2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1 空間向量及其運(yùn)算 3.1.5 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc

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3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，并會判斷兩個向量是否共線或垂直(重點(diǎn))2.掌握空間向量的模，夾角公式和兩點(diǎn)間距離公式，并能運(yùn)用這些公式解決簡單幾何體中的問題(重點(diǎn)，難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：運(yùn)算坐標(biāo)表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)減法ab(a1b1，a2b2，a3b3)數(shù)乘a(a1，a2，a3)，R數(shù)量積aba1b1a2b2a3b32.空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標(biāo)表示設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則平行(ab)ab(b0)ab垂直(ab)abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均為非零向量)模|a|夾角公式cosa，b思考：若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ab一定有成立嗎？提示當(dāng)b1，b2，b3均不為0時，成立3向量的坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離公式在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則(1)(a2a1，b2b1，c2c1)；(2)dAB|.基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)若a(1，2,1)，ab(1,2，1)，則b(2,4，2)()(2)若a(1,2,0)，b(2,0,1)，則|a|b|.()(3)若a(0,0,1)，b(1,0,0)則ab.()(4)在空間坐標(biāo)系中，若A(1,2,3)，B(4,5,6)，則(3，3，3)()答案(1)(2)(3)(4)2已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，則4a2b等于()A(16,0,4)B(8，16,4)C(8,16,4)D(8,0,4)D4a(12，8,4)，2b(4,8,0)，4a2b(8,0,4)3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab與2ab互相垂直，則k() 【導(dǎo)學(xué)號：46342154】A1 B CDDkab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，且(kab)(2ab)3(k1)2k40，解得k.4若點(diǎn)A(0,1,2)，B(1,0,1)，則_，_.(1，1，1)(1，1，1)，|.合 作 探 究攻 重 難空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)滿足條件(ca)(2b)2，則x_.(2)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，求適合下列條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；()；()解析(1)ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，由(ca)2b2得2(1x)2，解得x2.答案2(2)(2,6，3)，(4,3,1)()(6,3，4)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.設(shè)P(x，y，z)，則(x2，y1，z2)()，解得x5，y，z0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.規(guī)律方法1.一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)2在確定了向量的坐標(biāo)后，使用空間向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算就可以了，但要熟練應(yīng)用下列有關(guān)乘法公式：(1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)(ab)a2b2.跟蹤訓(xùn)練1已知a(2，1，2)，b(0，1,4)求：(1)ab；(2)ab；(3)ab；(4)2a(b)；(5)(ab)(ab)解(1)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2，2,2)(2)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，1(1)，24)(2,0，6)(3)ab(2，1，2)(0，1,4)20(1)(1)(2)47.(4)2a(4，2，4)，(2a)(b)(4，2，4)(0,1，4)40(2)1(4)(4)14.(5)(ab)(ab)a2b2414(0116)8.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直問題已知空間三點(diǎn)A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)設(shè)a，b.(1)若|c|3，c，求c；(2)若kab與ka2b互相垂直，求k.思路探究(1)根據(jù)c，設(shè)c，則向量c的坐標(biāo)可用表示，再利用|c|3求值；(2)把kab與ka2b用坐標(biāo)表示出來，再根據(jù)數(shù)量積為0求解解(1)(2，1,2)且c，設(shè)c(2，2)(R)|c|3|3.解得1.c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0，即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100，解得k2或k.規(guī)律方法向量平行與垂直問題主要有兩種題型：(1)平行與垂直的判斷；(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問題，即平行與垂直的應(yīng)用.解題時要注意：適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)ab)，建立關(guān)于參數(shù)的方程；最好選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.跟蹤訓(xùn)練2已知a(1,1,2)，b(6,2m1,2)(1)若ab，分別求與m的值；(2)若|a|，且與c(2，2，)垂直，求a. 【導(dǎo)學(xué)號：46342155】解(1)由ab，得(1,1,2)k(6,2m1,2)，解得實(shí)數(shù)，m3.(2)|a|，且ac，化簡，得解得1.因此，a(0,1，2).空間向量夾角與長度的計(jì)算探究問題1已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少？提示：P2設(shè)異面直線AB，CD所成的角為，則cos cos，一定成立嗎？提示：當(dāng)cos，0時，cos cos，當(dāng)cos，0時，cos cos，如圖3138所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分別為A1B1，A1A的中點(diǎn)圖3138(1)求BN的長；(2)求A1B與B1C所成角的余弦值；(3)求證：BN平面C1MN.思路探究解(1)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，|，線段BN的長為.(2)依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)，10(1)1223.又|，|.cos，.故A1B與B1C所成角的余弦值為.(3)證明：依題意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，M，(1,0，1)，(1，1,1)，1(1)010，110(1)(1)10.，BNC1M，BNC1N，又C1MC1NC1，C1M平面C1MN，C1N平面C1MN，BN平面C1MN.規(guī)律方法 向量夾角的計(jì)算步驟(1)建系：結(jié)合圖形建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，建系原則是讓盡可能多的點(diǎn)落到坐標(biāo)軸上(2)求方向向量：依據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出方向向量的坐標(biāo)(3)代入公式：利用兩向量的夾角公式將方向向量的坐標(biāo)代入求出夾角跟蹤訓(xùn)練3如圖3139所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)圖3139(1)求證：MNAB，MNCD；(2)求異面直線AN與CM所成角的余弦值解(1)證明：設(shè)p，q，r.由題意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三個向量兩兩夾角均為60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.，即MNAB同理可證MNCD(2)設(shè)向量與的夾角為.()(qr)，qp，(qr).又|a，|cos aacos .cos .向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，則|3ab|為()A B4C5 DD3ab3(1,1,0)(1,0,2)(3,3,0)(1,0,2)(2,3,2)，故|3ab|.2已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O為原點(diǎn)，則與的夾角是()A0 BCD2B(3,3,3)，(6，6，6)則BO33(6)54，|3，|6所以cos，1，所以，.3已知a(1，x,3)，b(2,4，y)，若ab，則xy_.4ab，ba.xy4.4若a(2,3，1)，b(2,1,3)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為_. 【導(dǎo)學(xué)號：46342156】6ab2(2)31(1)34，|a|，|b|，cosa，b.sina，b.因此以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為|a|b|sina，b6.5在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CGCD，H是C1G的中點(diǎn)利用空間向量解決下列問題：(1)求EF與B1C所成的角；(2)求EF與C1G所成角的余弦值；(3)求F，H兩點(diǎn)間的距離解如圖所示，以DA，DC，DD1為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，E，F(xiàn)，C(0,1,0)，C1(0，1,1)，B1(1,1,1)，G.(1)，(1,0，1)，(1,0，1)(1)0(1)0.，即EFB1CEF與B1C所成的角為90.(2)因?yàn)?則|.又|，且，cos，即EF與C1G所成角的余弦值為.(3)H是C1G的中點(diǎn)，H.又F，F(xiàn)H|.