2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.2 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 2.2.1 條件概率學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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2.2.1　條件概率 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解條件概率的概念.2.掌握求條件概率的兩種方法．(難點(diǎn))3.能利用條件概率公式解一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．條件概率的概念 一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率． 2．條件概率的性質(zhì) (1)0≤P(B|A)≤1； (2)如果B與C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)若事件A與B互斥，則P(B|A)＝0. (　　) (2)若事件A等于事件B，則P(B|A)＝1. (　　) (3)P(B|A)與P(A|B)相同． (　　) [解析]　　(1)√　因?yàn)槭录嗀與B互斥，所以在事件A發(fā)生的條件下，事件B不會(huì)發(fā)生． (2)√　因?yàn)槭录嗀等于事件B，所以事件A發(fā)生，事件B必然發(fā)生． (3)　由條件概率的概念知該說(shuō)法錯(cuò)誤． [答案]　(1)√　(2)√　(3) 2．若P(AB)＝，P(A)＝，則P(B|A)＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032141】 A．　　　　　　 B． C． D． B　[由公式得P(B|A)＝＝＝.] 3．下面幾種概率是條件概率的是(　　) A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7，各投籃一次都投中的概率 B．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7，在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率 C．有10件產(chǎn)品，其中3件次品，抽2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上學(xué)路上要過(guò)四個(gè)路口，每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是，則小明在一次上學(xué)中遇到紅燈的概率 B　[由條件概率的定義知B為條件概率．] 4．設(shè)某動(dòng)物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，現(xiàn)有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物，則它活到25歲的概率是________． 0.5　[根據(jù)條件概率公式知P＝＝0.5.] [合 作 探 究攻 重 難] 利用定義求條件概率 　一個(gè)袋中有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，如果不放回地抽取兩個(gè)球，記事件“第一次抽到黑球”為A；事件“第二次抽到黑球”為B. (1)分別求事件A，B，AB發(fā)生的概率； (2)求P(B|A)． [解]　由古典概型的概率公式可知 (1)P(A)＝， P(B)＝＝＝， P(AB)＝＝. (2)P(B|A)＝＝＝. [規(guī)律方法] 1．用定義法求條件概率P(B|A)的步驟 (1)分析題意，弄清概率模型； (2)計(jì)算P(A)，P(AB)； (3)代入公式求P(B|A)＝. 2．在(2)題中，首先結(jié)合古典概型分別求出了事件A、B的概率，從而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之間的關(guān)系． [跟蹤訓(xùn)練] 1．設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)＞0，若P(AB)＝，P(A)＝，則P(B|A)＝________. 　[由P(B|A)＝＝＝.] 2．有一匹叫Harry的馬，參加了100場(chǎng)賽馬比賽，贏了20場(chǎng)，輸了80場(chǎng)．在這100場(chǎng)比賽中，有30場(chǎng)是下雨天，70場(chǎng)是晴天．在30場(chǎng)下雨天的比賽中，Harry贏了15場(chǎng)．如果明天下雨，Harry參加賽馬的贏率是(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． B　[此為一個(gè)條件概率的問(wèn)題，由于是在下雨天參加賽馬，所以考查的應(yīng)該是Harry在下雨天的比賽中的贏率，則P＝＝.] 縮小樣本空間求條件概率 　一個(gè)盒子中有6只好晶體管，4只壞晶體管，任取兩次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032142】 [思路探究]　本題可以用公式求解，也可以用縮小樣本空間的方法直接求解． [解]　法一：(定義法)設(shè)Ai＝{第i只是好的}(i＝1,2)．由題意知要求出P(A2|A1)． 因?yàn)镻(A1)＝＝，P(A1A2)＝＝， 所以P(A2|A1)＝＝. 法二：(直接法)因事件A1已發(fā)生(已知)，故我們只研究事件A2發(fā)生便可，在A1發(fā)生的條件下，盒中僅剩9只晶體管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝＝. [規(guī)律方法]　P(B|A)表示事件B在“事件A已發(fā)生”這個(gè)附加條件下的概率，與沒(méi)有這個(gè)附加條件的概率是不同的．也就是說(shuō)，條件概率是在原隨機(jī)試驗(yàn)的條件上再加上一定的條件，求另一事件在此“新條件”下發(fā)生的概率．因此利用縮小樣本空間的觀點(diǎn)計(jì)算條件概率時(shí)，首先明確是求“在誰(shuí)發(fā)生的前提下誰(shuí)的概率”，其次轉(zhuǎn)換樣本空間，即把給定事件A所含的基本事件定義為新的樣本空間，顯然待求事件B便縮小為事件AB，如圖所示，從而P(B|A)＝. [跟蹤訓(xùn)練] 3．一個(gè)大正方形被平均分成9個(gè)小正方形，向大正方形區(qū)域隨機(jī)地投擲一個(gè)點(diǎn)(每次都能投中)．設(shè)投中最左側(cè)3個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為A，投中最上面3個(gè)小正方形或正中間的1個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為B，求P(AB)、P(A|B)． [解]　根據(jù)圖形(如圖)由幾何概型的概率公式可知P(AB)＝ P(A|B)＝＝. 求互斥事件的條件概率 [探究問(wèn)題] 1．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，有多少個(gè)基本事件？它們之間有什么關(guān)系？隨機(jī)事件出現(xiàn)“大于4的點(diǎn)”包含哪些基本事件？ [提示]　擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，可能出現(xiàn)的基本事件有“1點(diǎn)”“2點(diǎn)”“3點(diǎn)”“4點(diǎn)”“5點(diǎn)”“6點(diǎn)”，共6個(gè)，它們彼此互斥．“大于4的點(diǎn)”包含“5點(diǎn)”“6點(diǎn)”兩個(gè)基本事件． 2．“先后拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子”試驗(yàn)中，已知第一枚出現(xiàn)4點(diǎn)，則第二枚出現(xiàn)“大于4”的事件，包含哪些基本事件？ [提示]　“第一枚4點(diǎn)，第二枚5點(diǎn)”“第一枚4點(diǎn)，第二枚6點(diǎn)”． 3．先后拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子，已知第一枚出現(xiàn)4點(diǎn)，如何利用條件概率的性質(zhì)求第二枚出現(xiàn)“大于4點(diǎn)”的概率？ [提示]　設(shè)第一枚出現(xiàn)4點(diǎn)為事件A，第二枚出現(xiàn)5點(diǎn)為事件B，第二枚出現(xiàn)6點(diǎn)為事件C，則所求事件為B∪C|A. ∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. 　在一個(gè)袋子中裝有10個(gè)球，設(shè)有1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，3個(gè)黑球，4個(gè)白球，從中依次摸2個(gè)球，求在第一個(gè)球是紅球的條件下，第二個(gè)球是黃球或黑球的概率. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032143】 [解]　　法一：(定義法)設(shè)“摸出第一個(gè)球?yàn)榧t球”為事件A，“摸出第二個(gè)球?yàn)辄S球”為事件B，“摸出第三個(gè)球?yàn)楹谇颉睘槭录﨏. 則P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝. 所以P(B|A)＝＝＝， P(C|A)＝＝＝. 所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. 所以所求的條件概率為. 法二：(直接法)因?yàn)閚(A)＝1C＝9，n(B∪C|A)＝C＋C＝5， 所以P(B∪C|A)＝.所以所求的條件概率為. [規(guī)律方法] 1．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使條件概率的計(jì)算較為簡(jiǎn)單，但應(yīng)注意這個(gè)性質(zhì)的使用前提是“B與C互斥”． 2．為了求復(fù)雜事件的概率，往往需要把該事件分為兩個(gè)或多個(gè)互斥事件，求出簡(jiǎn)單事件的概率后，相加即可得到復(fù)雜事件的概率． [跟蹤訓(xùn)練] 4．在某次考試中，要從20道題中隨機(jī)地抽出6道題，若考生至少能答對(duì)其中的4道題即可通過(guò)；若至少能答對(duì)其中5 道題就獲得優(yōu)秀．已知某考生能答對(duì)其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過(guò)，求他獲得優(yōu)秀成績(jī)的概率． [解]　設(shè)事件A為“該考生6道題全答對(duì)”，事件B為“該考生答對(duì)了其中5道題而另一道答錯(cuò)”，事件C為“該考生答對(duì)了其中4道題而另2道題答錯(cuò)”，事件D為“該考生在這次考試中通過(guò)”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”，則A，B，C兩兩互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型的概率公式及加法公式可知 P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝＋＝＋＝，即所求概率為. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，則P(AB)等于(　　) A.　　　B.　　　　C.　　　D. C　[由P(B|A)＝，得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝＝.] 2．4張獎(jiǎng)券中只有1張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由4名同學(xué)無(wú)放回地抽取．若已知第一名同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)券，則最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)券的概率是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032144】 A． B． C． D．1 B　[因?yàn)榈谝幻瑢W(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)券，所以問(wèn)題變?yōu)?張獎(jiǎng)券，1張能中獎(jiǎng)，最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)券的概率，顯然是.] 3．把一枚硬幣投擲兩次，事件A＝{第一次出現(xiàn)正面}，B＝{第二次出現(xiàn)正面}，則P(B|A)＝________. 　[∵P(AB)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝.] 4．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的條件下，他在周六晚上值班的概率為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032145】 [解析]　法一(定義法)設(shè)事件A為“周日值班”，事件B為“周六值班”，則P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝. 法二(直接法)由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班，則還剩下6天，那么周六晚上值班的概率為. [答案]　 5．盒內(nèi)裝有16個(gè)球，其中6個(gè)是玻璃球，10個(gè)是木質(zhì)球．玻璃球中有2個(gè)是紅色的，4個(gè)是藍(lán)色的；木質(zhì)球中有3個(gè)是紅色的，7個(gè)是藍(lán)色的．現(xiàn)從中任取1個(gè)，已知取到的是藍(lán)球，問(wèn)該球是玻璃球的概率是多少？ [解]　法一(定義法)由題意得球的分布如下： 玻璃球 木質(zhì)球 總計(jì) 紅 2 3 5 藍(lán) 4 7 11 總計(jì) 6 10 16 設(shè)A＝{取得藍(lán)球}，B＝{取得玻璃球}， 則P(A)＝，P(AB)＝＝. ∴P(B|A)＝＝＝. 法二(直接法)∵n(A)＝11，n(AB)＝4， ∴P(B|A)＝＝.