2019年高中數(shù)學 第7章 數(shù)系的擴充與復數(shù) 7.4 復數(shù)的幾何表示講義（含解析）湘教版選修1 -2.doc

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74復數(shù)的幾何表示讀教材填要點1復平面的定義建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫作復平面x軸叫作實軸，y軸叫作虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)2復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)zabi(a，bR)一一對應復平面內的點P(a，b)；(2)復數(shù)zabi(a，bR)一一對應平面向量(a，b)3復數(shù)的模復數(shù)zabi(a，bR)對應的向量為，則的模叫作復數(shù)z的模，記作|z|， 且|z|.4共軛復數(shù)(1)定義及記憶：對于任意復數(shù)zabi(a，bR)，將復數(shù)abi稱為原來的復數(shù)z的共軛復數(shù)，記作：.(2)性質：z；復平面上兩點P，Q關于x軸對稱它們所代表的復數(shù)相互共軛5復數(shù)加減法的幾何意義如圖：設復數(shù)z1，z2對應向量分別為，四邊形OPSQ為平行四邊形，則與z1z2對應的向量是 ，與z1z2對應的向量是.小問題大思維1平面向量能夠與復數(shù)一一對應的前提是什么？提示：向量的起點在原點2若復數(shù)(a1)ai(aR)在復平面內對應的點P在第二象限，則a的取值范圍是什么？提示：由題意知即0a3.答案：(3，)5復數(shù)zsin icos ，則|z|_.解析：zi，|z| .答案：6在復平面上，復數(shù)i,1,42i的對應的點分別是A，B，C，求平行四邊形ABCD的D點所對應的復數(shù)解：法一：由已知A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，則AC的中點E，由平行四邊形的性質知E也是BD的中點，設D(x，y)，則即D(3,3)，D點對應的復數(shù)為33i.法二：由已知：(0,1)，(1,0)，(4,2)(1,1)，(3,2)(2,3)(3,3)即點D對應的復數(shù)為33i.一、選擇題1.若i為虛數(shù)單位，如圖中復平面內點Z表示復數(shù)z，則表示復數(shù)的點是()AEBFCG DH解析：由題圖可得z3i，所以2i，則其在復平面上對應的點為H(2，1)答案：D2已知0a2，復數(shù)zai(i是虛數(shù)單位)，則|z|的取值范圍是()A(1，) B(1，)C(1,3) D(1,5)解析：|z|，0a2，1a215，|z|(1，)答案：B3設復數(shù)z滿足條件z|z|2i，那么z等于()Ai B.iCi D.i解析：法一：設zxyi(x，yR)，則xyi2i.解得zi.法二：|z|R，由復數(shù)相等的充要條件可知：若等式z|z|2i成立，則必有虛部為1，故可設zxi(xR)，代入原等式有：x2，解得x，所以zi.答案：D4若x，yR，i為虛數(shù)單位，且xy(xy)i3i，則復數(shù)xyi在復平面內所對應的點在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：xy(xy)i3i，解得復數(shù)12i所對應的點在第一象限答案：A二、填空題5在復平面內表示復數(shù)z(m3)2i的點在直線yx上，則實數(shù)m的值為_解析：由表示復數(shù)z(m3)2i的點在直線yx上，得m32，解得m9.答案：96若z|z|2，則復數(shù)z_.解析：設zabi，則abi2，b0，a|a|2，a1.z1.答案：17復數(shù)z1cos isin (2)的模的取值范圍為_解析：|z|，2，1cos 1.022cos 0，得m5.即當m5時，z的對應點在x軸上方(5)由(m25m6)(m22m15)50，得m或m.即當m或m時，z的對應點在直線xy50上10設zxyi(x，yR)，若1|z|.試問復數(shù)wxy(xy)i的對應點的集合表示什么圖形，并求其面積解：|z|且1|z|，1x2y22.又|w|，|w|2.令wmni(m，nR)，則2，即2m2n24.故w對應點的集合是以原點為圓心，半徑為和2的圓環(huán)內點的集合(含內外圓周)，其面積S22()22.