2018版高中數(shù)學 第2章 數(shù)列 2.1.1 數(shù)列學案 新人教B版必修5.doc
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2.1.1 數(shù) 列 1.理解數(shù)列的概念.(重點) 2.掌握數(shù)列的通項公式及應用.(重點) 3.能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式.(難點、易錯點) [基礎初探] 教材整理1 數(shù)列的定義及分類 閱讀教材P25第一行～P25倒數(shù)第5行，及P26例1上面倒數(shù)第一、二自然段，完成下列問題. 1.數(shù)列的概念及一般形式 2.數(shù)列的分類 類別 含義 按項的個數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù)有限的數(shù)列 無窮數(shù)列 項數(shù)無限的數(shù)列 按項的變化趨勢 遞增數(shù)列 從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列 遞減數(shù)列 從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列 常數(shù)列 各項相等的數(shù)列 擺動數(shù)列 從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)1,7,0,11，－3，…，－1 000不構成數(shù)列.( ) (2){an}與an是一樣的，都表示數(shù)列.( ) (3)數(shù)列1,0,1,0,1,0，…是常數(shù)列.( ) (4)數(shù)列1,2,3,4和數(shù)列1,2,4,3是同一個數(shù)列.( ) 【解析】 (1).因為只要按一定次序排成的一列數(shù)就是一個數(shù)列，所以1,7,0,11，－3，…，－1 000是一個數(shù)列. (2).因為{an}代表一個數(shù)列，而an只是這個數(shù)列中的第n項，故{an}與an是不一樣的. (3).因為各項相等的數(shù)列為常數(shù)列，而1,0,1,0,1,0，…為擺動數(shù)列，而非常數(shù)列. (4).兩個數(shù)列只有項完全相同，且排列的次序也完全相同才稱為同一個數(shù)列，數(shù)列1,2,3,4與1,2,4,3雖然所含項相同，但各項排列次序不同，故不是同一個數(shù)列. 【答案】 (1) (2) (3) (4) 教材整理2 數(shù)列與函數(shù)的關系 閱讀教材P25倒數(shù)第5行～P26倒數(shù)第4自然段，完成下列問題. 1.數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關系可以用一個函數(shù)式an＝f(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式. 2.數(shù)列與函數(shù)的關系 從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關系如下表： 定義域 正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n}) 解析式 數(shù)列的通項公式 值域 自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值構成 表示方法 (1)通項公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖象法 1.下列四個數(shù)中，哪個是數(shù)列{n(n＋1)}中的一項( ) A.380 B.392 C.321 D.232 【解析】 因為1920＝380， 所以380是數(shù)列{n(n＋1)}中的第19項.應選A. 【答案】 A 2.數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通項公式是an＝( ) A.(10n－1) B. C.(10n－1) D.(10n－1) 【解析】 1－＝0.9,1－＝0.99，…，故原數(shù)列的通項公式為an＝.應選B. 【答案】 B 3.觀察下列數(shù)列的特點，用適當?shù)囊粋€數(shù)填空：1, ， ， ，________，，…. 【解析】 據(jù)規(guī)律填寫可知通項為an＝，∴a5＝3. 【答案】 3 4.數(shù)列{an}滿足an＝log2(n2＋3)－2，則log23是這個數(shù)列的第________項. 【解析】 令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3. 【答案】 3 [小組合作型] 數(shù)列的概念及分類 已知下列數(shù)列： ①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1,0，－1，…，sin，…； ⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________，常數(shù)列是________，擺動數(shù)列是________.(填序號) 【精彩點撥】 緊扣有窮數(shù)列，無窮數(shù)列，遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)列及擺動數(shù)列的定義求解. 【自主解答】 ①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列；②為無窮、遞減數(shù)列；③為無窮、擺動數(shù)列；④是擺動數(shù)列，是無窮數(shù)列，也是周期為4的周期數(shù)列；⑤為遞增數(shù)列，也是無窮數(shù)列；⑥為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列. 【答案】?、佗蕖、冖邰堍荨、佗荨、凇、蕖、邰? 1.與集合中元素的性質相比較，數(shù)列中的項的性質具有以下特點： ①確定性：一個數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項是確定的，集合中的元素也具有確定性； ②可重復性：數(shù)列中的數(shù)可以重復，而集合中的元素不能重復出現(xiàn)(即互異性)； ③有序性：一個數(shù)列不僅與構成數(shù)列的“數(shù)”有關，而且與這些數(shù)的排列順序有關，而集合中的元素沒有順序(即無序性)； ④數(shù)列中的每一項都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物. 2.判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時要緊扣概念及數(shù)列的特點.對于遞增、遞減、擺動還是常數(shù)列要從項的變化趨勢來分析；而有窮還是無窮數(shù)列則看項的個數(shù)有限還是無限. [再練一題] 1.給出下列數(shù)列： (1)2006～2013年某市普通高中生人數(shù)(單位：萬人)構成數(shù)列82,93,105,119,129,130,132,135. (2)無窮多個構成數(shù)列， ， ， ，…. (3)－2的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…構成數(shù)列－2,4，－8,16，－32，…. 其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，常數(shù)列是________，擺動數(shù)列是________. 【解析】 (1)為有窮數(shù)列；(2)(3)是無窮數(shù)列，同時(1)也是遞增數(shù)列；(2)為常數(shù)列；(3)為擺動數(shù)列. 【答案】 (1) (2)(3) (1) (2) (3) 由數(shù)列的前幾項求通項公式 寫出下列數(shù)列的一個通項公式： (1)，2，，8，，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)，，，，…； (4)－，，－，，…. 【精彩點撥】 先觀察各項的特點，注意前后項間的關系，分子與分母的關系，項與序號的關系，每一項符號的變化規(guī)律，然后歸納出通項公式. 【自主解答】 (1)數(shù)列的項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察：，，，，，…，所以，它的一個通項公式為an＝(n∈N＋). (2)各項加1后，變?yōu)?0,100,1 000,10 000，…此數(shù)列的通項公式為10n，可得原數(shù)列的通項公式為an＝10n－1(n∈N＋). (3)數(shù)列中每一項由三部分組成，分母是從1開始的奇數(shù)列，可用2n－1表示；分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是減去一個自然數(shù)，可用n表示，綜上，原數(shù)列的通項公式為an＝(n∈N＋). (4)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式是an＝(－1)n(n∈N＋). 1.據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相鄰項的變化特征； ③拆項后的特征； ④各項符號特征等，并對此進行歸納、聯(lián)想. 2.觀察、分析問題的特點是最重要的，觀察要有目的，觀察出項與序號之間的關系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉換而使問題得到解決，對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調整. [再練一題] 2.寫出下列數(shù)列的一個通項公式： 【導學號：18082015】 (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)1，2，3，4，…； (4)1,11,111,1 111，…. 【解】 (1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一個通項公式是an＝n2－1(n∈N＋). (2)數(shù)列各項的絕對值為1,3,5,7,9，…，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋). (3)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4，…恰好是序號n，分數(shù)部分與序號n的關系為，故所求的數(shù)列的一個通項公式為an＝n＋＝(n∈N＋). (4)原數(shù)列的各項可變?yōu)?，99，999，9 999，…，易知數(shù)列9,99,999,9 999，…的一個通項公式為an＝10n－1.所以原數(shù)列的一個通項公式為an＝(10n－1)(n∈N＋). [探究共研型] 數(shù)列的通項公式的意義 探究1 數(shù)列，，，，，…的通項公式是什么？該數(shù)列的第7項是什么？是否為該數(shù)列中的一項？為什么？ 【提示】 由數(shù)列各項的特點可歸納出其通項公式為an＝，當n＝7時，a7＝＝，若為該數(shù)列中的一項，則＝，解得n＝8，所以是該數(shù)列中的第8項. 探究2 已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝－n2＋2n＋1，該數(shù)列的圖象有何特點？ 試利用圖象說明該數(shù)列的單調性及所有的正數(shù)項. 【提示】 由數(shù)列與函數(shù)的關系可知，數(shù)列{an}的圖象是分布在二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋1圖象上的離散的點，如圖所示，從圖象上可以看出該數(shù)列是一個遞減數(shù)列，且前兩項為正數(shù)項，從第3項往后各項為負數(shù)項. 已知數(shù)列. (1)求這個數(shù)列的第10項； (2)是不是該數(shù)列中的項，為什么？ (3)求證：數(shù)列中的各項都在區(qū)間(0,1)內. 【精彩點撥】 (1)將n＝10代入數(shù)列的通項公式即可.(2)由＝求得n(n∈N＋)是否有正整數(shù)解即可.(3)求函數(shù)an＝的值域即可. 【自主解答】 設f(n)＝ ＝＝. (1)令n＝10，得第10項a10＝f(10)＝. (2)令＝，得9n＝300. 此方程無正整數(shù)解，所以不是該數(shù)列中的項. (3)證明：∵an＝＝＝1－， 又n∈N＋， ∴0<<1，∴0
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