2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 專題跟蹤訓(xùn)練26 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 理.doc

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專題跟蹤訓(xùn)練(二十六) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 一、選擇題 1．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(1,0)，則滿足tan∠PABtan∠PBA＝m(m為非零常數(shù))的點(diǎn)P的軌跡方程是(　　) A．x2－＝1(y≠0) B．x2－＝1 C．x2＋＝1(y≠0) D．x2＋＝1 [解析]　設(shè)P(x，y)，由題意，得＝－m(m≠0)，化簡(jiǎn)可得x2＋＝1(y≠0)． [答案]　C 2．(2018重慶模擬)設(shè)A，P是橢圓＋y2＝1上兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B(異于點(diǎn)P)，若直線AP，BP分別交x軸于點(diǎn)M，N，則＝(　　) A．0 B．1 C. D．2 [解析]　依題意，將點(diǎn)P特殊化為點(diǎn)(，0)，于是點(diǎn)M，N均與點(diǎn)(，0)重合，于是有＝2，故選D. [答案]　D 3．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 [解析]　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＋＝1，＋＝1，兩式作差并化簡(jiǎn)變形得＝－，而＝＝，x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以a2＝2b2，又a2－b2＝c2＝9，于是a2＝18，b2＝9.故選D. [答案]　D 4．(2018唐山市高三五校聯(lián)考)直線l與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，若l與OM(O是原點(diǎn))的斜率的乘積等于1，則此雙曲線的離心率為(　　) A．2 B. C．3 D. [解析]　設(shè)直線l與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠x2，則－＝1(a>0，b>0)?、?，－＝1(a>0，b>0)?、?，②－①得＝，即＝，因?yàn)閘與OM的斜率的乘積等于1，所以＝1，雙曲線的離心率e＝ ＝，故選B. [答案]　B 5．(2018鄭州市第三次質(zhì)量預(yù)測(cè))橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝a與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)△FMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FMN的面積是(　　) A. B. C. D. [解析]　設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E，由橢圓的定義知△FMN的周長(zhǎng)為L(zhǎng)＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2－|ME|)＋(2－|NE|)．因?yàn)閨ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，當(dāng)直線MN過點(diǎn)E時(shí)取等號(hào)，所以L＝4＋|MN|－|ME|－|NE|≤4，即直線x＝a過橢圓的右焦點(diǎn)E時(shí)，△FMN的周長(zhǎng)最大，此時(shí)S△FMN＝|MN||EF|＝2＝，故選C. [答案]　C 6．(2018福建省高三質(zhì)檢)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，且A，C位于x軸同側(cè)，若|AC|＝2|AF|，則|BF|等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]　設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)D，則由題意，知F(1,0)，D(－1,0)，分別作AA1，BB1垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足分別為A1，B1，則有＝，所以|AA1|＝，故|AF|＝.又＝，即＝，亦即＝，解得|BF|＝4，故選C. [答案]　C 二、填空題 7．橢圓C：＋＝1的左、右頂點(diǎn)分別為M，N，點(diǎn)P在C上，且直線PN的斜率是－，則直線PM的斜率為________． [解析]　設(shè)P(x0，y0)，則＋＝1，直線PM的斜率kPM＝，直線PN的斜率kPN＝，可得kPMkPN＝＝－，故kPM＝－＝3. [答案]　3 8．(2018鄭州一模)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與C的左、右兩個(gè)分支分別交于點(diǎn)B，A.若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為________________． [解析]　∵△ABF2為等邊三角形，∴|AB|＝|AF2|＝|BF2|，∠F1AF2＝60. 由雙曲線的定義可得|AF1|－|AF2|＝2a，∴|BF1|＝2a. 又|BF2|－|BF1|＝2a，∴|BF2|＝4a.∴|AF2|＝4a，|AF1|＝6a. 在△AF1F2中，由余弦定理可得 |F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF2||AF1|cos60， ∴(2c)2＝(4a)2＋(6a)2－24a6a，整理得c2＝7a2，∴e＝＝＝. [答案]　 9．(2018湖南六校聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P(－1,0)作直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)．若S△ABF＝，且|AF|<|BF|，則＝________. [解析]　設(shè)直線l的方程為x＝my－1，將直線方程代入拋物線C：y2＝4x的方程得y2－4my＋4＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則0<<1，y1＋y2＝4m，y1y2＝4，又S△ABF＝，所以S△BPF－S△APF＝|y2－y1|＝，因此y＋y＝10，所以＝＝，從而＝，又由拋物線的定義與相似三角形可知＝＝，∴＝＝. [答案]　 三、解答題 10．(2018廣東七校第一次聯(lián)考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F1(－2,0)和F2(2,0)的距離之和為4. (1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程； (2)設(shè)N(0,2)，過點(diǎn)P(－1，－2)作直線l，交曲線C于不同于N的兩點(diǎn)A，B，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，求k1＋k2的值． [解]　(1)由橢圓的定義，可知點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓． 由c＝2，a＝2，得b＝2. 故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為＋＝1. (2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＋2＝k(x＋1)， 由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0. Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)>0，則k>0或k<－. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝. 從而k1＋k2＝＋ ＝ ＝2k－(k－4) ＝4. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，得A， B， 所以k1＋k2＝4. 綜上，恒有k1＋k2＝4. 11．(2018合肥一模)已知點(diǎn)F為橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，直線＋＝1與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M. (1)求橢圓E的方程． (2)設(shè)直線＋＝1與y軸交于P點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與橢圓E交于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B，若λ|PM|2＝|PA||PB|，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． [解]　(1)由題意，得a＝2c，b＝c，則橢圓E的方程為＋＝1，聯(lián)立得x2－2x＋4－3c2＝0. ∵直線＋＝1與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M， ∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0，得c2＝1，∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)由(1)得M點(diǎn)坐標(biāo)為. ∵直線＋＝1與y軸交于點(diǎn)P(0,2)， ∴|PM|2＝. 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，|PA||PB|＝(2＋)(2－)＝1， 由λ|PM|2＝|PA||PB|，得λ＝. 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0， 依題意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0， ∴|PA||PB|＝＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)＝1＋＝λ，∴λ＝. ∵k2>，∴<λ<1. 綜上所述，λ的取值范圍是. 12．(2018太原模擬)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，圓O：x2＋y2＝1. (1)若拋物線C的焦點(diǎn)F在圓O上，且A為拋物線C和圓O的一個(gè)交點(diǎn)，求|AF|； (2)若直線l與拋物線C和圓O分別相切于點(diǎn)M，N，求|MN|的最小值及相應(yīng)p的值． [解]　(1)由題意得F(0,1)，從而拋物線C：x2＝4y. 解方程組得yA＝－2， ∴|AF|＝－1. (2)設(shè)M(x0，y0)，由y′＝， 得切線l：y＝(x－x0)＋y0， 結(jié)合x＝2py0，整理得x0x－py－py0＝0. 由|ON|＝1得＝1，即|py0|＝＝， ∴p＝且y－1>0. ∴|MN|2＝|OM|2－1＝x＋y－1＝2py0＋y－1＝＋y－1＝4＋＋(y－1)≥8， 當(dāng)且僅當(dāng)y0＝時(shí)等號(hào)成立． ∴|MN|的最小值為2，此時(shí)p＝.