2018-2019高中數(shù)學 第二講 證明不等式的基本方法 2.3 反證法與放縮法學案 新人教A版選修4-5.docx

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2.3反證法與放縮法 預習案 一、預習目標及范圍 1．掌握用反證法證明不等式的方法． 2．了解放縮法證明不等式的原理，并會用其證明不等式． 二、預習要點 教材整理1　反證法 先假設，以此為出發(fā)點，結合已知條件，應用公理、定義、定理、性質等，進行正確的推理，得到和(或已證明的定理、性質、明顯成立的事實等)的結論，以說明不正確，從而證明原命題成立，我們把這種證明問題的方法稱為反證法． 教材整理2　放縮法 證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值或，簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法． 三、預習檢測 1.如果兩個正整數(shù)之積為偶數(shù)，則這兩個數(shù)(　　) A．兩個都是偶數(shù) B．一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù) C．至少一個是偶數(shù) D．恰有一個是偶數(shù) 2.若|a－c|＜h，|b－c|＜h，則下列不等式一定成立的是(　　) A．|a－b|＜2h B．|a－b|＞2h C．|a－b|＜h D.|a－b|＞h 3．A＝1＋＋＋…＋與(n∈N＋)的大小關系是________. 探究案 一、合作探究 題型一、利用反證法證“至多”“至少”型命題 例1已知f(x)＝x2＋px＋q，求證： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于. 【精彩點撥】　(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函數(shù)f(x)求值推算可得結論． (2)假設結論不成立，推出矛盾，得結論． [再練一題] 1．已知實數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求證：a，b，c，d中至多有三個是非負數(shù)． 題型二、利用放縮法證明不等式 例2已知an＝2n2，n∈N*，求證：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜. 【精彩點撥】　針對不等式的特點，對其通項進行放縮、列項． [再練一題] 2．求證：1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)． 題型三、利用反證法證明不等式 例3已知△ABC的三邊長a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：∠B＜90. 【精彩點撥】　本題中的條件是三邊間的關系＝＋，而要證明的是∠B與90的大小關系．結論與條件之間的關系不明顯，考慮用反證法證明． [再練一題] 3．若a3＋b3＝2，求證：a＋b≤2. 二、隨堂檢測 1．實數(shù)a，b，c不全為0的等價條件為(　　) A．a，b，c均不為0 B．a，b，c中至多有一個為0 C．a，b，c中至少有一個為0 D．a，b，c中至少有一個不為0 2．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反證法求證a＞0，b＞0，c＞0時的假設為(　　) A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a≤0，b＞0，c＞0 C．a，b，c不全是正數(shù) D.abc＜0 3．要證明＋＜2，下列證明方法中，最為合理的是(　　) A．綜合法 B．放縮法 C．分析法 D.反證法 參考答案 預習檢測： 1.【解析】　假設這兩個數(shù)都是奇數(shù)，則這兩個數(shù)的積也是奇數(shù)，這與已知矛盾，所以這兩個數(shù)至少有一個為偶數(shù)． 【答案】　C 2.【解析】　|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h. 【答案】　A 3.【解析】　A＝＋＋＋…＋≥＝＝. 【答案】　A≥ 隨堂檢測： 1.【解析】　實數(shù)a，b，c不全為0的含義即a，b，c中至少有一個不為0，其否定則是a，b，c全為0，故選D. 【答案】　D 2.【解析】　a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正數(shù)，故選C. 【答案】　C 3.【解析】　由分析法的證明過程可知選C. 【答案】　C