2018年秋高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念 1.2 函數(shù)及其表示 1.2.1 函數(shù)的概念學案 新人教A版必修1.doc
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1.2.1 函數(shù)的概念 學習目標：1.進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型．能用集合與對應的語言刻畫出函數(shù)，體會對應關系在刻畫數(shù)學概念中的作用．(重點、難點)2.了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域．(重點)3.能夠正確使用區(qū)間表示數(shù)集．(易混點) [自 主 預 習探 新 知] 1．函數(shù)的概念 定義 設A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么對稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù) 三要素 對應關系 y＝f(x)，x∈A 定義域 自變量x的取值范圍 值域 與x的值相對應的y的值的集合{f(x)|x∈A} 思考1：(1)有人認為“y＝f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”，這種看法對嗎？ (2)f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系？ [提示] (1)這種看法不對． 符號y＝f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學表示，應理解為x是自變量，它是關系所施加的對象；f是對應關系，它可以是一個或幾個解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數(shù)，當x允許取某一具體值時，相應的y值為與該自變量值對應的函數(shù)值．y＝f(x)僅僅是函數(shù)符號，不表示“y等于f與x的乘積”．在研究函數(shù)時，除用符號f(x)外，還常用g(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等來表示函數(shù)． (2)f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當x＝a時，函數(shù)f(x)的值，是一個常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個變量，f(a)是f(x)的一個特殊值，如一次函數(shù)f(x)＝3x＋4，當x＝8時，f(8)＝38＋4＝28是一個常數(shù)． 2．區(qū)間及有關概念 (1)一般區(qū)間的表示 設a，b∈R，且a0得x>－1. 所以函數(shù)的定義域為(－1，＋∞)．] 3．若f(x)＝，則f(3)＝________. 【導學號：37102085】 － [f(3)＝＝－.] 4．集合{x|x≤－2}用區(qū)間可表示為________． (－∞，－2] [{x|x≤－2}表示小于等于－2的數(shù)組成的集合，即用區(qū)間表示為(－∞，－2]．] [合 作 探 究攻 重 難] 函數(shù)的概念 (1)判斷下列對應是不是從集合A到集合B的函數(shù)． ①A＝N，B＝N*，對應法則f：對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應； ②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，對應法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； ③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，對應法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； ④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，對應法則f：對A中元素求面積與B中元素對應． (2)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是( ) ①f(x)＝與g(x)＝x； ②f(x)＝x與g(x)＝； ③f(x)＝x0與g(x)＝； ④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1. A．①② B．①③ C．③④ D．①④ [解] (1)①對于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒有元素與之對應，所以不是函數(shù)． ②對于A中的元素1，在f的作用下與B中的1對應，A中的元素2，在f的作用下與B中的4對應，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對應，是“多對一”的對應，故是函數(shù)． ③對于A中的任一元素，在對應關系f的作用下，B中都有唯一的元素與之對應，如1對應1，2對應4，所以是函數(shù)． ④集合A不是數(shù)集，故不是函數(shù)． (2)C [①f(x)＝＝|x|與y＝x的對應法則和值域不同，故不是同一函數(shù)． ②g(x)＝＝|x|與f(x)＝x的對應法則和值域不同，故不是同一函數(shù)． ③f(x)＝x0與g(x)＝都可化為y＝1且定義域是{x|x≠0}，故是同一函數(shù)． ④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1的定義域都是R，對應法則也相同，而與用什么字母表示無關，故是同一函數(shù)． 由上可知是同一函數(shù)的是③④. 故選C.] [規(guī)律方法] 判斷對應關系是否為函數(shù)的2個條件 (1)A，B必須是非空數(shù)集. (2)A中任意一元素在B中有且只有一個元素與之對應.,對應關系是“一對一”或“多對一”的是函數(shù)關系，“一對多”的不是函數(shù)關系 [跟蹤訓練] 1．下列四個圖象中，不是函數(shù)圖象的是( ) 【導學號：37102086】 A B C D B [根據(jù)函數(shù)的定義知：y是x的函數(shù)中，x確定一個值，y就隨之確定一個值，體現(xiàn)在圖象上，圖象與平行于y軸的直線最多只能有一個交點，對照選項，可知只有B不符合此條件．故選B.] 求函數(shù)值 設f(x)＝2x2＋2，g(x)＝， (1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))． (2)求g(f(x))． 思路探究：(1)直接把變量的取值代入相應函數(shù)解析式，求值即可； (2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))． [解] (1)因為f(x)＝2x2＋2， 所以f(2)＝222＋2＝10， f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因為g(x)＝， 所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)． g(f(2))＝g(10)＝＝. (2)g(f(x))＝＝＝. [規(guī)律方法] 函數(shù)求值的方法 (1)已知f(x)的表達式時，只需用a替換表達式中的x即得f(a)的值. (2)求f(g(a))的值應遵循由里往外的原則. [跟蹤訓練] 2．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值. 【導學號：37102087】 [解] f(1)＝13＋21＋3＝6； f(t)＝t3＋2t＋3； f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a； f(f(－1))＝f((－1)3＋2(－1)＋3)＝f(0)＝3. 求函數(shù)的定義域 [探究問題] 1．已知函數(shù)的解析式，求其定義域時，能否可以對其先化簡再求定義域？ 提示：不可以．如f(x)＝.倘若先化簡，則f(x)＝，從而定義域與原函數(shù)不等價． 2．若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0，＋∞)，那么函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是什么？ 提示：函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0，＋∞)，所以令x＋1≥0，解得x≥－1，所以函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是[－1，＋∞)． 3．若函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是[1,2]，這里的“[1,2]”是指誰的取值范圍？函數(shù)y＝f(x)的定義域是什么？ 提示：[1,2]是自變量x的取值范圍． 函數(shù)y＝f(x)的定義域是x＋1的范圍[2,3]． 求下列函數(shù)的定義域 (1)f(x)＝2＋； (2)f(x)＝(x－1)0＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝－. 思路探究：要求函數(shù)的定義域，只需分母不為0，偶次方根中被開方數(shù)大于等于0即可． [解] (1)當且僅當x－2≠0，即x≠2時， 函數(shù)y＝2＋有意義， 所以這個函數(shù)的定義域為{x|x≠2}． (2)函數(shù)有意義，當且僅當 解得x>－1且x≠1， 所以這個函數(shù)的定義域為{x|x>－1且x≠1}． (3)函數(shù)有意義，當且僅當解得1≤x≤3， 所以這個函數(shù)的定義域為{x|1≤x≤3}． (4)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足解得x≤1且x≠－1， 即函數(shù)定義域為{x|x≤1且x≠－1}． 母題探究：1.(變結論)在本例(3)條件不變的前提下，求函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域． [解] 由1≤x＋1≤3得0≤x≤2. 所以函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域為[0,2]． 2．(變化論)在本例(3)條件不變的前題下，求函數(shù)y＝f(x＋1)＋的定義域． [解] 由，得1≤x≤2. ∴函數(shù)的定義域為[1,2]． [規(guī)律方法] 求函數(shù)定義域的常用方法 (1)若f(x)是分式，則應考慮使分母不為零. (2)若f(x)是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零. (3)若f(x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運算有意義的實數(shù)集合. (4)若f(x)是由幾個式子構成的，則函數(shù)的定義域是幾個部分定義域的交集. (5)若f(x)是實際問題的解析式，則應符合實際問題，使實際問題有意義. [當 堂 達 標固 雙 基] 1．已知函數(shù)f(x)＝，則f＝( ) A. B. C．a D．3a D [f＝3a，故選D.] 2．下列表示的是y關于x的函數(shù)的是( ) 【導學號：37102088】 A．y＝x2 B．y2＝x C．|y|＝x D．|y|＝|x| A [結合函數(shù)的定義可知A正確，選A.] 3．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x相等的是( ) A．y＝()2 B．y＝ C．y＝|x| D．y＝ D [函數(shù)y＝x的定義域為R；y＝()2的定義域為[0，＋∞)；y＝＝|x|，對應關系不同；y＝|x|對應關系不同；y＝＝x，且定義域為R.故選D.] 4．將函數(shù)y＝的定義域用區(qū)間表示為________． (－∞，0)∪(0,1] [由 解得x≤1且x≠0， 用區(qū)間表示為(－∞，0)∪(0,1]．] 5．已知函數(shù)f(x)＝x＋， (1)求f(x)的定義域； (2)求f(－1)，f(2)的值； (3)當a≠－1時，求f(a＋1)的值. 【導學號：37102089】 [解] (1)要使函數(shù)f(x)有意義，必須使x≠0， ∴f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝. (3)當a≠－1時，a＋1≠0， ∴f(a＋1)＝a＋1＋.
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