高中數學 第三章 數系的擴充與復數的引入 3.3 復數的幾何意義學案 蘇教版選修2-2.doc

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3.3　復數的幾何意義 學習目標 重點難點 1．能知道復平面、實軸、虛軸等概念． 2．能用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數以及它們之間的一一對應關系． 3．能知道復數模的概念，會求復數的模． 4．了解復數代數形式加減法的幾何意義. 重點：1.理解并掌握復數代數形式加減法的幾何意義，并能適當應用． 2．復數的模． 難點：復數代數形式加減法的幾何意義. 1．復平面 (1)建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做______．x軸叫做________，y軸叫做________．實軸上的點都表示________．除原點外，虛軸上的點都表示________． (2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)，可以用復平面內的點Z________來表示，也可以用向量________來表示，三者的關系如下： (3)為方便起見，常把復數z＝a＋bi說成點Z或向量，并且規(guī)定，相等的向量表示________復數． 預習交流1 做一做：復數z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i對應的點在虛軸上，則實數a的值為________． 預習交流2 做一做：復數z＝在復平面內所對應的點位于第________象限． 2．復數的模(或絕對值) (1)________的模叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或絕對值)，記作|z|或|a＋bi|. (2)如果z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝|a＋bi|＝______. 預習交流3 做一做：若對于實數x，y，復數x＋yi的模都為3，則點(x，y)的軌跡方程是__________． 3．復數加減法的幾何意義 (1)加法的幾何意義 設向量，分別與復數a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)對應，且，不共線．如下圖，以，為兩條鄰邊畫平行四邊形OZ1ZZ2，則對角線OZ所表示的向量就是與復數(a＋c)＋(b＋d)i對應的向量． (2)減法的幾何意義 復數的減法是加法的逆運算，設，分別與復數a＋bi，c＋di相對應．且，不共線，如下圖，則這兩個復數的差z1－z2與向量－(即)對應，這就是復數減法的幾何意義． 實際上，在平面向量中已有向量的幾何解釋，同復數減法的幾何解釋是一致的． (3)設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則|z1－z2|＝________________，即兩個復數的差的模就是復平面內與這兩個復數對應的兩點間的________． 預習交流4 做一做：在復平面內，向量對應的復數是2＋i，向量對應的復數為－1－i，則向量對應的復數為__________． 在預習中還有哪些問題需要你在聽課時加以關注？請在下列表格中做個備忘吧！ 我的學困點 我的學疑點 答案： 預習導引 1．(1)復平面　實軸　虛軸　實數　純虛數　(2)(a，b)　　(3)同一個 預習交流1：提示：∵復數對應的點在虛軸上， ∴a2－2a＝0，即a＝0或a＝2. 預習交流2：提示：z＝＝＝－i，對應點為，在第四象限． 2．(1)向量　(2) 預習交流3：提示：∵|x＋yi|＝＝3， ∴x2＋y2＝9. 3．(3)　距離 預習交流4：提示：－3－2i 一、復數的幾何意義 實數x分別為什么值時，復數z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i表示的點 (1)在實軸上？ (2)在虛軸上？ 思路分析：本題需弄清實軸、虛軸及實軸上數的特點、虛軸上數的特點，抓住特點完成． 1．在復平面內，點A，B對應的復數分別是－3＋2i,1－4i，則線段AB的中點對應的復數是__________． 2．復數z＝－2i－1，則復數z在復平面內對應的點位于第__________象限． 確定復數對應的點在復平面內的位置時，關鍵是理解好復數與該點的對應關系，復數的實部就是該點的橫坐標，復數的虛部就是該點的縱坐標，據此可建立復數的實部與虛部應滿足的條件，通過解方程或不等式求解． 二、有關復數模的問題 已知復數z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復數z. 思路分析：常規(guī)解法：設z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用復數相等的充要條件，求出a，b.也可以巧妙地利用|z|∈R，移項后得到復數的實部，再取?？傻藐P于|z|的方程，求解即可． 1．(2012湖南高考)已知復數z＝(3＋i)2(i為虛數單位)，則|z|＝________. 2．已知復數z＝a＋i(0＜a＜2)，則|z|的取值范圍是__________． 3．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)，若復數z的虛部為，且|z|＝2，復數z在復平面內對應的點在第二象限，則復數z＝__________. z為復數，但|z|為實數，復數相等的定義即實部與實部相等，虛部與虛部相等．需明確誰是實部，誰是虛部，同時，把復數z看作整體的方法值得借鑒． 三、復數加減法幾何意義的應用 已知平行四邊形ABCD的頂點A、B、D對應的復數分別為1＋i、4＋3i、－1＋3i. 試求：(1)對應的復數； (2)對應的復數； (3)點C對應的復數． 思路分析：利用復數加法、減法的幾何意義進行求解． 1．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若向量，對應的復數分別是3＋i，－1＋3i，則對應的復數是__________． 2．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N. (1)指出集合P在復平面上表示的圖形； (2)求集合P中復數模的最大值和最小值． 向量加法、減法運算的平行四邊形法則和三角形法則是復數加法、減法幾何意義的依據．利用加法“首尾相接”和減法“指向被減數”的特點，在三角形內可求得第三個向量及其對應的復數．注意向量對應的復數是zB－zA(終點對應的復數減去起點對應的復數)． 1．在復平面內，復數z＝cos 3＋isin 3對應的點位于第__________象限． 2．在復平面內，若復數z滿足|z＋1|＝|z－i|，則z所對應的點的集合構成的圖形是__________． 3．已知復數z＝(1－i)(2－i)，則|z|的值是__________． 4．在復平面內，向量對應的復數是2＋i，向量對應的復數是－1－3i，則向量對應的復數為__________． 5．在復平面內表示復數z＝(m－3)＋2i的點在直線y＝x上，則實數m的值為__________． 6．定義運算＝(a＋d)－(c＋b)，則符合條件＝0的復數z對應的點在第______象限． 提示：用最精練的語言把你當堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領部分寫下來并進行識記. 知識精華 技能要領 答案： 活動與探究1：解：(1)當x2－2x－15＝0， 即x＝－3或x＝5時，復數z對應的點在實軸上． (2)當x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3時，復數z對應的點在虛軸上． 遷移與應用： 1．－1－i　解析：由已知A(－3,2)，B(1，－4)， ∴AB的中點為(－1，－1)， ∴AB中點對應的復數為－1－i. 2．三　解析：復數z在復平面內對應的點為(－1，－2)，該點位于第三象限． 活動與探究2：解法一：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝，代入方程得a＋bi＋＝2＋8i. ∴解得 ∴z＝－15＋8i. 解法二：原式可化為z＝2－|z|＋8i. ∵|z|∈R，∴2－|z|是z的實部． 于是|z|＝， 即|z|2＝68－4|z|＋|z|2. ∴|z|＝17.代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i. 遷移與應用： 1．10　解析：∵z＝(3＋i)2，∴|z|＝32＋12＝10. 2．(1，)　解析：|z|＝|a＋i|＝. ∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5， ∴1＜|z|＜. 3．－1＋i　解析：由已知得， ∴. 又∵復數z對應的點在第二象限， ∴a＝－1，即z＝－1＋i. 活動與探究3：解：(1)設坐標原點為O， 則有＝－， 所以對應的復數為(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i. (2)＝－， 所以對應的復數為(4＋3i)－(－1＋3i)＝5. 因為ABCD是平行四邊形， 所以＝. 由(1)知＝－2＋2i， 而＝－， 所以對應的復數為(－2＋2i)＋(4＋3i)＝2＋5i， 這就是點C對應的復數． 遷移與應用： 1．4－2i　解析：依題意有＝＝－， 所以對應的復數為(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i. 2．解：(1)由|z－1|≤1可知，集合M在復平面內所對應的點集是以點E(1,0)為圓心，1為半徑的圓的內部及邊界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N的軌跡是以點(1,1)和(2,0)為端點的線段的垂直平分線l，因此集合P是圓截直線l所得的一條線段AB，如圖所示． (2)圓方程為x2＋y2－2x＝0，直線l的方程為y＝x－1，解方程組 得A，B， 所以|OA|＝，|OB|＝.點O到直線l的距離為，且過O向l引垂線，垂足在線段BE上，＜，故集合P中復數模的最大值為，最小值為. 當堂檢測 1．二　解析：由已知得復數z對應的點為(cos 3，sin 3)， 而cos 3＜0，sin 3＞0，∴點(cos 3，sin 3)在第二象限． 2．以(－1,0)和(0,1)為端點的線段的垂直平分線 3．　解析：z＝(1－i)(2－i)＝1－3i， ∴|z|＝＝. 4．－3－4i　解析：＝－＝－＝(－1－3i)－(2＋i)＝－3－4i. 5．9　解析：復數z對應的點為(m－3,2)， 由已知得m－3＝2，∴m＝9. 6．一　解析：由定義得(z＋1－i)－(1－2i＋1＋2i)＝0，z－1－i＝0， ∴z＝1＋i，對應點為(1,1)，故z對應的點在第一象限．