（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 8.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖講義（含解析）.docx

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8.1　空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖 最新考綱 考情考向分析 1.了解多面體和旋轉(zhuǎn)體的概念，理解柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征． 2.了解簡單組合體，了解中心投影、平行投影的含義． 3.了解三視圖和直觀圖間的關(guān)系，掌握三視圖所表示的空間幾何體．會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖. 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖在高考中幾乎年年考查．主要考查根據(jù)幾何體的三視圖求其體積與表面積．對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖的考查，以選擇題和填空題為主. 1．多面體的結(jié)構(gòu)特征 名稱 棱柱 棱錐 棱臺 圖形 結(jié)構(gòu)特征 有兩個面互相平行且全等，其余各面都是平行四邊形． 每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行 有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的多面體 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分 側(cè)棱 平行且相等 相交于一點但不一定相等 延長線交于一點 側(cè)面形狀 平行四邊形 三角形 梯形 2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球 圖形 母線 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一點 延長線交于一點 軸截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圓 側(cè)面展開圖 矩形 扇形 扇環(huán) 3.三視圖與直觀圖 三視圖 畫法規(guī)則：長對正、高平齊、寬相等 直觀圖 斜二測畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45或135，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直． (2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長度為原來的一半. 概念方法微思考 1．底面是正多邊形的棱柱是正棱柱嗎，為什么？ 提示　不一定．因為底面是正多邊形的直棱柱才是正棱柱． 2．什么是三視圖？怎樣畫三視圖？ 提示　光線自物體的正前方投射所得的正投影稱為正視圖，自左向右的正投影稱為側(cè)視圖，自上向下的正投影稱為俯視圖，幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為三視圖．畫幾何體的三視圖的要求是正視圖與俯視圖長對正；正視圖與側(cè)視圖高平齊；側(cè)視圖與俯視圖寬相等． 題組一　思考辨析 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(　　) (2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(　　) (3)棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的截面與底面之間的部分．(　√　) (4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．(　　) (5)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．(　　) (6)菱形的直觀圖仍是菱形．(　　) 題組二　教材改編 2．[P19T2]下列說法正確的是(　　) A．相等的角在直觀圖中仍然相等 B．相等的線段在直觀圖中仍然相等 C．正方形的直觀圖是正方形 D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行 答案　D 解析　由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長度都有可能改變，而線段的平行關(guān)系不變． 3．[P8T1]在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為________．(填寫所有正確的序號) 答案?、邰? 題組三　易錯自糾 4．某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是(　　) A．圓柱B．圓錐C．四面體D．三棱柱 答案　A 解析　由三視圖知識知，圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形，而圓柱的正視圖不可能為三角形． 5．如圖是正方體截去陰影部分所得的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖是(　　) 答案　C 解析　此幾何體側(cè)視圖是從左邊向右邊看．故選C. 6．(2018浙江諸暨中學(xué)期中)邊長為2的正方形，其水平放置的直觀圖的面積為(　　) A.B．1C．2D．8 答案　C 解析　正方形的邊長為2，故面積為8，而原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系為＝，故直觀圖的面積為8＝2. 7．(2018全國Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如下圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在側(cè)視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(　　) A．2B．2C．3D．2 答案　B 解析　先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題中的三視圖可知，點M，N的位置如圖①所示． 圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點)如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．|ON|＝16＝4，|OM|＝2， ∴|MN|＝＝＝2.故選B. 題型一　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 1．以下命題： ①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； ②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺； ③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面； ④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺． 其中正確命題的個數(shù)為(　　) A．0B．1C．2D．3 答案　B 解析　由圓錐、圓臺、圓柱的定義可知①②錯誤，③正確．對于命題④，只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，④不正確． 2．給出下列四個命題： ①有兩個側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱； ②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐； ③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體； ④底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱． 其中不正確的命題為________．(填序號) 答案?、佗冖? 解析　對于①，平行六面體的兩個相對側(cè)面也可能是矩形，故①錯；對于②，對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明(如圖)，故②錯；對于③，若底面不是矩形，則③錯；④由線面垂直的判定，可知側(cè)棱垂直于底面，故④正確． 綜上，命題①②③不正確． 思維升華空間幾何體概念辨析題的常用方法 (1)定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進行判定． (2)反例法：通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析． 題型二　簡單幾何體的三視圖 命題點1　已知幾何體識別三視圖 例1(2018全國Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 答案　A 解析　由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A. 命題點2　已知三視圖，判斷簡單幾何體的形狀 例2如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是(　　) A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱 答案　B 解析　由題意知，該幾何體的三視圖為一個三角形、兩個四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱． 命題點3　已知三視圖中的兩個視圖，判斷第三個視圖 例3一個錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下列選項中，不可能是該錐體的俯視圖的是(　　) 答案　C 解析　A，B，D選項滿足三視圖作法規(guī)則，C不滿足三視圖作法規(guī)則中的寬相等，故C不可能是該錐體的俯視圖． 思維升華三視圖問題的常見類型及解題策略 (1)注意觀察方向，看到的部分用實線表示，不能看到的部分用虛線． (2)還原幾何體．要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，結(jié)合空間想象還原． (3)由部分視圖畫出剩余的部分視圖．先猜測，還原，再判斷．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項逐項代入． 跟蹤訓(xùn)練1(1)(2018杭州模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為BD1的中點，則△PAC在該正方體各個面上的正投影可能是(　　) A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 答案　B 解析　P點在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以△PAC在上底面或下底面的投影為①，在前、后面以及左、右面的投影為④. (2)(2018寧波模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側(cè)視圖，且該幾何體的體積為，則該幾何體的俯視圖可以是(　　) 答案　C 解析　該幾何體為正方體截去一部分后的四棱錐P—ABCD，如圖所示，該幾何體的俯視圖為C. 題型三　空間幾何體的直觀圖 例4已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________． 答案　 解析　如圖所示，作出等腰梯形ABCD的直觀圖． 因為OE＝＝1，所以O(shè)′E′＝，E′F＝， 則直觀圖A′B′C′D′的面積S′＝＝. 思維升華用斜二測畫法畫直觀圖的技巧 在原圖形中與軸平行的線段在直觀圖中與軸平行，不平行的線段先畫線段的端點再連線． 跟蹤訓(xùn)練2如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖(斜二測畫法)是一個底角為45、腰和上底長均為2的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是(　　) A．2＋ B．1＋ C．4＋2 D．8＋4 答案　D 解析　由已知直觀圖根據(jù)斜二測畫法規(guī)則畫出原平面圖形，如圖所示，所以這個平面圖形的面積為＝8＋4，故選D. 1．在一個密閉透明的圓柱筒內(nèi)裝一定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時，指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是(　　) A．圓面 B．矩形面 C．梯形面 D．橢圓面或部分橢圓面 答案　C 解析　將圓柱桶豎放，水面為圓面；將圓柱桶斜放，水面為橢圓面或部分橢圓面；將圓柱桶水平放置，水面為矩形面，所以圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是梯形面，故選C. 2.如圖所示，四面體ABCD的四個頂點是長方體的四個頂點(長方體是虛擬圖形，起輔助作用)，則四面體ABCD的三視圖是(用①②③④⑤⑥代表圖形)(　　) A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤ 答案　B 解析　正視圖應(yīng)該是邊長為3和4的矩形，其對角線左下到右上是實線，左上到右下是虛線，因此正視圖是①，側(cè)視圖應(yīng)該是邊長為5和4的矩形，其對角線左上到右下是實線，左下到右上是虛線，因此側(cè)視圖是②；俯視圖應(yīng)該是邊長為3和5的矩形，其對角線左上到右下是實線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是③. 3．用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是(　　) A．圓柱 B．圓錐 C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體 答案　C 解析　截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體． 4．某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，則它的俯視圖不可能是(　　) 答案　C 解析　若幾何體為兩個圓錐體的組合體，則俯視圖為A；若幾何體為四棱錐與圓錐的組合體，則俯視圖為B；若幾何體為兩個四棱錐的組合體，則俯視圖為D；不可能為C，故選C. 5．(2018麗水、衢州、湖州三地市質(zhì)檢)若將正方體(如圖1)截去兩個三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖是(　　) 答案　B 解析　從左向右看，該幾何體的側(cè)視圖的外輪廓是一個正方形，且AD1對應(yīng)的是實線，B1C對應(yīng)的是虛線．故選B. 6．(2011浙江)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是(　　) 答案　D 解析　A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，故選D. 7．(2019臺州模擬)已知底面是直角三角形的直棱柱的正視圖、俯視圖如下圖所示，則該棱柱的側(cè)視圖的面積為(　　) A．18 B．18 C．18 D. 答案　C 解析　設(shè)側(cè)視圖的長為x，則x2＝63＝18，∴x＝3. 所以側(cè)視圖的面積為S＝36＝18.故選C. 8．用一個平面去截正方體，則截面不可能是(　　) A．直角三角形 B．等邊三角形 C．正方形 D．正六邊形 答案　A 解析　用一個平面去截正方體，則截面的情況為： ①截面為三角形時，可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形、直角三角形； ②截面為四邊形時，可以是梯形(等腰梯形)、平行四邊形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形； ③截面為五邊形時，不可能是正五邊形； ④截面為六邊形時，可以是正六邊形． 9．(2018湖州模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的長為(　　) A.B．2C．3D．2 答案　C 解析　在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別為AD，BC的中點，該幾何體的直觀圖如圖中三棱錐D1—MNB1，故通過計算可得D1B1＝2，D1M＝B1N＝，MN＝2，MB1＝ND1＝3，故該三棱錐中最長棱的長為3. 10.一水平放置的平面四邊形OABC，用斜二測畫法畫出它的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為1的正方形，則原平面四邊形OABC的面積為________． 答案　2 解析　因為直觀圖的面積是原圖形面積的倍，且直觀圖的面積為1，所以原圖形的面積為2. 11.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動點，則三棱錐P－ABC的正視圖與側(cè)視圖的面積的比值為________． 答案　1 解析　如題圖所示，設(shè)正方體的棱長為a，則三棱錐P－ABC的正視圖與側(cè)視圖都是三角形，且面積都是a2，故面積的比值為1. 12．給出下列命題： ①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形； ②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直； ③在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ④存在每個面都是直角三角形的四面體． 其中正確命題的序號是________． 答案?、冖邰? 解析?、俨徽_，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)面所在的三個平面的二面角都是直二面角；③正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個面都是直角三角形． 13.如圖，在一個正方體內(nèi)放入兩個半徑不相等的球O1，O2，這兩個球外切，且球O1與正方體共頂點A的三個面相切，球O2與正方體共頂點B1的三個面相切，則兩球在正方體的面AA1C1C上的正投影是(　　) 答案　B 解析　由題意可以判斷出兩球在正方體的面上的正投影與正方形相切．由于兩球球心連線AB1與面ACC1A1不平行，故兩球球心射影所連線段的長度小于兩球半徑的和，即兩個投影圓相交，即為圖B. 14.我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在學(xué)術(shù)研究中，不迷信古人，堅持實事求是．他對《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”給出的公式產(chǎn)生質(zhì)疑，為了證實自己的猜測，他引入了一種新的幾何體“牟合方蓋”：以正方體相鄰的兩個側(cè)面為底做兩次內(nèi)切圓柱切割，然后剔除外部，剩下的內(nèi)核部分．如果“牟合方蓋”的正視圖和側(cè)視圖都是圓，則其俯視圖的形狀為(　　) 答案　B 解析　由題意得在正方體內(nèi)做兩次內(nèi)切圓柱切割，得到的幾何體的直觀圖如圖所示，由圖易得其俯視圖為B，故選B. 15．(2018嘉興模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是(　　) A．圓弧 B．拋物線的一部分 C．橢圓的一部分 D．雙曲線的一部分 答案　D 解析　根據(jù)幾何體的三視圖，可得側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得，故側(cè)視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選D. 16．(2018臺州模擬)如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體中最長棱的長是________． 答案　 解析　由三視圖可知，該幾何體是棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中三棱錐M—A1B1N，如圖所示，M是棱AB上靠近點A的一個三等分點，N是棱C1D1的中點，所以 A1B1＝2，A1N＝B1N＝＝， A1M＝＝， B1M＝＝， MN＝＝， 所以該幾何體中最長棱的長是.