2018-2019高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式教案 新人教A版選修4-5.docx

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3.2 一般形式的柯西不等式一、教學目標1掌握三維形式和多維形式的柯西不等式2會利用一般形式的柯西不等式解決簡單問題二、課時安排1課時三、教學重點1掌握三維形式和多維形式的柯西不等式2會利用一般形式的柯西不等式解決簡單問題四、教學難點1掌握三維形式和多維形式的柯西不等式2會利用一般形式的柯西不等式解決簡單問題五、教學過程（一）導入新課已知實數(shù)x，y，z滿足x2yz1，求tx24y2z2的最小值【解】由柯西不等式得(x24y2z2)(111)(x2yz)2.x2yz1，3(x24y2z2)1，即x24y2z2.當且僅當x2yz，即x，y，z時等號成立故x24y2z2的最小值為.（二）講授新課教材整理1三維形式的柯西不等式設a1，a2，a3，b1，b2，b3R，則(aaa)(bbb).當且僅當 或存在一個數(shù)k，使得aikbi(i1,2,3)時，等號成立我們把該不等式稱為三維形式的柯西不等式教材整理2一般形式的柯西不等式設a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實數(shù)，則(aaa)(bbb) .當且僅當bi0(i1,2，n)或存在一個數(shù)k，使得ai (i1,2，n)時，等號成立（三）重難點精講題型一、利用柯西不等式求最值例1已知a，b，c(0，)，2，求a2b3c的最小值及取得最小值時a，b，c的值【精彩點撥】由于2，可考慮把已知條件與待求式子結合起來，利用柯西不等式求解【自主解答】a，b，c(0，)，(a2b3c)()2()2()2(123)236.又2，a2b3c18，當且僅當abc3時等號成立，綜上，當abc3時，a2b3c取得最小值18.規(guī)律總結：利用柯西不等式求最值時，關鍵是對原目標函數(shù)進行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結果同時，要注意等號成立的條件再練一題1已知x4y9z1，求x2y2z2的最小值【解】由柯西不等式，知(x4y9z)2(124292)(x2y2z2)98(x2y2z2)又x4y9z1，x2y2z2，(*)當且僅當x時，等號成立，x，y，z時，(*)取等號因此，x2y2z2的最小值為.題型二、運用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍例2已知正數(shù)x，y，z滿足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范圍【精彩點撥】“恒成立”問題需求的最大值，設法應用柯西不等式求最值【自主解答】x0，y0，z0.且xyzxyz.1.又當且僅當xyz，即xyz時等號成立的最大值為.故恒成立時，應有.因此的取值范圍是.規(guī)律總結：應用柯西不等式，首先要對不等式形式、條件熟練掌握，然后根據(jù)題目的特點“創(chuàng)造性”應用定理再練一題2已知實數(shù)a，b，c，d滿足abcd3，a22b23c26d25，試求a的取值范圍.【解】由abcd3，得bcd3a，由a22b23c26d25，得2b23c26d25a2，(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.由條件可得，5a2(3a)2，解得1a2，所以實數(shù)a的取值范圍是1,2題型三、利用柯西不等式證明不等式例3已知a，b，cR，求證：9.【精彩點撥】對應三維形式的柯西不等式，a1，a2，a3，b1，b2，b3，而a1b1a2b2a3b31，因而得證【自主解答】a，b，cR，由柯西不等式，知(111)29，9.規(guī)律總結：1當ai，bi是正數(shù)時，柯西不等式變形為(a1a2an)(b1b2bn)()2.2本題證明的關鍵在于構造兩組數(shù)，創(chuàng)造使用柯西不等式的條件在運用柯西不等式時，要善于從整體上把握柯西不等式的結構特征，正確配湊出公式兩側的數(shù)組再練一題3已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.【解】(1)因為f(x2)m|x|，f(x2)0等價于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1,1，故m1.(2)證明：由(1)知1.又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)9.（四）歸納小結一般形式的柯西不等式（五）隨堂檢測1設a(2,1,2)，|b|6，則ab的最小值為()A18 B6 C18 D.12【解析】|ab|a|b|，|ab|18.18ab18，當a，b反向時，ab最小，最小值為18.【答案】C2若aaa1，bbb4，則a1b1a2b2anbn的取值范圍是()A(，2) B2,2 C(，2 D.1,1【解析】(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，(a1b1a2b2anbn)24，|a1b1a2b2anbn|2，即2a1b1a2b2anbn2，當且僅當aibi(i1,2，n)時，右邊等號成立；當且僅當aibi(i1,2，n)時，左邊等號成立，故選B.【答案】B3設a，b，m，nR，且a2b25，manb5，則 的最小值為_【解析】根據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值為.【答案】六、板書設計3.2 一般形式的柯西不等式教材整理1三維形式的柯西不等式教材整理2一般形式的柯西不等式例1：例2：例3：學生板演練習七、作業(yè)布置同步練習：3.2 一般形式的柯西不等式八、教學反思