OM中點為N(ρ，θ)，則M(2ρ，θ)， 因為點M在圓A上，所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ. 又點M異于極點O，所以ρ≠0， 所以弦OM中點的軌跡的極坐標方程為ρ＝4cos θ(ρ≠0)． 8. 在極坐標系中，設直線θ＝與曲線ρ2－10ρcos θ＋4＝0相交于A，B兩點，求線段AB中點的極坐標． 解：(解法1)將直線θ＝化為普通方程，得y＝x， 將曲線ρ2－10ρcos θ＋4＝0化為普通方程，得x2＋y2－10x＋4＝0， 聯(lián)立并消去y，得2x2－5x＋2＝0， 解得x1＝，x2＝2， 所以AB中點的橫坐標為＝，縱坐標為 ， 化為極坐標為. (解法2)聯(lián)立直線l與曲線C的方程，得 消去θ，得ρ2－5ρ＋4＝0，解得ρ1＝1，ρ2＝4， 所以線段AB中點的極坐標為，即. (注：將線段AB中點的極坐標寫成(k∈Z)亦可) 9. 在極坐標系中，已知三點A(4，0)，B，C. (1) 若A，B，C三點共線，求ρ的值； (2) 求過O(坐標原點)，A，B三點的圓的極坐標方程． 解：(1) 由題意知點A，B的直角坐標分別為A(4，0)，B(0，－4)，所以直線AB的方程是x－y－4＝0.因為點C的直角坐標為，所以－－4＝0，所以ρ＝4(＋1)． (2) 因為A(4，0)，B(0，－4)，O(0，0)，所以過O，A，B三點的圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝8，整理得x2＋y2－4x＋4y＝0，即極坐標方程為ρ2－4ρcos θ＋4ρsin θ＝0，整理得ρ＝4cos θ－4sin θ. 10. 在極坐標系中，設圓C經(jīng)過點P，圓心是直線ρsin＝與極軸的交點，求圓C的極坐標方程． 解：因為圓心為直線ρsin＝與極軸的交點，所以令θ＝0，得ρ＝1，即圓心是(1，0)．又圓C經(jīng)過點P，所以圓的半徑r＝＝1，所以圓過原點，所以圓C的極坐標方程是ρ＝2cos θ. 11. 在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(a＞b＞0，φ為參數(shù))，且曲線C上的點M(2，)對應的參數(shù)φ＝.以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1) 求曲線C的普通方程； (2) 若A(ρ1，θ)，B是曲線C上的兩點，求＋的值． 解：(1) 將M(2，)及對應的參數(shù)φ＝代入(a>b>0，φ為參數(shù))，得所以 所以曲線C的普通方程為＋＝1. (2) 曲線C的極坐標方程為＋＝1，將A(ρ1，θ)，B代入得＋＝1，＋＝1，所以＋＝. 第2課時　參 數(shù) 方 程 1. 已知在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2－4ρcos θ＋3＝0.點P在直線l上，點Q在曲線C上，求PQ的取值范圍． 解：直線l的普通方程為4x－3y＋8＝0； 曲線C的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝1， 曲線C是圓心為(2，0)，半徑為1的圓． 圓心到直線的距離d＝＝， 所以PQ的取值范圍是. 2. 已知直線l的參數(shù)方程為曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin θ，試判斷直線l與曲線C的位置關系． 解：直線l的普通方程為2x－y－2＝0； 曲線C的直角坐標方程為x2＋(y－2)2＝4，它表示圓． 由圓心到直線l的距離d＝＝ ＜2，得直線l與曲線C相交． 3. 在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓(φ為參數(shù))的右焦點，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程． 解：由題意知，橢圓的長半軸長為a＝5，短半軸長為b＝3，從而c＝4，所以右焦點為(4，0)．將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程得x－2y＋2＝0，故所求的直線的斜率為，因此所求的直線方程為y＝(x－4)，即x－2y－4＝0. 4. 在平面直角坐標系xOy中，已知直線C1：(t為參數(shù))與橢圓C2：(θ為參數(shù)，a＞0)的一條準線的交點位于y軸上，求實數(shù)a的值． 解：直線C1：2x＋y＝9， 橢圓C2：＋＝1(0＜a＜3)， 準線：y＝. 由＝9，得a＝2. 5. 在直角坐標系xOy中，已知曲線C1的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的極坐標方程是ρ＝2，求曲線C1與C2的交點在直角坐標系中的直角坐標． 解：由 消去t得曲線C1的普通方程為y＝x(x≥0)； 由ρ＝2，得ρ2＝4，得曲線C2的直角坐標方程是x2＋y2＝4. 聯(lián)立解得 故曲線C1與C2的交點坐標為(，1)． 6. 在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)， a＞0)，在以坐標原點為極點， x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2∶ρ＝4cos θ. (1)求曲線C1的普通方程，并將C1的方程化為極坐標方程； (2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 解：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2，將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可解得1－a2＝0，根據(jù)a＞0，得到a＝1，當a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上，所以a＝1. 7. 在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ－2cos θ－6sin θ＋＝0，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1) 求曲線C的普通方程； (2) 若直線l與曲線C交于A，B兩點，點P的坐標為(3，3)，求PA＋PB的值． 解：(1) 曲線C的極坐標方程為ρ－2cos θ－6sin θ＋＝0， 可得ρ2－2ρcos θ－6ρsin θ＋1＝0， 可得x2＋y2－2x－6y＋1＝0， 曲線C的普通方程：x2＋y2－2x－6y＋1＝0. (2) 由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 把它代入圓的方程整理得 t2＋2t－5＝0，∴ t1＋t2＝－2，t1t2＝－5. 又PA＝|t1|，PB＝|t2|，PA＋PB＝|t1|＋|t2|＝＝2. ∴ PA＋PB的值為2. 8. 在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．直線l的極坐標方程為ρsin＝，橢圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1) 求直線l的直角坐標方程與橢圓C的普通方程； (2) 若直線l與橢圓C交于A，B兩點，求線段AB的長． 解：(1) 由ρsin＝ ，得ρ(cos θ－sin θ)＝，即x－y＝，化簡得y＝x－， 所以直線l的直角坐標方程是y＝x－. 由＋＝cos2t＋sin2t＝1，得橢圓C的普通方程為＋＝1. (2) 聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得 消去y，得＋(x－1)2＝1， 化簡得5x2－8x＝0，解得x1＝0，x2＝， 所以A(0，－)，B或A，B(0，－ )， 則AB＝＝. 9. 在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，r＞0)，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin＝1，若圓C上的點到直線l的最大距離為3，求r的值． 解：圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，r＞0)，消去參數(shù)θ得 ＋＝r2(r＞0)，所以圓心C，半徑為r. 直線l的極坐標方程為ρsin＝1， 化為普通方程為x＋y－＝0. 圓心C到直線x＋y－＝0的距離為d＝＝2.∵ 圓C上的點到直線l的最大距離為3，即d＋r＝3，∴ r＝3－d＝3－2＝1. 10. 已知動點P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應參數(shù)分別為t＝α與t＝2α(0＜α＜2π)，M為PQ的中點． (1) 求M的軌跡的參數(shù)方程； (2) 將M到坐標原點的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標原點． 解：(1) 由題意有，P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)， M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，0<α<2π)． (2) M點到坐標原點的距離為d＝＝(0<α<2π)， 當α＝π時，d＝0，故M的軌跡過坐標原點． 11. 若以直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸正半軸為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程是ρsin2θ＝6cos θ. (1) 將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并指出曲線是什么曲線； (2) 若直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C相交于A，B兩點，求線段AB的長． 解：(1) 由ρsin2θ＝6cos θ，得ρ2sin2θ＝6ρcos θ，所以曲線C的直角坐標方程為y2＝6x，曲線是以原點為頂點，為焦點的拋物線． (2) 化簡得t2－4t－12＝0，則t1＋t2＝4，t1t2＝－12，所以AB＝|t1－t2|＝＝8.