2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1 空間向量及其運算 3.1.3 空間向量的數(shù)量積運算學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc

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3.1.3空間向量的數(shù)量積運算學(xué)習(xí)目標：1.掌握空間向量夾角的概念及表示方法.2.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律及計算方法(重點)3.能用向量的數(shù)量積解決立體幾何問題(難點)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1空間向量的夾角(1)夾角的定義圖3115已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作a，b，則AOB叫做向量a，b的夾角，記作a，b(2)夾角的范圍空間任意兩個向量的夾角的取值范圍是0，特別地，當(dāng)0時，兩向量同向共線；當(dāng)時，兩向量反向共線，所以若ab，則a，b0或；當(dāng)a，b時，兩向量垂直，記作ab.2空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a|b|cosa，b叫做a，b的數(shù)量積，記作ab.即ab|a|b|cosa，b(2)數(shù)量積的運算律：數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(a)b(ab)a(b)交換律abba分配律a(bc)abac(3)空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì)：向量數(shù)量積的性質(zhì)垂直若a，b是非零向量，則abab0共線同向：則ab|a|b|反向：則ab|a|b|模a a|a|a|cosa，a|a|2|a|ab|a|b|夾角為a，b的夾角，則cos 思考：(1)若ab0，則一定有ab嗎？(2)若ab0，則a，b一定是銳角嗎？提示(1)若ab0，則不一定有ab，也可能a0或b0(2)當(dāng)a，b0時，也有ab0，故當(dāng)ab0時，ab不一定是銳角基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)在ABC中，B()(2)在正方體ABCDABCD中，與的夾角為45.()(3)0a0.()(4)若ab0，則a，b為鈍角()答案(1)(2)(3)(4)2已知正方體ABCDABCD的棱長為a，設(shè)a，b，c，則，等于()A30 B60C90D120DBDC是等邊三角形，120.3已知|a|3，|b|2，ab3，則a，b_. 【導(dǎo)學(xué)號：46342138】cosa，b.所以a，b.合 作 探 究攻 重 難空間向量的數(shù)量積運算(1)已知a3p2q，bpq，p和q是相互垂直的單位向量，則ab()A1 B2C3D4(2)如圖3116所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，求值：圖3116(1)；(2)；(3)；(4).解析(1)由題意知，pq0，p2q21所以ab(3p2q)(pq)3p22q2pq1.答案A(2)|cos，cos 60.(2)|2.(3)EFcos 60.(4)()|cos，|cos，cos 60cos 600.規(guī)律方法在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積.(3)根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模.(4)代入公式ab|a|b|cosa，b求解.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則_. 【導(dǎo)學(xué)號：46342139】a2a2cos 60a2.(2)在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA1，OB2，OC3，G為ABC的重心，則()_.()()()()()222223212.利用數(shù)量積證明空間的垂直關(guān)系已知空間四邊形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OGBC解連接ON，設(shè)AOBBOCAOC，又設(shè)a，b，c，則|a|b|c|.又()(abc)，cb.(abc)(cb)(acabbcb2c2bc)(|a|2cos |a|2cos |a|2|a|2)0.，即OGBC規(guī)律方法用向量法證明垂直關(guān)系的步驟(1)把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題(2)用已知向量表示所證向量(3)結(jié)合數(shù)量積公式和運算律證明數(shù)量積為0.(4)將向量問題回歸到幾何問題跟蹤訓(xùn)練2如圖3117，已知正方體ABCDABCD，CD與DC相交于點O，連接AO，求證：圖3117(1)AOCD；(2)AC平面BCD.證明(1)因為()，因為，所以(2)()(22)(|2|2)0，所以，故AOCD.(2)因為()()，可知0，0，0，|2，|2，0，所以|2|20，所以，所以ACBC同理可證，ACBD.又BC，BD平面BCD，BCBDB，所以AC平面BCD.利用數(shù)量積求夾角如圖3118，在空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求異面直線OA與BC的夾角的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號：46342140】圖3118思路探究求異面直線OA與BC所成的角，首先來求與的夾角，但要注意異面直線所成角的范圍是，而向量夾角的取值范圍為0，注意角度的轉(zhuǎn)化解，|cos，|cos，84cos 13586cos 1202416.cos，異面直線OA與BC的夾角的余弦值為.規(guī)律方法利用向量數(shù)量積求夾角問題的思路1求兩個向量的夾角有兩種方法：(1)結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來求，但要注意向量夾角的范圍；(2)先求ab，再利用公式cosab求cosa，b，最后確定a，b2我們也可以用這種方法求兩條異面直線所成的角，步驟如下：根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個向量(即直線的方向向量)；異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題；利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大??；異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量數(shù)量積求向量夾角的余弦值應(yīng)將余弦值加上絕對值，進而求出異面直線所成的角的大小跟蹤訓(xùn)練3.如圖3119，已知直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分別為AB，BB的中點圖3119(1)求證：CEAD；(2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值解(1)證明：設(shè)a，b，c，根據(jù)題意，|a|b|c|且abbcca0.bc，cba.c2b20，即CEAD(2)ac，|a|，|a|，(ac)c2|a|2，cos，.異面直線CE與AC所成角的余弦值為.利用數(shù)量積求距離探究問題1異面直線AB，CD所成的角為60，則，的值是多少？提示：，60或1202如圖3120，已知線段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D與A在的同側(cè)，若ABBCCD2，試求A，D兩點間的距離圖3120提示：，|2()2|2|2|22BC2CD2122(22cos 9022cos 12022cos 90)8，|2，即A，D兩點間的距離為2.如圖3121所示，在平行四邊形ABCD中，ABAC1，ACD90，沿著它的對角線AC將ACD折起，使AB與CD成60角，求此時B，D間的距離圖3121思路探究解ACD90，CD0，同理可得0.AB與CD成60角，60或，120.又，|2|2|2|22223211cos，當(dāng)，60時，|24，此時B，D間的距離為2；當(dāng)，120時，|22，此時B，D間的距離為.規(guī)律方法1.利用空間向量的數(shù)量積與空間向量模的關(guān)系，常把空間兩點距離問題轉(zhuǎn)化為空間向量模的大小問題加以計算2用數(shù)量積求兩點間距離的步驟：(1)用向量表示此距離；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式aa|a|2，求|a|；(4)|a|即為所求距離跟蹤訓(xùn)練4.如圖3122所示，在空間四邊形OABC中，OA，OB，OC兩兩成60角，且OAOBOC2，E為OA的中點，F(xiàn)為BC的中點，試求E，F(xiàn)間的距離圖3122解()()()，所以2222222.|，即E，F(xiàn)間的距離為.當(dāng) 堂 達 標固 雙 基1已知e1，e2為單位向量，且e1e2，若a2e13e2，bke14e2，ab，則實數(shù)k的值為()A6B6C3D3B由題意可得ab0，e1e20，|e1|e2|1，(2e13e2)(ke14e2)0，2k120，k6.2在正方體ABCDA1B1C1D1中，有下列命題：()232；()0；與的夾角為60.其中真命題的個數(shù)為() 【導(dǎo)學(xué)號：46342141】A1 B2C3D0B對于，()222232，故正確；對于，()0，故正確對于，120，故錯3在空間四邊形OABC中，OBOC，AOBAOC，則cos，的值為()A B CD0D()|cosAOC|cosAOB|O|0，cos，0.4在空間四邊形ABCD中，_.0原式()()()0.5如圖3123，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點，且BM2A1M，C1N2B1N.設(shè)a，b，C圖3123(1)試用a，b，c表示向量；(2)若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求MN的長. 【導(dǎo)學(xué)號：46342142】解(1)(ca)a(ba)abC(2)(abc)2a2b2c22ab2bc2ac11102112115，|abc|，|abc|，即MN.