2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第12章 選修4系列 第2講 課后作業(yè) 理（含解析）.doc

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第12章 選修4系列 第2講 A組　基礎(chǔ)關(guān) 1．(2019四川達(dá)州模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t∈R)，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝asinθ(a≠0)． (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程與直線(xiàn)l的普通方程； (2)設(shè)直線(xiàn)l截圓C的弦長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的倍，求a的值． 解　(1)圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋2＝. 直線(xiàn)l的普通方程為4x＋3y－8＝0. (2)圓C：x2＋2＝a2，直線(xiàn)l：4x＋3y－8＝0， ∵直線(xiàn)l截圓C的弦長(zhǎng)等于圓C的半徑長(zhǎng)的倍， ∴圓心C到直線(xiàn)l的距離d＝＝， 解得a＝32或a＝. 2．(2018蕪湖模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1過(guò)點(diǎn)P(a,1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a∈R)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋2cosθ－ρ＝0. (1)寫(xiě)出曲線(xiàn)C1的普通方程和曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程； (2)已知曲線(xiàn)C1和曲線(xiàn)C2交于A，B兩點(diǎn)(P在A，B之間)，且|PA|＝2|PB|，求實(shí)數(shù)a的值． 解　(1)將C1的參數(shù)方程消參得普通方程為x＋y－a－1＝0， C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋2cosθ－ρ＝0兩邊同乘ρ得ρ2cos2θ＋2ρcosθ－ρ2＝0即y2＝2x. (2)將曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C2：y2＝2x得t2＋2t＋1－2a＝0， 設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，由題意得|t1|＝2|t2|， 且P在A，B之間，則t1＝－2t2，由 解得a＝. 3．(2018石家莊一模)在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線(xiàn)C1上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到曲線(xiàn)C2.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2. (1)求曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程； (2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩條直線(xiàn)l1與l2分別交曲線(xiàn)C2于A，C和B，D，且點(diǎn)A在第一象限，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最大時(shí)，求直線(xiàn)l1的普通方程． 解　(1)由ρ＝2，得ρ2＝4， 所以曲線(xiàn)C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4. 故由題意可得曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程為＋y2＝1. 所以曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)設(shè)四邊形ABCD的周長(zhǎng)為l，點(diǎn)A(2cosθ，sinθ)， 則l＝8cosθ＋4sinθ＝4sin(θ＋φ)，所以當(dāng)θ＋φ＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，l取得最大值，最大值為4，此時(shí)θ＝2kπ＋－φ(k∈Z)， 所以2cosθ＝2sinφ＝，sinθ＝cosφ＝， 此時(shí)A. 所以直線(xiàn)l1的普通方程為x－4y＝0. 4．已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos. (1)求圓心C的直角坐標(biāo)； (2)由直線(xiàn)l上的點(diǎn)向圓C引切線(xiàn)，求切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值． 解　(1)∵ρ＝4cos＝2cosθ－2sinθ， ∴ρ2＝2ρcosθ－2ρsinθ， ∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y＝0， 即(x－)2＋(y＋)2＝4. ∴圓心C的直角坐標(biāo)為(，－)． (2)由直線(xiàn)l上的點(diǎn)向圓C引切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)為 ＝ ＝，又≥4， ∴由直線(xiàn)l上的點(diǎn)向圓C引切線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為4. B組　能力關(guān) 1．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為 (t是參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C：ρsin2θ＝cosθ，將曲線(xiàn)C上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一半，然后再向右平移一個(gè)單位得到曲線(xiàn)C2，又已知曲線(xiàn)C1與曲線(xiàn)C2交于A，B兩點(diǎn)． (1)求曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)定點(diǎn)P(2,0)，求＋的值． 解　(1)曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為y2＝x，將曲線(xiàn)C上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一半，得到曲線(xiàn)y2＝2x，然后再向右平移一個(gè)單位得到曲線(xiàn)C2：y2＝2(x－1)． (2)將曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程(t是參數(shù))代入曲線(xiàn)C2的方程得t2＋2t－4＝0. 設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝－2，t1t2＝－4， ＋＝＝ ＝＝＝. 2．(2017全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)若a＝－1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)； (2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為，求a. 解　(1)曲線(xiàn)C的普通方程為＋y2＝1. 當(dāng)a＝－1時(shí)，直線(xiàn)l的普通方程為x＋4y－3＝0. 由解得或 從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，. (2)直線(xiàn)l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(diǎn)(3cosθ，sinθ)到l的距離為d＝. 當(dāng)a≥－4時(shí)，d的最大值為 . 由題設(shè)得＝，所以a＝8； 當(dāng)a＜－4時(shí)，d的最大值為. 由題設(shè)得＝，所以a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. 3．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程是 (t是參數(shù))．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C：ρ＝4cosθ. (1)當(dāng)m＝－1，α＝30時(shí)，判斷直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的位置關(guān)系； (2)當(dāng)m＝1時(shí)，若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P(1,0)，且||PA|－|PB||＝1，求直線(xiàn)l的傾斜角． 解　(1)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ， 又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4， 所以曲線(xiàn)C是以點(diǎn)M(2,0)為圓心，2為半徑的圓． 由直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 得直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋1＝0. 由圓心M到直線(xiàn)l的距離d＝＝<2， 可知直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交． (2)由題意可得直線(xiàn)l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,0)，傾斜角為α的直線(xiàn)， 將代入(x－2)2＋y2＝4， 整理得t2－2tcosα－3＝0，Δ＝(－2cosα)2＋12>0. 設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝2cosα，t1t2＝－3<0，所以t1，t2異號(hào)， 則||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝|2cosα|＝1， 所以cosα＝. 又α∈[0，π)，所以直線(xiàn)l的傾斜角為或. 4．(2018全國(guó)卷Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0，－)且傾斜角為α的直線(xiàn)l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程． 解　(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1. 當(dāng)α＝時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn)． 當(dāng)α≠時(shí)，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－. l與⊙O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)<1， 解得k<－1或k>1， 即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為. 設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝，且tA，tB滿(mǎn)足t2－2tsinα＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα. 又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿(mǎn)足 所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 .