2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 參數(shù)方程 一 第三課時(shí) 參數(shù)方程和普通方程的互化優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修4-4.doc

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一 第三課時(shí) 參數(shù)方程和普通方程的互化 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．參數(shù)方程為(0≤t≤5)的曲線為(　　) A．線段　　　　　　　　 B．雙曲線的一支 C．圓弧 D．射線 解析：化為普通方程為x＝3(y＋1)＋2， 即x－3y－5＝0， 由于x＝3t2＋2∈[2,77]， 故曲線為線段．故選A. 答案：A 2．參數(shù)方程(θ為參數(shù))表示的曲線是(　　) A．直線　　 B．圓　　　 C．線段　　 D．射線 解析：x＝cos2θ∈[0,1]， y＝sin2θ∈[0,1]，∴x＋y＝1，(x∈[0,1])為線段． 答案：C 3．直線y＝2x＋1的參數(shù)方程是(　　) A. B. C. D. 解析：由y＝2x＋1知x，y可取全體實(shí)數(shù)，故排除A、D，在B、C中消去參數(shù)t，知C正確． 答案：C 4．下列各組方程中，表示同一曲線的是(　　) A.與xy＝1 B.(θ為參數(shù))與(θ為參數(shù)) C.(θ為參數(shù)且a≠0)與y＝x D.(a＞0，b＞0，θ為參數(shù)且0≤θ＜π)與＋＝1 解析：A中前者x＞0，y＞0，后者x，y∈R，xy≠0；C中前者x∈[－|a|，|a|]，y∈[－|b|，|b|]，后者無此要求；D中若0≤θ＜2π，則二者相同． 答案：B 5．參數(shù)方程(t為參數(shù)且t∈R)代表的曲線是(　　) A．直線 B．射線 C．橢圓 D．雙曲線 解析：∵x＝2t＋21－t＝2－t(22t＋2)，y＝2t－1＋2－t＝2－t(22t－1＋1)＝2－t(22t＋2)，∴y＝x，且 x≥2，y≥，故方程表示的是一條射線． 答案：B 6．方程(t是參數(shù))的普通方程是________，與x軸交點(diǎn)的直角坐標(biāo)是________． 解析：由y＝t2－1，得t2＝y(tǒng)＋1， 代入x＝3t2＋2，可得x－3y－5＝0， 又x＝3t2＋2，所以x≥2， 當(dāng)y＝0時(shí)，t2＝1，x＝3t2＋2＝5， 所以與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是(5,0)． 答案：x－3y－5＝0(x≥2)　(5,0) 7．設(shè)y＝tx(t為參數(shù))，則圓x2＋y2－4y＝0的參數(shù)方程是________． 解析：把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0， 得x＝，y＝， 所以參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 答案：(t為參數(shù)) 8．將參數(shù)方程(θ為參數(shù))，轉(zhuǎn)化為普通方程是________________，該曲線上的點(diǎn)與定點(diǎn)A(－1，－1)的距離的最小值為________． 解析：易得直角坐標(biāo)方程是(x－1)2＋y2＝1，所求距離的最小值應(yīng)為圓心到點(diǎn)A的距離減去半徑，易求得為－1. 答案：(x－1)2＋y2＝1?。? 9．化普通方程x2＋y2－2x＝0為參數(shù)方程． 解析：曲線過(0,0)點(diǎn)，可選擇(0,0)為定點(diǎn)，可設(shè)過這個(gè)定點(diǎn)的直線為y＝kx，選擇直線的斜率k為參數(shù)，不同的k值，對(duì)應(yīng)著不同的點(diǎn)(異于原點(diǎn))， 所以 故(1＋k2)x2－2x＝0，得x＝0或x＝. 將x＝代入y＝kx中，得y＝. 所以(k為參數(shù))是原曲線的參數(shù)方程． 10．參數(shù)方程(θ為參數(shù))表示什么曲線？ 解析：顯然＝tan θ，則＋1＝，cos2θ＝， x＝cos2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋cos2θ＝＋cos2θ，即x＝＋， x＝＋1，得x＋＝，即x2＋y2－x－y＝0.該參數(shù)方程表示圓． [B組　能力提升] 1．參數(shù)方程(t為參數(shù))表示的圖形為(　　) A．直線 B．圓 C．線段(但不包括右端點(diǎn)) D．橢圓 解析：從x＝中解得t2＝，代入y＝中，整理得到2x＋y－5＝0.但由t2＝≥0解得0≤x<3.所以化為普通方程為2x＋y－5＝0(0≤x<3)，表示一條線段，但不包括右端點(diǎn)． 答案：C 2．參數(shù)方程(t為參數(shù))表示的曲線(　　) A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于y軸對(duì)稱 C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱 解析：方程? ? 它表示以點(diǎn)和點(diǎn)為端點(diǎn)的線段，故關(guān)于x軸對(duì)稱． 答案：A 3．已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0≤θ＜π)和(t∈R)，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為________． 解析：將兩曲線的參數(shù)方程化為一般方程分別為＋y2＝1(0≤y≤1，－＜x≤ )和y2＝x，聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為. 答案： 4．若直線l1：(t為參數(shù))與直線l2：(s為參數(shù))垂直，則k＝________. 解析：直線l1化為普通方程是y－2＝－(x－1)，該直線的斜率為－. 直線l2化為普通方程是y＝－2x＋1，該直線的斜率為－2， 則由兩直線垂直的充要條件，得(－2)＝－1，即k＝－1. 答案：－1 5．已知方程y2－6ysin θ－2x－9cos2 θ＋8cos θ＋9＝0(0≤θ＜2π)． (1)試證：不論θ如何變化，方程都表示頂點(diǎn)在同一橢圓上的拋物線； (2)θ為何值時(shí)，該拋物線在直線x＝14上截得的弦最長，并求出此弦長． 解析：(1)證明：方程y2－6ysin θ－2x－9cos2θ＋8cos θ＋9＝0可配方為(y－3sin θ)2＝2(x－4cos θ)， ∴圖象為拋物線． 設(shè)其頂點(diǎn)為(x，y)，則有 消去θ，得頂點(diǎn)軌跡是橢圓＋＝1. ∴不論θ如何變化，方程都表示頂點(diǎn)在同一橢圓＋＝1上的拋物線． (2)聯(lián)立 消去x，得y2－6ysin θ＋9sin2θ＋8cos θ－28＝0， 弦長|AB|＝|y1－y2|＝4 ， 當(dāng)cos θ＝－1即θ＝π時(shí)，弦長最長為12. 6.水庫排放的水流從溢流壩下泄時(shí)，通常采用挑流的方法減弱水流的沖擊作用，以保護(hù)水壩的壩基．如圖是運(yùn)用鼻壩進(jìn)行挑流的示意圖．已知水庫的水位與鼻壩的落差為9 m，鼻壩的鼻坎角為30，鼻壩下游的基底比鼻壩低18 m．求挑出水流的軌跡方程，并計(jì)算挑出的水流與壩基的水平距離． 解析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系． 設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)為P(x，y)． 由機(jī)械能守恒定律，得mv2＝mgh. 鼻壩出口處的水流速度為v＝＝. 取時(shí)間t為參數(shù)，則有x＝vtcos 30＝t， y＝vtsin 30－gt2＝t－gt2， 所以，挑出水流的軌跡的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))， 消去參數(shù)t，得y＝－x2＋x. 取y＝－18，得－x2＋x＝－18， 解得x＝＝18或x＝＝－9(舍去)． 挑出的水流與壩基的水平距離為 x＝18≈31.2(m)． 挑出水流的軌跡方程為 y＝－x2＋x，x∈[0,18 ]．