（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 專題突破五 高考中的立體幾何問(wèn)題講義（含解析）.docx
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高考專題突破五 高考中的立體幾何問(wèn)題 題型一 求空間幾何體的表面積與體積 例1 (1)一個(gè)正方體挖去一個(gè)多面體所得的幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖和俯視圖均為邊長(zhǎng)等于2的正方形，則這個(gè)幾何體的表面積為( ) A.16＋4 B.16＋4 C.20＋4 D.20＋4 答案 D 解析 由三視圖可知，該幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)部挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2的正四棱錐，將三視圖還原可得如圖， 可得其表面積為S＝522＋42＝20＋4，故選D. (2)(2018浙江省嘉興市第一中學(xué)期中)如圖，已知AB為圓O的直徑，C為圓上一動(dòng)點(diǎn)，PA⊥圓O所在平面，且PA＝AB＝2，過(guò)點(diǎn)A作平面α⊥PB，交PB，PC分別于E，F(xiàn)，當(dāng)三棱錐P－AEF體積最大時(shí)，tan∠BAC＝________. 答案 解析 ∵PB⊥平面AEF，∴AF⊥PB， 又AC⊥BC，AP⊥BC，AC∩AP＝A，AC，AP?平面PAC， ∴BC⊥平面PAC，又∵AF?平面PAC， ∴AF⊥BC，又∵PB∩BC＝B，PB，BC?平面PBC， ∴AF⊥平面PBC，∴∠AFE＝90， 設(shè)∠BAC＝θ，在Rt△PAC中， AF＝＝＝. 在Rt△PAB中，AE＝PE＝，∴EF＝， ∴V三棱錐P－AEF＝AFEFPE＝AF＝ ＝≤， ∴當(dāng)AF＝1時(shí)，三棱錐P－AEF的體積取最大值， 此時(shí)＝1，且0<θ<90， ∴cosθ＝，sinθ＝，tanθ＝. 思維升華(1)等積轉(zhuǎn)換法多用來(lái)求三棱錐的體積. (2)不規(guī)則的幾何體可通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解. 跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2018嘉興模擬)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積(單位：cm2)是( ) A.36＋24 B.36＋12 C.40＋24 D.40＋12 答案 B 解析 由三視圖得該幾何體為一個(gè)組合體，上面是棱長(zhǎng)為2的正方體，下面是下底為邊長(zhǎng)為4的正方形、上底為邊長(zhǎng)為2的正方形的四棱臺(tái)，則其表面積為522＋4＋42＝36＋12，故選B. (2)(2018溫州高考適應(yīng)性測(cè)試)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( ) A.＋π B.＋π C. D. 答案 A 解析 由三視圖可還原出幾何體的直觀圖，該幾何體是由半個(gè)圓柱(底面圓的半徑為1，高為2)和一個(gè)四棱錐(底面為邊長(zhǎng)是2的正方形，高為1)組成的，如圖所示.故該幾何體的體積V＝π122＋221＝＋π.故選A. 題型二 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 例2 如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn). (1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1； (2)求證：C1F∥平面ABE； (3)求三棱錐E－ABC的體積. (1)證明 在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC. 因?yàn)锳B?平面ABC，所以BB1⊥AB. 又因?yàn)锳B⊥BC，BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面B1BCC1. 又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)證明 方法一 如圖1，取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G. 因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)， 所以FG∥AC，且FG＝AC. 因?yàn)锳C∥A1C1，且AC＝A1C1， 所以FG∥EC1，且FG＝EC1， 所以四邊形FGEC1為平行四邊形，所以C1F∥EG. 又因?yàn)镋G?平面ABE，C1F?平面ABE， 所以C1F∥平面ABE. 方法二 如圖2，取AC的中點(diǎn)H，連接C1H，F(xiàn)H. 因?yàn)镠，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以HF∥AB， 又因?yàn)镋，H分別是A1C1，AC的中點(diǎn)， 所以EC1∥AH，且EC1＝AH， 所以四邊形EAHC1為平行四邊形，所以C1H∥AE， 又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A， 所以平面ABE∥平面C1HF， 又C1F?平面C1HF，所以C1F∥平面ABE. (3)解 因?yàn)锳A1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以AB＝＝. 所以三棱錐E－ABC的體積V＝S△ABCAA1＝12＝. 思維升華 (1)平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化 利用線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化解決平行關(guān)系的判定問(wèn)題時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序正好相反.在實(shí)際的解題過(guò)程中，判定定理和性質(zhì)定理一般要相互結(jié)合，靈活運(yùn)用. (2)垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化 在空間垂直關(guān)系中，線面垂直是核心，已知線面垂直，既可為證明線線垂直提供依據(jù)，又可為利用判定定理證明面面垂直作好鋪墊.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，一般需作輔助線，基本作法是過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，從而把面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直問(wèn)題，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題. 跟蹤訓(xùn)練2 如圖，在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求證：EF∥平面PAB； (2)求證：平面PAD⊥平面PDC. 證明 (1)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1). ∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)， ∴E，F(xiàn)，＝，＝(1，0，0). ∵＝－，∴∥，即EF∥AB， 又AB?平面PAB，EF?平面PAB， ∴EF∥平面PAB. (2)由(1)可知，＝(0，0，1)，＝(0，2，0)，＝(1，0，0)， ∵＝(0，0，1)(1，0，0)＝0，＝(0，2，0)(1，0，0)＝0， ∴⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC. 又AP∩AD＝A，AP，AD?平面PAD， ∴DC⊥平面PAD. ∵DC?平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC. 題型三 空間角的計(jì)算 1.(2018浙江高考適應(yīng)性考試)四個(gè)同樣大小的球O1，O2，O3，O4兩兩相切，點(diǎn)M是球O1上的動(dòng)點(diǎn)，則直線O2M與直線O3O4所成角的正弦值的取值范圍為( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由四個(gè)同樣大小的球O1，O2，O3，O4兩兩相切，則可以把O1，O2，O3，O4看成正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，球的半徑為棱長(zhǎng)的一半，記球的半徑為1，則正四面體的棱長(zhǎng)為2.平移直線O3O4至O2C位置，過(guò)O2C，O1O2的平面截球O1得一個(gè)大圓，過(guò)O2作大圓的兩條切線O2E，O2F，由線面垂直易證O1O2⊥O2C， 由圖可知，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至切點(diǎn)E時(shí)，∠MO2C最小，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至切點(diǎn)F時(shí)，∠MO2C最大，設(shè)∠EO2O1＝θ，則∠MO2C∈.在Rt△EO2O1中，sinθ＝，則θ＝，即直線O2M與直線O3O4所成角α∈，則直線O2M與直線O3O4所成角的正弦值的取值范圍為，故選C. 2.(2017浙江)如圖，已知正四面體D－ABC(所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐)，P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，AP＝PB，＝＝2，分別記二面角D－PR－Q，D－PQ－R，D－QR－P的平面角為α，β，γ，則( ) A.γ＜α＜β B.α＜γ＜β C.α＜β＜γ D.β＜γ＜α 答案 B 解析 如圖①，作出點(diǎn)D在底面ABC上的射影O，過(guò)點(diǎn)O分別作PR，PQ，QR的垂線OE，OF，OG，連接DE，DF，DG，則α＝∠DEO，β＝∠DFO，γ＝∠DGO. 由圖可知它們的對(duì)邊都是DO， ∴只需比較EO，F(xiàn)O，GO的大小即可. 如圖②，在AB邊上取點(diǎn)P′，使AP′＝2P′B，連接OQ，OR，則O為△QRP′的中心. 設(shè)點(diǎn)O到△QRP′三邊的距離為a，則OG＝a， OF＝OQsin∠OQF＜OQsin∠OQP′＝a， OE＝ORsin∠ORE＞ORsin∠ORP′＝a， ∴OF＜OG＜OE，∴＜＜， ∴α＜γ＜β.故選B. 3.(2018浙江)如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2. (1)證明：AB1⊥平面A1B1C1； (2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值. 方法一 (1)證明 由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，得AB1＝A1B1＝2， 所以A1B＋AB＝AA，故AB1⊥A1B1. 由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC， 得B1C1＝. 由AB＝BC＝2，∠ABC＝120，得AC＝2. 由CC1⊥AC，得AC1＝， 所以AB＋B1C＝AC，故AB1⊥B1C1. 又因?yàn)锳1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1?平面A1B1C1， 因此AB1⊥平面A1B1C1. (2)解 如圖，過(guò)點(diǎn)C1作C1D⊥A1B1，交直線A1B1于點(diǎn)D，連接AD. 由AB1⊥平面A1B1C1， 得平面A1B1C1⊥平面ABB1. 由C1D⊥A1B1，平面A1B1C1∩平面ABB1＝A1B1，C1D?平面A1B1C1，得C1D⊥平面ABB1. 所以∠C1AD是AC1與平面ABB1所成的角. 由B1C1＝，A1B1＝2，A1C1＝， 得cos∠C1A1B1＝，sin∠C1A1B1＝， 所以C1D＝，故sin∠C1AD＝＝. 因此直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是. 方法二 (1)證明 如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下： A(0，－，0)，B(1，0，0)，A1(0，－，4)，B1(1，0，2)，C1(0，，1). 因此＝(1，，2)，＝(1，，－2)，＝(0，2，－3). 由＝0，得AB1⊥A1B1. 由＝0，得AB1⊥A1C1. 又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1?平面A1B1C1， 所以AB1⊥平面A1B1C1. (2)解 設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為θ. 由(1)可知＝(0，2，1)，＝(1，，0)，＝(0，0，2). 設(shè)平面ABB1的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z). 由得可取n＝(－，1，0). 所以sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝. 因此直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是. 思維升華空間角是高考中的常考內(nèi)容，線線角和二面角多出現(xiàn)在小題中，線面角多出現(xiàn)在解答題中，主要注意幾何法與空間向量法的靈活應(yīng)用. 題型四 立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 1.(2018杭州模擬)等腰直角三角形ABE的斜邊AB為正四面體ABCD的側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，有下列說(shuō)法： ①四面體E—BCD的體積有最大值和最小值； ②存在某個(gè)位置，使得AE⊥BD； ③設(shè)二面角D—AB—E的平面角為θ，則θ≥∠DAE； ④AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N的連線交平面BCD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓. 其中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是( ) A.1B.2C.3D.4 答案 C 解析 四面體E—BCD的底面BCD的面積為定值，且在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)E到底面BCD的距離存在最大值和最小值，所以四面體E—BCD的體積有最大值和最小值，①正確；設(shè)BD的中點(diǎn)為F，則當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)到平面ACF內(nèi)時(shí)，AE⊥BD，②正確；當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到△ABD內(nèi)時(shí)，二面角D—AB—E的大小為0，∠DAE＝，此時(shí)θ≥∠DAE不成立，③錯(cuò)誤；由題意得點(diǎn)P的軌跡為以MN為母線，AB為軸的圓錐面與平面BCD的交線，易得圓錐的母線與圓錐的軸的夾角為，在正四面體ABCD中易得直線 AB與平面BCD所成的角α滿足<α<，所以圓錐面與平面BCD的交線為橢圓，即點(diǎn)P的軌跡為橢圓，④正確.綜上所述，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為3，故選C. 2.(2018浙江高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，已知正四面體D—ABC，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，則二面角D—PC—B的平面角的余弦值的取值范圍是____________. 答案 解析 當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，二面角D—PC—B的平面角逐漸增大，二面角D—PC—B的平面角最小趨近于二面角D—AC—B的平面角，最大趨近于二面角D—BC—A的平面角的補(bǔ)角. 設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，如圖所示，取AC的中點(diǎn)為E.連接DE，BE，易知∠DEB為二面角D—AC—B的平面角，DE＝BE＝，所以cos∠DEB＝ ＝，同理二面角D—BC—A的平面角的補(bǔ)角的余弦值為－，故二面角D—PC—B的平面角的余弦值的取值范圍是. 思維升華 (1)考慮動(dòng)態(tài)問(wèn)題中點(diǎn)線面的變化引起的一些量的變化，建立目標(biāo)函數(shù)，用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題. (2)運(yùn)動(dòng)變化中的軌跡問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是尋求運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的所有情況，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. (3)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中端點(diǎn)的情況影響問(wèn)題的思考，可以利用極限思想考慮運(yùn)動(dòng)變化的極限位置. 1.(2018紹興質(zhì)檢)已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是( ) ①若m∥α且m⊥β，則α⊥β； ②若m⊥β且α⊥β，則m∥α； ③若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥β； ④若m∥n，n∥α，則m∥α. A.1B.2C.3D.4 答案 B 解析 若m∥α，則由線面平行的性質(zhì)定理知，在α內(nèi)有直線l與m平行，又m⊥β，則l⊥β，從而α⊥β，故①正確；若m⊥β且α⊥β，則m?α或m∥α，故②不正確；若m∥n，m⊥α，則n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，故③正確；若m∥n，n∥α，則m∥α或m?α，故④不正確.故正確的個(gè)數(shù)為2. 2.過(guò)正方體ABCD—A′B′C′D′的頂點(diǎn)A作平面α，使得棱AB，CC′，A′D′在平面α上的投影的長(zhǎng)度相等，則這樣的平面α的個(gè)數(shù)為( ) A.6B.4C.3D.1 答案 B 解析 考慮到平行的性質(zhì)，AB，CC′，A′D′可以用同一頂點(diǎn)處的三條棱替代，如AB，AA′，AD，投影的長(zhǎng)度相等等價(jià)于這些線段所在直線與平面α所成的角相等，因此以正方體為依托， 如圖，平面AB′D′(BC′D)，ACD′(A′BC′)，A′BD(B′CD′)，A′C′D(AB′C)均符合題意，所以這樣的平面有4個(gè).故選B. 3.(2018紹興模擬)《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中間的實(shí)線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為( ) A.2 B.2＋4 C.4＋4 D.4＋6 答案 C 解析 由題可得，該幾何體是底面為等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為，高為2的直三棱柱，所以其側(cè)面包括一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形及兩個(gè)長(zhǎng)和寬分別為2和的長(zhǎng)方形，所以其側(cè)面積為S＝22＋22＝4＋4，故選C. 4.(2018臺(tái)州適應(yīng)性考試)如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得平面ACD⊥平面ABC，若點(diǎn)N是BD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段ON最短時(shí)，二面角N—AC—B的余弦值為( ) A.0B.C.D. 答案 C 解析 易知OB＝OD，所以當(dāng)N為BD的中點(diǎn)時(shí)，線段ON最短，因?yàn)锳C⊥OB，AC⊥OD，OB∩OD＝O，OB，OD?平面OBD，所以AC⊥平面BOD，所以O(shè)N⊥AC，又OB⊥AC，所以∠BON即二面角N—AC—B的平面角.因?yàn)槠矫鍭CD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，OD⊥AC，所以O(shè)D⊥平面ABC，所以O(shè)D⊥OB，△BOD為等腰直角三角形，所以∠BON＝45，所以二面角N—AC—B的余弦值為. 5.(2018浙江)已知四棱錐S－ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S－AB－C的平面角為θ3，則( ) A.θ1≤θ2≤θ3 B.θ3≤θ2≤θ1 C.θ1≤θ3≤θ2 D.θ2≤θ3≤θ1 答案 D 解析 如圖，不妨設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為2，E為AB上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，E′為AB的中點(diǎn)，S到底面的距離SO＝1，以EE′，E′O為鄰邊作矩形OO′EE′， 則∠SEO′＝θ1，∠SEO＝θ2，∠SE′O＝θ3. 由題意，得tanθ1＝＝，tanθ2＝＝＝，tanθ3＝1， 此時(shí)tanθ2＜tanθ3＜tanθ1，可得θ2＜θ3＜θ1. 當(dāng)E在AB中點(diǎn)處時(shí)，θ2＝θ3＝θ1.故選D. 6.(2018嘉興調(diào)研)如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點(diǎn)，過(guò)EF的平面與棱BB1，DD1分別交于點(diǎn)G，H.設(shè)BG＝x，x∈[0，1]. ①四邊形EGFH一定是菱形； ②AC∥平面EGFH； ③四邊形EGFH的面積S＝f(x)在區(qū)間[0，1]上具有單調(diào)性； ④四棱錐A—EGFH的體積為定值. 以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( ) A.4B.3C.2D.1 答案 B 解析 由正方體的性質(zhì)易得D1H＝BG＝x，則四邊形A1D1HE、四邊形ABGE、四邊形CBGF、四邊形C1D1HF為四個(gè)全等的直角梯形，則HE＝EG＝GF＝FH，即四邊形EGFH為菱形，①正確；因?yàn)锳C∥EF，EF?平面EGFH，AC?平面EGFH，所以AC∥平面EGFH，②正確；在線段DD1上取DM＝x，則易得△HMG為直角三角形，且HM＝1－2x，則GH＝＝，則菱形EGFH的面積S＝f(x)＝EFGH＝，易得其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在[0，1]上不具有單調(diào)性，③錯(cuò)誤；V四棱錐A—EGFH＝V三棱錐A—EFH＋V三棱錐A—EGF＝V三棱錐F—AEH＋V三棱錐F—AEG＝11＋11＝，為定值，④正確.綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3，故選B. 7.如圖，在正四面體A—BCD中，P，Q，R分別為AB，AC，AD上的點(diǎn)，＝2，＝＝3，記二面角B—PQ—R，C—QR—P，D—PR—Q的平面角分別為α，β，γ，則( ) A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α 答案 C 解析 易知二面角B—PQ—R的平面角的補(bǔ)角就是二面角A—PQ—R的平面角，二面角C—QR—P的平面角的補(bǔ)角就是二面角A—QR—P的平面角，二面角D—PR—Q的平面角的補(bǔ)角就是二面角A—PR—Q的平面角.易得二面角A—PQ—R的平面角>二面角A—QR—P的平面角>二面角A—PR—Q的平面角，即α<β<γ.故選C. 8.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折，給出四個(gè)結(jié)論： ①DF⊥BC； ②BD⊥FC； ③平面DBF⊥平面BFC； ④平面DCF⊥平面BFC. 在翻折過(guò)程中，可能成立的結(jié)論是________.(填寫結(jié)論序號(hào)) 答案?、冖? 解析 因?yàn)锽C∥AD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，則①錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P，當(dāng)BP⊥CF時(shí)就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，可使條件滿足， 所以②正確；當(dāng)點(diǎn)P落在BF上時(shí)，DP?平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF，所以③正確；因?yàn)辄c(diǎn)D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④錯(cuò)誤.故答案為②③. 9.如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ，則cosθ的最大值為______. 答案 解析 以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AQ所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)AB＝1，則＝， E，設(shè)M(0，y，1)(0≤y≤1)， 則＝， ∴cos，＝＝－. 則cosθ＝|cos，|＝＝， 令t＝1－y，則y＝1－t， ∵0≤y≤1，∴0≤t≤1， 那么cosθ＝＝＝， 令x＝，∵0≤t≤1，∴x≥1， 那么cosθ＝， 又∵z＝9x2－8x＋4在[1，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴x＝1時(shí)，zmin＝5， 此時(shí)cosθ的最大值為＝＝. 10.(2009浙江)如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足.設(shè)AK＝t，則t的取值范圍是____________. 答案 解析 如圖，在平面ADF內(nèi)過(guò)D作DH⊥AF，垂足為H，連接HK.過(guò)F點(diǎn)作FP∥BC交AB于點(diǎn)P. 設(shè)∠FAB＝θ，則cosθ∈. 設(shè)DF＝x，則1<2. ∵平面ABD⊥平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，DK⊥AB，DK?ABD，∴DK⊥平面ABC，又AF?平面ABC，∴DK⊥AF. 又∵DH⊥AF，DK∩DH＝D，DK，DH?平面DKH， ∴AF⊥平面DKH，∴AF⊥HK，即AH⊥HK. 在Rt△ADF中，AF＝，∴DH＝. ∵△ADF和△APF都是直角三角形，PF＝AD， ∴Rt△ADF≌Rt△APF，∴AP＝DF＝x. ∵△AHD∽△ADF， ∴cosθ＝＝.∴x＝. ∵1下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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