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第一課 解三角形
[核心速填]
1．正弦定理
(1)公式表達：＝＝＝2R.
(2)公式變形：
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
④＝＝＝＝2R.
2．余弦定理
(1)公式表達：
a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.
(2)推論：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
3．三角形中常用的面積公式
(1)S＝ah(h表示邊a上的高)；
(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形的內切圓半徑)．
[體系構建]
[題型探究]
利用正、余弦定理解三角形
在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)證明：A＝2B；
(2)若△ABC的面積S＝，求角A的大小.
【導學號：91432090】
[解] (1)證明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0
8，應舍去，所以x＝4－3≈3.9，即這條公路的長約為3.9 km.
(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝sin∠ADB＝＝0.8，所以cos∠CBD＝0.6.在△CBD中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝sin(∠CBD＋75)＝0.80.26＋0.60.97＝0.79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC≈3.9.故景點C與景點D之間的距離約為3.9 km.
[規(guī)律方法] 正弦定理、余弦定理在實際生活中有著非常廣泛的應用.常用的有測量距離問題，測量高度問題，測量角度問題等.解決的基本思路是畫出正確的示意圖，把已知量和未知量標在示意圖中(目的是發(fā)現已知量與未知量之間的關系)，最后確定用哪個定理轉化，用哪個定理求解，并進行作答，解題時還要注意近似計算的要求.
[跟蹤訓練]
3．如圖13，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上點A處有一個水聲監(jiān)測點，另兩個監(jiān)測點B，C分別在A的正東方20 km和54 km處．某時刻，監(jiān)測點B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波信號，8 s后監(jiān)測點A,20 s后監(jiān)測點C相繼收到這一信號，在當時氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s.
圖13
(1)設A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；
(2)求靜止目標P到海防警戒線a的距離(精確到0.01 km).
【導學號：91432092】
[解] (1)由題意得PA－PB＝1.58＝12(km)，
PC－PB＝1.520＝30(km)．
∴PB＝x－12，PC＝18＋x.
在△PAB中，AB＝20 km，
cos∠PAB＝＝＝.
同理cos∠PAC＝.
∵cos∠PAB＝cos∠PAC，
∴＝，解得x＝.
(2)作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x＝≈17.71(km)．
所以靜止目標P到海防警戒線a的距離為17.71 km.
與三角形有關的綜合問題
[探究問題]
1．如圖14所示，向量與的夾角是∠B嗎？在△ABC中，兩向量的數量積與余弦定理有怎樣的聯系？
圖14
提示：向量與的夾角是∠B的補角，大小為180－∠B，
由于＝||||cos A＝bccos A.
所以＝bccos A＝(b2＋c2－a2)，有時直接利用此結論解決與向量數量積有關的解三角形問題．
2．在解三角形的過程中，求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，兩種方法有什么利弊呢？
提示：用余弦定理可以根據角的余弦值的符號直接判斷是銳角還是鈍角，但計算比較復雜．用正弦定理計算相對比較簡單，但仍要結合已知條件中邊的大小來確定角的大小，所以一般選擇用正弦定理去計算比較小的邊所對的角，避免討論．
在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a>c，已知＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值.
【導學號：91432093】
思路探究：(1)由平面向量的數量積定義及余弦定理，列出關于a，c的方程組即可求解．
(2)由(1)結合正弦定理分別求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解．
[解] (1)由＝2得cacos B＝2.
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋26＝13.
解得或
因為a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝＝＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝＝.
因為a＝b＞c，所以C為銳角，
因此cos C＝＝＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
＝＋＝.
母題探究：1.(變條件，變結論)將本例中的條件“a>c，＝2，cos B＝，b＝3”變?yōu)椤耙阎猄△ABC＝30且cos A＝”求的值．
[解] 在△ABC中，cos A＝，
∴A為銳角且sin A＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝bc＝30.
∴bc＝156.
∴＝||||cos A
＝bccos A＝156＝144.
2．(變條件，變結論)在“母題探究1”中再加上條件“c－b＝1”能否求a的值？
[解] 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc(1－cos A)＝1＋2156＝25，∴a＝＝5.
[規(guī)律方法] 正、余弦定理將三角形中的邊和角關系進行了量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據，而三角形中的問題常與向量、函數、方程及平面幾何相結合，通常可以利用正、余弦定理完成證明、求值等問題.
(1)解三角形與向量的交匯問題，可以結合向量的平行、垂直、夾角、模等知識轉化求解.
(2)解三角形與其他知識的交匯問題，可以運用三角形的基礎知識、正余弦定理、三角形面積公式與三角恒等變換，通過等價轉化或構造方程及函數求解.
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