《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理學(xué)案 新人教A版必修5.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理學(xué)案 新人教A版必修5.doc（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1.1.2 余弦定理
學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握余弦定理及其推論．(重點).2.掌握正、余弦定理的綜合應(yīng)用．(重點).3.能應(yīng)用余弦定理判斷三角形的形狀．(易錯點)
[自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知]
1．余弦定理
文字
表述
三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍
公式
表達
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C
變形
cos A＝；cos B＝；cos C＝.
思考：在△ABC中，若a2
a2＋b2?C為鈍角；c2b2＋c2，則△ABC一定為鈍角三角形．( )
(3)在△ABC中，已知兩邊和其夾角時，△ABC不唯一．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)
提示：由余弦定理可知，已知△ABC的兩邊和其夾角時，第三邊是唯一確定的，所以△ABC是唯一的，(3)錯誤．
2．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120，則邊c＝________.
【導(dǎo)學(xué)號：91432030】
2 [根據(jù)余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－246cos 120＝76，c＝2.]
3．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，則B＝________.
60 [cos B＝＝＝，B＝60.]
4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，則A＝________.
【導(dǎo)學(xué)號：91432031】
120 [∵a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴cos A＝＝＝－，
又∵A為△ABC的內(nèi)角，
∴A＝120.]
5．以下說法正確的是________(填序號)．
①在三角形中，已知兩邊及一邊的對角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；
②余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，因此，它適應(yīng)于任何三角形；
③利用余弦定理，可解決已知三角形三邊求角問題；
④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一個特例．
②③④ [①錯誤．由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知兩邊及一邊的對角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．
②正確．余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系，它適合于任何三角形．
③正確．結(jié)合余弦定理公式及三角函數(shù)知識可知正確．
④正確．余弦定理可以看作勾股定理的推廣．]
[合 作 探 究攻 重 難]
已知兩邊與一角解三角形
在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30，求角A，角C和邊a.
[解] 法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a3cos 30，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
當(dāng)a＝3時，A＝30，∴C＝120.
當(dāng)a＝6時，由正弦定理sin A＝＝＝1.
∴A＝90，∴C＝60.
法二：由bcsin 30＝3＝知本題有兩解．
由正弦定理sin C＝＝＝，
∴C＝60或120，當(dāng)C＝60時，A＝90，
由勾股定理a＝＝＝6，
當(dāng)C＝120時，A＝30，△ABC為等腰三角形，
∴a＝3.
[規(guī)律方法] 已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定理(已知兩邊和一邊的對角)求解.
若用正弦定理求解，需對角的取值進行取舍，而用余弦定理就不存在這些問題(在(0，π)上，余弦值所對角的值是唯一的)，故用余弦定理求解較好.
[跟蹤訓(xùn)練]
1．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45，解這個三角形.
【導(dǎo)學(xué)號：91432032】
[解] 根據(jù)余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－22(＋)cos 45＝8，∴b＝2.
又∵cos A＝＝＝，
∴A＝60，C＝180－(A＋B)＝75.
已知三邊解三角形
已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC的各角的大小．
思路探究：已知三角形三邊的比，可設(shè)出三邊的長，從而問題轉(zhuǎn)化為已知三邊求三角，可利用余弦定理求解．
[解] 設(shè)a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)，
利用余弦定理，
有cosA＝＝＝，
∴∠A＝45.同理可得cos B＝，∠B＝60.
∴∠C＝180－∠A－∠B＝75.
[規(guī)律方法]
(1)已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一．
(2)若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解．
[跟蹤訓(xùn)練]
2．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C.
【導(dǎo)學(xué)號：91432033】
[解] ∵a>c>b，∴A為最大角，
由余弦定理的推論，得：
cos A＝＝＝－，
∴A＝120，∴sin A＝sin 120＝.
由正弦定理＝，得：
sin C＝＝＝，
∴最大角A為120，sin C＝.
正、余弦定理的綜合應(yīng)用
[探究問題]
1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2，則sin2A＝sin2B＋sin2C成立嗎？反之說法正確嗎？為什么？
提示：設(shè)△ABC的外接圓半徑為R.
由正弦定理的變形，將a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之將sin A＝，sin B＝，sin C＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，這兩種說法均正確．
2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，則C＝成立嗎？反之若C＝，則c2＝a2＋b2成立嗎？為什么？
提示：因為c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的變形cos C＝＝0，即cos C＝0，所以C＝，反之若C＝，則cos C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
在△ABC中，若(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，判斷△ABC的形狀.
【導(dǎo)學(xué)號：91432034】
思路探究：
[解] 法一：(角化邊)∵(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，
∴由正、余弦定理可得：
b＝a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC為直角三角形或等腰三角形．
法二：(邊化角)根據(jù)正弦定理，原等式可化為：
(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，
即sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A.
∵sin C≠0，
∴sin Bcos B＝sin Acos A.
∴sin 2B＝sin 2A.
∴2B＝2A或2B＋2A＝π，
即A＝B或A＋B＝.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
母題探究：1.(變條件)將例題中的條件“(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A”換為“acos A＋bcos B＝ccos C”其它條件不變，試判斷三角形的形狀．
[解] 由余弦定理知cos A＝，cos B＝，cos C＝，代入已知條件得a＋b＋c＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展開整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形．
2．(變條件)將例題中的條件“(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A”換為“l(fā)g a－lg c＝lgsin B＝－lg 且B為銳角”判斷△ABC的形狀．
[解] 由lgsin B＝－lg ＝lg ，
可得sin B＝，又B為銳角，∴B＝45.
由lg a－lg c＝－lg ，得＝，∴c＝a.
又∵b2＝a2＋c2－2accos B，
∴b2＝a2＋2a2－2a2＝a2，
∴a＝b，即A＝B.又B＝45，
∴△ABC為等腰直角三角形．
[規(guī)律方法] 判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進行思考，可用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，也可利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換，得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷三角形形狀.
[當(dāng) 堂 達 標(biāo)固 雙 基]
1．已知a，b，c是△ABC的三邊長，若滿足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則角C的大小為( )
A．60 B．90
C．120 D．150
C [由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，
∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，
∴cos C＝－，∴C＝120.]
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，則△ABC的最小角為( )
【導(dǎo)學(xué)號：91432035】
A. B.
C. D.
B [由三角形邊角關(guān)系可知，角C為△ABC的最小角，則cosC＝＝＝，所以C＝，故選B.]
3．在△ABC中，若a＝2bcosC，則△ABC的形狀為________．
等腰三角形 [法一：∵a＝2bcos C＝2b＝，
∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，
∴△ABC為等腰三角形．
法二：∵a＝2bcos C，∴sin A＝2sin Bcos C，
而sinA＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴cos Bsin C＝sin Bcos C，
即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
∴sin(B－C)＝0.
又－180
下載提示(請認(rèn)真閱讀)
- 1.請仔細閱讀文檔，確保文檔完整性，對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
- 2.下載的文檔，不會出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入（下載+內(nèi)容+預(yù)覽）歸上傳者、原創(chuàng)作者；如果您是本文檔原作者，請點此認(rèn)領(lǐng)！既往收益都歸您。
文檔包含非法信息？點此舉報后獲取現(xiàn)金獎勵！
下載文檔到電腦，查找使用更方便
9.9
積分
- 配套講稿：
如PPT文件的首頁顯示word圖標(biāo)，表示該PPT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開word文檔。
- 特殊限制：
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片，僅作為作品整體效果示例展示，禁止商用。設(shè)計者僅對作品中獨創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞：
-
2018年秋高中數(shù)學(xué)
第一章
解三角形
1.1
正弦定理和余弦定理
1.1.2
余弦定理學(xué)案
新人教A版必修5
2018
高中數(shù)學(xué)
三角形
正弦
定理
余弦
理學(xué)
新人
必修
- 溫馨提示:
1: 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽，若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理，對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內(nèi)容負責(zé)。
6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容，請與我們聯(lián)系，我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
裝配圖網(wǎng)所有資源均是用戶自行上傳分享，僅供網(wǎng)友學(xué)習(xí)交流，未經(jīng)上傳用戶書面授權(quán)，請勿作他用。
2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理學(xué)案 新人教A版必修5.doc
鏈接地址：http://m.appdesigncorp.com/p-6302174.html