2018年秋高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 階段復習課 第2課 隨機變量及其分布學案 新人教A版選修2-3.doc
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第二課 隨機變量及其分布 [核心速填] (建議用時5分鐘) 1．離散型隨機變量 如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列出，則稱X為離散型隨機變量． 2．條件概率的性質 (1)非負性：0≤P(B|A)≤1. (2)可加性：如果是兩個互斥事件， 則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 3．相互獨立事件的性質 (1)推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． (2)對于互斥事件A與B有下面的關系：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 4．二項分布滿足的條件 (1)每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的． (2)各次試驗中的事件是相互獨立的． (3)每次試驗只有兩種結果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生． (4)隨機變量是這n次獨立重復試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)． 5．超幾何分布與二項分布的概率計算 (1)超幾何分布：P(X＝k)＝(其中k為非負整數(shù))． (2)二項分布：P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． 6．期望與方差及性質 (1)E(X)＝X1P1＋X2P2＋…＋XnPn. (2)D(X)＝(X1－E(X))2P1＋(X2－E(X))2P2＋…＋(xn－E(X))2Pn. (3)若η＝aξ＋b(a，b是常數(shù))，ξ是隨機變量，則η也是隨機變量，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b. (4)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)． (5)D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2. 7．正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內取值的概率 (1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈68.27%. (2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈95.45%. (3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈99.73%. [體系構建] [題型探究] 條件概率 條件概率是學習相互獨立事件的前提和基礎，計算條件概率時，必須搞清欲求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率． 求條件概率的主要方法有： (1)利用條件概率公式P(B|A)＝； (2)針對古典概型，可通過縮減基本事件總數(shù)求解． 在5道題中有3道理科題和2道文科題．如果不放回地依次抽取2道題，求： (1)第1次抽到理科題的概率； (2)第1次和第2次都抽到理科題的概率； (3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率. 【導學號：95032213】 [解] 設“第1次抽到理科題”為事件A，“第2次抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理科題”為事件AB. (1)從5道題中不放回地依次抽取2道題的事件數(shù)為 n(Ω)＝A＝20. 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，n(A)＝AA＝12. 于是P(A)＝＝＝. (2)因為n(AB)＝A＝6， 所以P(AB)＝＝＝. (3)法一(定義法)：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率 P(B|A)＝＝＝. 法二(直接法)：因為n(AB)＝6，n(A)＝12， 所以P(B|A)＝＝＝. [規(guī)律方法] 條件概率的兩個求解策略 (1)定義法：計算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝求解． (2)縮小樣本空間法(直接法)：利用P(B|A)＝求解．其中(2)常用于古典概型的概率計算問題． [跟蹤訓練] 1．拋擲5枚硬幣，在已知至少出現(xiàn)了2枚正面朝上的情況下，問：正面朝上數(shù)恰好是3枚的條件概率是多少？ [解] 法一(直接法)：記至少出現(xiàn)2枚正面朝上為事件A，恰好出現(xiàn)3枚正面朝上為事件B，所求概率為P(B|A)，事件A包含的基本事件的個數(shù)為n(A)＝C＋C＋C＋C＝26， 事件B包含的基本事件的個數(shù)為n(B)＝C＝10，P(B|A)＝＝＝＝. 法二(定義法)：事件A，B同上，則 P(A)＝＝， P(AB)＝P(B)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝. 相互獨立事件的概率與二項分布 求相互獨立事件一般與互斥事件、對立事件結合在一起進行考查，解答此類問題時應分清事件間的內部聯(lián)系，在此基礎上用基本事件之間的交、并、補運算表示出有關事件，并運用相應公式求解． 特別注意以下兩公式的使用前提： (1)若A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立． (2)若A，B相互獨立，則P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立． 一個暗箱里放著6個黑球、4個白球． (1)依次取出3個球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率． (2)有放回地依次取出3個球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率． (3)有放回地依次取出3個球，求取到白球個數(shù)ξ的分布列和期望. 【導學號：95032214】 [解] 設事件A為“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B為“第2次取到白球”，C為“第3次取到白球”， (1)P(A)＝＝. (2)因為每次取出之前暗箱的情況沒有變化，所以每次取球互不影響， 所以P()＝＝. (3)設事件D為“取一次球，取到白球”，則P(D)＝，P()＝，這3次取出球互不影響， 則ξ～B， 所以P(ξ＝k)＝C(k＝0,1,2,3)．E(ξ)＝3＝. 提醒：有放回地依次取出3個球，相當于獨立重復事件，即ξ～B，則可根據(jù)獨立重復事件的定義求解． [規(guī)律方法] 求相互獨立事件同時發(fā)生的概率需注意的三個問題 (1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨立的充要條件，也是解答相互獨立事件概率問題的唯一工具． (2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題，務必分清事件間的相互關系． (3)公式“P(A＋B)＝1－P()”常應用于求相互獨立事件至少有一個發(fā)生的概率． [跟蹤訓練] 2．紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A，B，C進行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設各盤比賽結果相互獨立． (1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率； (2)用ξ表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求P(ξ≤1)． [解] (1)設“甲勝A”為事件D，“乙勝B”為事件E，“丙勝C”為事件F，則，，分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件．因為P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由對立事件的概率公式，知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5. 紅隊至少兩人獲勝的事件有DE，DF，EF，DEF. 由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝ 0.60.50.5＋0.60.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5＝0.55. (2)由題意，知ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝P()＝0.40.50.5＝0.1， P(ξ＝1)＝P(F)＋P(E)＋P(D)＝0.40.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5＝0.35， 所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.45. 離散型隨機變量的分布列、均值和方差 1.含義：均值和方差分別反映了隨機變量取值的平均水平及其穩(wěn)定性． 2．應用范圍：均值和方差在實際優(yōu)化問題中應用非常廣泛，如同等資本下比較收益的高低、相同條件下比較質量的優(yōu)劣、性能的好壞等． 3．求解思路：應用時，先要將實際問題數(shù)學化，然后求出隨機變量的概率分布列．對于一般類型的隨機變量，應先求其分布列，再代入公式計算，此時解題的關鍵是概率的計算．計算概率時要結合事件的特點，靈活地結合排列組合、古典概型、獨立重復試驗概率、互斥事件和相互獨立事件的概率等知識求解．若離散型隨機變量服從特殊分布(如兩點分布、二項分布等)，則可直接代入公式計算其數(shù)學期望與方差． 一次同時投擲兩枚相同的正方體骰子(骰子質地均勻，且各面分別刻有1,2,2,3,3,3六個數(shù)字) (1)設隨機變量η表示一次擲得的點數(shù)和，求η的分布列． (2)若連續(xù)投擲10次，設隨機變量ξ表示一次擲得的點數(shù)和大于5的次數(shù)，求E(ξ)，D(ξ)． [解] (1)由已知，隨機變量η的取值為：2,3,4,5,6.設擲一次正方體骰子所得點數(shù)為η0，則η0的分布列為： P(η0＝1)＝，P(η0＝2)＝， P(η0＝3)＝， 所以η的分布列為： P(η＝2)＝＝， P(η＝3)＝2＝， P(η＝4)＝2＋＝， P(η＝5)＝2＝. P(η＝6)＝＝. (2)由已知，滿足條件的一次投擲的點數(shù)和取值為6，設其發(fā)生的概率為p，由(1)知，p＝， 因為隨機變量ξ～B， 所以E(ξ)＝np＝10＝， D(ξ)＝np(1－p)＝10＝. [規(guī)律方法] 求離散型隨機變量的期望與方差的步驟 [跟蹤訓練] 3．為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名．從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽． (1)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率； (2)設X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望． [解] (1)由已知，有P(A)＝＝. 所以，事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4. P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)． 所以，隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P 隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝1＋2＋3＋4＝. 正態(tài)分布的概率 對于正態(tài)分布問題，課標要求不是很高，只要求了解正態(tài)分布中最基礎的知識，主要是：(1)掌握正態(tài)分布曲線函數(shù)關系式；(2)理解正態(tài)分布曲線的性質；(3)記住正態(tài)分布在三個區(qū)間內取值的概率，運用對稱性結合圖象求相應的概率． 正態(tài)分布下兩類常見的概率計算 (1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，曲線與x軸之間的面積為1. (2)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ、σ進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個． 設X～N(10,1)． (1)證明：P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)． (2)設P(X≤2)＝a，求P(10＜X＜18). 【導學號：95032215】 [解] (1)證明：因為X～N(10,1)，所以，正態(tài)曲線φμ，σ(x)關于直線x＝10對稱，而區(qū)間(1,2)和(18,19)關于直線x＝10對稱， 所以φμ，σ(x)dx＝φμ，σ(x)dx 即P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)． (2)因為P(X≤2)＋P(2＜X≤10)＋P(10＜X＜18)＋P(X≥18)＝1， P(X≤2)＝P(X≥18)＝a， P(2＜X≤10)＝P(10＜X＜18)， 所以，2a＋2P(10＜X＜18)＝1， 即P(10＜X＜18)＝＝－a. 母題探究：(改變結論)在題設條件不變的情況下，求P(8＜X＜12)． [解] 由X～N(10,1)可知，μ＝10，σ2＝1， 又P(8＜X＜12)＝P(10－2＜X＜10＋2)＝0.954 5. [規(guī)律方法] 正態(tài)分布的概率求法 (1)注意“3σ”原則，記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內取值的概率． (2)注意數(shù)形結合．由于正態(tài)分布密度曲線具有完美的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結合的重要思想，因此運用對稱性結合圖象解決某一區(qū)間內的概率問題成為熱點問題． [跟蹤訓練] 4．為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1 000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重情況，抽查結果表明他們的體重X(kg)服從正態(tài)分布N(μ，22)，且正態(tài)分布密度曲線如圖22所示．若體重大于58.5 kg小于等于62.5 kg屬于正常情況，則這1 000名男生中屬于正常情況的人數(shù)是( ) 圖22 A．997 B．954 C．819 D．683 D [由題意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5
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