2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題52 幾何關(guān)系巧解圓錐曲線問題.doc

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專題52 幾何關(guān)系巧解圓錐曲線問題 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 縱觀近幾年的高考試題，高考對橢圓的考查，主要考查以下幾個(gè)方面：一是考查橢圓的定義，與橢圓的焦點(diǎn)三角形結(jié)合，解決橢圓、三角形等相關(guān)問題；二是考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合橢圓的基本量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法求解；三是考查橢圓的幾何性質(zhì)，較多地考查離心率問題；四是考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題，綜合性較強(qiáng)，往往與向量結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題、不等式等. 高考對雙曲線的考查，主要考查以下幾個(gè)方面：一是考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合雙曲線的定義及雙曲線基本量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法求解；二是考查雙曲線的幾何性質(zhì)，較多地考查離心率、漸近線問題；三是考查雙曲線與圓、橢圓或拋物線相結(jié)合的問題，綜合性較強(qiáng).命題以小題為主，多為選擇題或填空題. 高考對拋物線的考查，主要考查以下幾個(gè)方面：一是考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線的定義及拋物線的焦點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求解；二是考查拋物線的幾何性質(zhì)，較多地涉及準(zhǔn)線、焦點(diǎn)、焦準(zhǔn)距等；三是考查直線與拋物線的位置關(guān)系問題，綜合性較強(qiáng)，往往與向量結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題等，其中，過焦點(diǎn)的直線較多. 解決圓錐曲線中的范圍、最值問題一般有三種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解；三是通過建立不等式、解不等式求解. 本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)說明利用幾何關(guān)系解答圓錐曲線的綜合問題，特別是最值（范圍）問題的常見解法. 1、利用幾何關(guān)系求最值的一般思路: （1）抓住圖形中的定點(diǎn)與定長，通常與求最值相關(guān) （2）遇到線段和差的最值，經(jīng)常在動點(diǎn)與定點(diǎn)共線的時(shí)候取到.因?yàn)楫?dāng)動點(diǎn)與定點(diǎn)不共線時(shí)，便可圍成三角形，從而由三角形性質(zhì)可知兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，無法取得最值.所以只有共線時(shí)才有可能達(dá)到最值.要注意動點(diǎn)與定點(diǎn)相對位置關(guān)系.一般的，尋找線段和的最小值，則動點(diǎn)應(yīng)在定點(diǎn)連成的線段上；若尋找線段差的最小值，則動點(diǎn)應(yīng)在定點(diǎn)連成的線段延長線上. （3）若所求線段無法找到最值關(guān)系，則可考慮利用幾何關(guān)系進(jìn)行線段轉(zhuǎn)移，將其中某些線段用其它線段進(jìn)行表示，進(jìn)而找到最值位置 （4）處理多個(gè)動點(diǎn)問題時(shí)，可考慮先只讓一個(gè)動點(diǎn)運(yùn)動，其他動點(diǎn)不動，觀察此動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)最值選取的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律讓其他點(diǎn)動起來，尋找最值位置. 2、常見的線段轉(zhuǎn)移： （1）利用對稱軸轉(zhuǎn)移線段 （2）在圓中，可利用與半徑相關(guān)的直角三角形（例如半弦，圓心到弦的垂線，半徑；或是切線，半徑，點(diǎn)與圓心的連線）通過勾股定理進(jìn)行線段轉(zhuǎn)移. （3）在拋物線中，可利用“點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離”的特點(diǎn)進(jìn)行兩個(gè)距離的相互轉(zhuǎn)化. （4）在橢圓中，利用兩條焦半徑的和為常數(shù)，可將一條焦半徑轉(zhuǎn)移至另一條焦半徑 （5）在雙曲線中，利用兩條焦半徑的差為常數(shù)，也可將一條焦半徑轉(zhuǎn)移至另一條焦半徑（注意點(diǎn)在雙曲線的哪一支上） 3、與圓相關(guān)的最值問題： （1）已知圓及圓外一定點(diǎn)，設(shè)圓的半徑為則圓上點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，最大值為（即連結(jié)并延長，為與圓的交點(diǎn)，為延長線與圓的交點(diǎn) （2）已知圓及圓內(nèi)一定點(diǎn)，則過點(diǎn)的所有弦中最長的為直徑，最短的為與該直徑垂直的弦 解：，弦長的最大值為直徑，而最小值考慮弦長公式為，若最小，則要取最大，在圓中為定值，在弦繞旋轉(zhuǎn)的過程中， ，所以時(shí)，最小 （3）已知圓和圓外的一條直線，則圓上點(diǎn)到直線距離的最小值為，距離的最大值為（過圓心作的垂線，垂足為，與圓交于，其反向延長線交圓于 （4）已知圓和圓外的一條直線，則過直線上的點(diǎn)作圓的切線，切線長的最小值為 解：，則若最小，則只需最小即可， 所以點(diǎn)為過作垂線的垂足時(shí)，最小 過作圓的切線，則切線長最短 4、與圓錐曲線相關(guān)的最值關(guān)系： （1）橢圓：設(shè)橢圓方程為 ① 焦半徑：焦半徑的最大值為，最小值為 ② 焦點(diǎn)弦：焦點(diǎn)弦長的最小值稱為通徑，為，此時(shí)焦點(diǎn)弦與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸垂直 （2）雙曲線：設(shè)雙曲線方程為 ① 焦半徑：焦半徑的最小值為，無最大值 ② 焦點(diǎn)弦：焦點(diǎn)弦長的最小值稱為通徑，為，此時(shí)焦點(diǎn)弦與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸垂直 （3）拋物線：設(shè)拋物線方程為 ① 焦半徑：由拋物線的焦半徑公式可知：焦半徑的最小值為原點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，即 ② 焦點(diǎn)弦：當(dāng)焦點(diǎn)弦與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直時(shí)，弦長最小，為 【經(jīng)典例題】 例1.已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)作拋物線的切線，若切點(diǎn)在第一象限，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 例2.【2018屆湖南省長沙市長郡中學(xué)模擬二】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，若，點(diǎn)與直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，連接，由橢圓的對稱性，結(jié)合橢圓的定義可得，利用點(diǎn)與直線的距離不小于列不等式求解即可. 詳解： 可設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，連接， 解得， 橢圓的離心率的取值范圍是，故選B. 點(diǎn)睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸、橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應(yīng)先將 用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的不等式，從而求出的范圍. 例3.【2018屆四川省成都市第七中學(xué)三診】已知雙曲線的右頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則拋物線上的動點(diǎn)到直線和距離之和的最小值為（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】分析：由雙曲線的右頂點(diǎn)到漸近線的距離求出，從而可確定雙曲線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到拋物線的方程和焦點(diǎn)，然后根據(jù)拋物線的定義將點(diǎn)M到直線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，最后結(jié)合圖形根據(jù)“垂線段最短”求解． 詳解：由雙曲線方程可得， 雙曲線的右頂點(diǎn)為，漸近線方程為，即． ∴， ∴拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為．如圖， 設(shè)點(diǎn)M到直線的距離為，到直線的距離為，則， ∴． 結(jié)合圖形可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小值為點(diǎn)F到直線的距離． 故選B． 點(diǎn)睛：與拋物線有關(guān)的最值問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，根據(jù)定義實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化，具體有以下兩種情形： （1）將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解； （2）將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中的垂線段最短”解決． 例4.【2018屆安徽省蕪湖市5月模擬】已知橢圓 的右焦點(diǎn)為．圓 上所有點(diǎn)都在橢圓的內(nèi)部，過橢圓上任一點(diǎn)作圓的兩條切線，為切點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 同理，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，最大， 可得 解得， 離心率，故選B. 點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是能夠分析出當(dāng)取得最大值及最小值時(shí)，點(diǎn)的位置，再結(jié)合平面幾何知識列出方程，聯(lián)立而后求出的值. 例5.【2018屆天津市部分區(qū)質(zhì)量調(diào)查（二）】設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過左焦點(diǎn)作直線與圓切于點(diǎn)，與雙曲線右支交于點(diǎn)，且滿足， ，則雙曲線的方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)圓的半徑得出，根據(jù)中位線定理和勾股定理計(jì)算，從而得出，即可得出雙曲線的方程． 詳解：∵為圓上的點(diǎn)， ∴是 的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)， 且 ， 又 是圓的切線， 又 ∴雙曲線方程為． 故選D． 例6.【2018屆浙江省紹興市5月調(diào)測】點(diǎn)為棱長是2的正方體的內(nèi)切球球面上的動點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若滿足，則與面所成角的正切值的最小值是 A. B. C. D. 【答案】C ，其中為定值， 則滿足題意時(shí)，有最大值即可， 設(shè)圓的半徑為，則， ，即：,則， 中，由勾股定理可得， 中，由勾股定理可得， 為的中位線，則,， 則， 綜上可得，與面所成角的正切值的最小值是： . 本題選擇C選項(xiàng). 例7.已知點(diǎn)和，是橢圓上一動點(diǎn)，則的最大值為_________ 【答案】 例8.【2018年理北京卷】已知橢圓，雙曲線．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為__________；雙曲線N的離心率為__________． 【答案】 2 雙曲線N的漸近線方程為，由題意得雙曲線N的一條漸近線的傾斜角為， 例9.【2018屆江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體第二次聯(lián)考】設(shè)是過拋物線焦點(diǎn)的弦，其垂直平分線交軸于點(diǎn)，設(shè)，則的值是________ 【答案】 【解析】分析：首先畫出題中所給的條件的示意圖，然后結(jié)合拋物線的定義整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：如圖所示，設(shè)AB中點(diǎn)為E，作準(zhǔn)線于點(diǎn)，準(zhǔn)線于點(diǎn)，準(zhǔn)線于點(diǎn)， 由拋物線的定義可知：，則， 軸，，則：， 據(jù)此可知四邊形EHFG是平行四邊形，則， 從而：. 例10.【2018屆江西省景德鎮(zhèn)市第一中學(xué)等盟校第二次聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，以為直徑的動圓內(nèi)切于圓. （1）求橢圓的方程； （2）延長交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值. 【答案】(1) . (2)3. 詳解：（1）設(shè)的中點(diǎn)為M，在三角形中，由中位線得：， 當(dāng)兩個(gè)圓相內(nèi)切時(shí) ，兩個(gè)圓的圓心距等于兩個(gè)圓的半徑差，即 ∴， 即， 又∴ ∴橢圓方程為： （2）由已知可設(shè)直線， 令，原式=，當(dāng)時(shí)， ∴. 【精選精練】 1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，為拋物線上的動點(diǎn)，，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)恰好在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，則橢圓的長軸長為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：求出，過點(diǎn)作垂直與準(zhǔn)線，則，記，則，當(dāng)最小時(shí)，由最小值，設(shè)，利用定義，即可求解答案．x^kw 點(diǎn)睛：本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及橢圓的定義域標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，其中解答中得出當(dāng)最小時(shí)，由最小值，此時(shí)直線與拋物線相切于點(diǎn)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力． 2．【河北省衡水中學(xué)2018年高考押題三】已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，圓與線段相交于點(diǎn)，且被直線截得的弦長為，若，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：畫出如圖所示的示意圖，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，可得，由橢圓的性質(zhì)，分別表示出，根據(jù)直線被截得的弦長，可得線段之間的關(guān)系，從而得到，之后將兩式聯(lián)立，求出的值，代入到相應(yīng)的式子求得結(jié)果. 詳解：如圖所示： 由題意：在拋物線上，則，則，（1） 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)橢圓和拋物線的定義和性質(zhì)的問題，在解題的過程中，首先利用點(diǎn)在拋物線上得到，結(jié)合橢圓的性質(zhì)以及線段之間的關(guān)系，得到，聯(lián)立求得，代入求得結(jié)果. 3．【2018屆河北省衡水中學(xué)三輪復(fù)習(xí)七】已知雙曲線，、是實(shí)軸頂點(diǎn)，是右焦點(diǎn)，是虛軸端點(diǎn)，若在線段上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)，使得構(gòu)成以為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 在線段上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)， 使得構(gòu)成以線段為斜邊的直角三角形， 所以以為直徑的圓與直線有兩個(gè)交點(diǎn)， ， ， ， ， ，故選B. 點(diǎn)睛：求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率范圍問題應(yīng)先將 用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的不等式，從而求出的范圍. 4．【2018屆江西師大附中三模】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上一動點(diǎn)，過點(diǎn)向以為圓心，為半徑的圓作切線，其中切點(diǎn)為，則四邊形面積的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由切線的性質(zhì)可得S四邊形PMFN==|PM|．因此要使四邊形PMFN面積取得最大值，|PM|必須取得最大值，因此|PF|必須取得最大值，當(dāng)P點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，|PF|取得最大值a+c． 詳解：如圖所示， 當(dāng)P點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，|PF|取得最大值a+c=4+1=5． ∴|PM|=2， ∴四邊形PMFN面積最大值為=2|PM||MF|=2． 故選：A． 5．【2018屆湖南省湘潭市四?！恳阎菣E圓：的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 所以 6.【2018屆山東省濟(jì)南市二?！吭O(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)不共線,若的周長的最小值為,則橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：利用橢圓定義的周長為，結(jié)合三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，再利用對稱性，可得橢圓的離心率. 詳解： 的周長為 ， ∴ 故選：A 7．【2018屆四川省沖刺演練（一）】已知圓：經(jīng)過橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)，圓與橢圓的公共點(diǎn)為，，點(diǎn)為圓上一動點(diǎn)，則到直線的距離的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A ∴或 ∴或 ∵當(dāng)時(shí)，圓與橢圓無交點(diǎn) ∴ 聯(lián)立，得. ∵ ∴，即線段所在的直線方程為 ∵圓與橢圓的公共點(diǎn)為，，點(diǎn)為圓上一動點(diǎn) ∴到直線的距離的最大值為 故選A. 8．【2018屆浙江省教育綠色評價(jià)聯(lián)盟5月測試】已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)，且，若△的內(nèi)切圓半徑為，則該雙曲線的離心率為 A. B. C. D. 【答案】C 可得， 因?yàn)椤鞯膬?nèi)切圓半徑為， 所以由三角形的面積公式可得， 化為，即， 兩邊平方可得 ， 可得，解得，故選C. 9.【2018屆四川省成都市模擬一】過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最大時(shí)，的面積為__________． 【答案】 【解析】分析：根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)可得右焦點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)周長最長，再根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線的方程，進(jìn)而求解面積. 則，所以， 所以此時(shí)的面積為. 10.【2018屆山東省濰坊市三模】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，滿足，已知為拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，的外接圓半徑為______. 【答案】 【解析】分析：根據(jù)拋物線的定義可知，解得，得，作拋物線的焦點(diǎn)，關(guān)于拋物線準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)得，連接交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，使得取得最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，在中，分別應(yīng)用正、余弦定理，即可求解結(jié)果. 此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 在中，， 由余弦定理得，則， 由正弦定理得，所以， 即三角形外接圓的半徑為. 11.【2018屆山東省煙臺市高三高考適應(yīng)性練習(xí)（一）】已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上一點(diǎn)，若的延長線交軸的正半軸于點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，且，則=__________． 【答案】3 【解析】分析：畫出圖形后結(jié)合拋物線的定義和三角形的相似求解即可． 詳解：畫出圖形如下圖所示．由題意得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為． ∴． 又， 即，解得． 12.【2018屆山東省威海市二?！繏佄锞€的焦點(diǎn)為，是拋物線上的兩個(gè)動點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則的最大值為______. 【答案】 【解析】分析：設(shè)|PF|=2a，|QF|=2b，．由拋物線定義得|PQ|=a+b，由余弦定理可得（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得的θ取值范圍，從而得到本題答案. ∴cosθ=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號， ∴θ≤， 故答案為： 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系和基本不等式等，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本題的關(guān)鍵有二，其一是要聯(lián)想到拋物線的定義解題，從而比較簡潔地求出MN和PQ,其二是得到后要會利用基本不等式求最值.