2019年高中數學第7章數系的擴充與復數 7.4 復數的幾何表示講義（含解析）湘教版選修1 -2.doc

上傳人：tia****nde

文檔編號：6265405

上傳時間：2020-02-21

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7．4復數的幾何表示 [讀教材填要點] 1．復平面的定義建立直角坐標系來表示復數的平面叫作復平面． x軸叫作實軸，y軸叫作虛軸，實軸上的點都表示實數；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數． 2．復數的幾何意義 (1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應復平面內的點P(a，b)；　 (2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應平面向量＝(a，b)． 3．復數的模復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的向量為，則的模叫作復數z的模，記作|z|，且|z|＝. 4．共軛復數 (1)定義及記憶：對于任意復數z＝a＋bi(a，b∈R)，將復數a－bi稱為原來的復數z的共軛復數，記作：. (2)性質：①＝z； ②復平面上兩點P，Q關于x軸對稱?它們所代表的復數相互共軛． 5．復數加減法的幾何意義如圖：設復數z1，z2對應向量分別為，，四邊形OPSQ為平行四邊形，則與z1＋z2對應的向量是，與z1－z2對應的向量是. [小問題大思維] 1．平面向量能夠與復數一一對應的前提是什么？提示：向量的起點在原點． 2．若復數(a－1)＋ai(a∈R)在復平面內對應的點P在第二象限，則a的取值范圍是什么？提示：由題意知即03. 答案：(3，＋∞) 5．復數z＝sin －icos ，則|z|＝________. 解析：∵z＝－i， ∴|z|＝＝. 答案： 6．在復平面上，復數i,1,4＋2i的對應的點分別是A，B，C，求平行四邊形ABCD的D點所對應的復數．解：法一：由已知A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，則AC的中點E，由平行四邊形的性質知E也是BD的中點，設D(x，y)，則∴ 即D(3,3)， ∴D點對應的復數為3＋3i. 法二：由已知：＝(0,1)，＝(1,0)，＝(4,2)． ∴＝(－1,1)，＝(3,2)． ∴＝＋＝(2,3)． ∴＝＋＝(3,3)．即點D對應的復數為3＋3i. 一、選擇題 1.若i為虛數單位，如圖中復平面內點Z表示復數z，則表示復數的點是(　　) A．E　　　　　　　　　　　B．F C．G D．H 解析：由題圖可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，則其在復平面上對應的點為H(2，－1)．答案：D 2．已知0＜a＜2，復數z＝a＋i(i是虛數單位)，則|z|的取值范圍是(　　) A．(1，) B．(1，) C．(1,3) D．(1,5) 解析：|z|＝， ∵0＜a＜2， ∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．答案：B 3．設復數z滿足條件z＋|z|＝2＋i，那么z等于(　　) A．－＋i B.－i C．－－i D.＋i 解析：法一：設z＝x＋yi(x，y∈R)，則 x＋yi＋＝2＋i. ∴解得 ∴z＝＋i. 法二：∵|z|∈R，由復數相等的充要條件可知：若等式z＋|z|＝2＋i成立，則必有虛部為1，故可設z＝x＋i(x∈R)，代入原等式有： x＋＝2，解得x＝，所以z＝＋i. 答案：D 4．若x，y∈R，i為虛數單位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，則復數x＋yi在復平面內所對應的點在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解析：∵x＋y＋(x－y)i＝3－i， ∴解得 ∴復數1＋2i所對應的點在第一象限．答案：A 二、填空題 5．在復平面內表示復數z＝(m－3)＋2i的點在直線y＝x上，則實數m的值為________．解析：由表示復數z＝(m－3)＋2i的點在直線y＝x上，得m－3＝2，解得m＝9. 答案：9 6．若z＋|z|＝2，則復數z＝________. 解析：設z＝a＋bi，則a＋bi＋＝2， ∴b＝0，a＋|a|＝2，∴a＝1.∴z＝1. 答案：1 7．復數z＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范圍為________．解析：|z|＝＝， ∵π<α<2π， ∴－10，得m<－3或m>5. 即當m<－3或m>5時，z的對應點在x軸上方． (5)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得m＝或m＝. 即當m＝或m＝時，z的對應點在直線x＋y＋5＝0上． 10．設z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤.試問復數w＝x＋y＋(x－y)i的對應點的集合表示什么圖形，并求其面積．解：∵|z|＝且1≤|z|≤， ∴1≤x2＋y2≤2. 又|w|＝＝， ∴≤|w|≤2. 令w＝m＋ni(m，n∈R)，則≤≤2，即2≤m2＋n2≤4. 故w對應點的集合是以原點為圓心，半徑為和2的圓環(huán)內點的集合(含內外圓周)，其面積S＝π[22－()2]＝2π.

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