2019年高中數(shù)學(xué) 第5章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù) 5.3 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算講義（含解析）湘教版選修2-2.doc

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53復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算讀教材填要點(diǎn)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算一般地，設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，有(1)加法：z1z2ac(bd)i.(2)減法：z1z2ac(bd)i.(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(4)除法：i(cdi0)小問(wèn)題大思維1若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z20，能否認(rèn)為z1z2?提示：不能如2ii0，但2i與i不能比較大小2復(fù)數(shù)的乘法滿足我們以前學(xué)過(guò)的完全平方公式、平方差公式嗎？提示：復(fù)數(shù)的乘法類似多項(xiàng)式的乘法，滿足完全平方公式和平方差公式3如何辨析復(fù)數(shù)除法與實(shí)數(shù)除法的關(guān)系？提示：復(fù)數(shù)的除法和實(shí)數(shù)的除法有所不同，實(shí)數(shù)的除法可以直接約分、化簡(jiǎn)得出結(jié)果；而復(fù)數(shù)的除法是先將兩復(fù)數(shù)的商寫(xiě)成分式，然后分母實(shí)數(shù)化復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算 已知z1(3xy)(y4x)i，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)，若z1z2 132i，求z1，z2.自主解答z1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i(3xy)(4y2x)(y4x)(5x3y)i(5x3y)(x4y)i.又z1z2132i，(5x3y)(x4y)i132i.解得z1(321)(142)i59i.z24(1)22523(1)i87i.對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，先分清復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，然后將實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加減1(1)計(jì)算：(2i).(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z13i52i，求z.解：(1)(2i)i1i.(2)法一：設(shè)zxyi(x，yR)，因?yàn)閦13i52i，所以xyi(13i)52i，即x15且y32，解得x4，y1，所以z4i.法二：因?yàn)閦13i52i，所以z(52i)(13i)4i.復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算 計(jì)算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(1i)；(3)(23i)(12i)；(4)(529i)(73i)自主解答(1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i.(2)(1i)(1i)(1i)ii.(3)原式i.(4)原式52i.(1)三個(gè)或三個(gè)以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運(yùn)算或利用結(jié)合律運(yùn)算，混合運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣(2)復(fù)數(shù)的除法法則難以記憶，在做題時(shí)，牢記分母“實(shí)數(shù)化”即可2(1)已知復(fù)數(shù)z148i，z269i，求復(fù)數(shù)(z1z2)i的實(shí)部與虛部；(2)已知z是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，求z.解：(1)由題意得z1z2(48i)(69i)(46)(8i9i)2i，則(z1z2)i(2i)i2ii212i.于是復(fù)數(shù)(z1z2)i的實(shí)部是1，虛部是2.(2)設(shè)純虛數(shù)zbi(bR)，則.由于是實(shí)數(shù)，所以b20，即b2，所以z2i.復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程問(wèn)題 若關(guān)于x的方程x2(12i)x(3m1)i0有實(shí)根，求純虛數(shù)m的值自主解答設(shè)mbi(b0)，x0為一實(shí)根，代入原方程得x(12i)x0(3bi1)i0.(xx03b)(2x01)i0.解得mi.若將“求純虛數(shù)m”改為“求實(shí)數(shù)m”，如何求解？解：x2(12i)x(3m1)i0，即(x2x)(2x3m1)i0，或即m或.復(fù)數(shù)方程問(wèn)題，常借助復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題解決3已知關(guān)于x的方程x2kxi0有一根是i，求k的值解：因?yàn)閕為方程x2kxi0的一個(gè)根，所以代入原方程，得i2kii0.所以k1i.計(jì)算：1ii2i3i2 018.解法一：ii2i3i40，inin1in2in30.1ii2i3i2 0181ii2(i3i4i5i6)(i7i8i9i10)(i2 015i2 016i2 017i2 018)1ii2i.法二：1ii2i2 018i.1(62i)(3i1)等于()A33iB55iC7i D55i解析：(62i)(3i1)(61)(23)i55i.答案：B2(全國(guó)卷)()A12iB12iC2i D2i解析：2i.答案：D3已知復(fù)數(shù)z1i，則()A2i B2iC2 D2解析：法一：因?yàn)閦1i，所以2i.法二：由已知得z1i，而2i.答案：B4若z時(shí)，求z2 018z102_.解析：z22i.z2 018z102(i)1 009(i)51(i)1 008(i)(i)48(i)3ii0答案：05已知復(fù)數(shù)z1a23i，z22aa2i，若z1z2是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a_.解析：由條件知z1z2a22a3(a21)i，又z1z2是純虛數(shù)，所以解得a3.答案：36已知復(fù)數(shù)z.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若z2azb1i，求實(shí)數(shù)a，b的值解：(1)z1i.(2)把z1i代入得(1i)2a(1i)b1i，即ab(2a)i1i，所以解得1設(shè)i為虛數(shù)單位，則()A23iB23iC23i D23i解析：23i.答案：C2(山東高考)已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足zi1i，則z2()A2i B2iC2 D2解析：zi1i，z11i.z2(1i)21i22i2i.答案：A3若a為實(shí)數(shù)，且(2ai)(a2i)4i，則a()A1 B0C1 D2解析：(2ai)(a2i)4i，4a(a24)i4i.解得a0.答案：B4已知z123i，z2，則()A43i B34iC34i D43i解析：z123i，z2，i(2i)2(34i)i43i.答案：D二、填空題5復(fù)數(shù)的虛部是_解析：(2i)(12i)i，虛部是.答案：6若復(fù)數(shù)z滿足zi(2z)(i是虛數(shù)單位)，則z_.解析：zi(2z)，z2iiz，(1i)z2i，z1i.答案：1i7(天津高考)已知aR，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為_(kāi)解析：由i是實(shí)數(shù)，得0，所以a2.答案：28若zi1是方程z2azb0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)a，b的值分別為_(kāi)，_.解析：把zi1代入方程z2azb0，得(ab)(a2)i0，即解得a2，b2.答案：22三、解答題9復(fù)數(shù)z，若z20，求純虛數(shù)a.解：z1i.a為純虛數(shù)，設(shè)ami(m0)，則z2(1i)22ii0.m4.a4i.10已知x，yR，且，求x，y的值解：，.即5x(1i)2y(12i)515i.(5x2y)(5x4y)i515i.解得