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章末檢測(三) 不等式
時間：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．不等式(x＋3)2<1的解集是( )
A．{x|x>－2} B．{x|x<－4}
C．{x|－4
b，則下列不等式一定成立的是( )
A．a(chǎn)＋c≥b＋c B．a(chǎn)c>bc
C.>0 D.≥0
解析：∵a>b，∴a－b>0，c2≥0
∴≥0.
答案：D
3．設M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，則有( )
A．M>N B．M ≥N
C．M0，所以M>N，故選A.
答案：A
4．已知關于x的不等式mx2＋8mx＋28<0的解集為{x|－70，
所以∴m＝4.
答案：D
5．設x，y為正數(shù)，則(x＋y)的最小值為( )
A．6 B．9
C．12 D．15
解析：x，y為正數(shù)，(x＋y)＝1＋4＋＋≥9，當且僅當y＝2x等號成立，選B.
答案：B
6．若x，y滿足約束條件則z＝x－y的最小值是( )
A．－3 B．0
C. D．3
解析：可行域為如圖所示的陰影部分，可知z＝x－y在點A(0，3)處取得最小值，∴z最小值＝－3.
答案：A
7．不等式組的解集為( )
A．[－4，－3] B．[－4，－2]
C．[－3，－2] D．?
解析：?
??－4≤x≤－3.
答案：A
8．已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2＝1，則(1－xy)(1＋xy)有( )
A．最小值和最大值1
B．最小值和最大值1
C．最小值和最大值
D．最小值1
解析：∵x2y2≤2＝，當且僅當x2＝y(tǒng)2＝時，等號成立，∴(1－xy)(1＋xy)＝1－x2y2≥.∴x2y2≥0，∴≤1－x2y2≤1.
答案：B
9．若關于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)≤－4 B．a(chǎn)≥－4
C．a(chǎn)≥－12 D．a(chǎn)≤－12
解析：令y＝2x2－8x－4(1≤x≤4)，則y＝2x2－8x－4在x＝4時取得最大值－4，∴當a≤－4時，2x2－8x－4≥a在1≤x≤4內(nèi)有解．
答案：A
10．設a、b是實數(shù)，且a＋b＝3，則2a＋2b的最小值是( )
A．6 B．4
C．2 D．8
解析：∵a，b是實數(shù)，
∴2a>0,2b>0，
于是2a＋2b≥2＝2＝2＝4，當且僅當a＝b＝時取得最小值4.
答案：B
11．某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表：
年產(chǎn)量/畝
年種植成本/畝
每噸售價
黃瓜
4噸
1.2萬元
0.55萬元
韭菜
6噸
0.9萬元
0.3萬元
為使一年的種植總利潤(總利潤＝總銷售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為( )
A．50,0 B．30,20
C．20,30 D．0,50
解析：設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x，y畝，總利潤為z萬元，則目標函數(shù)為z＝(0.554x－1.2x)＋(0.36y－0.9y)＝x＋0.9y.
線性約束條件為即
作出不等式組
表示的可行域如圖，易求得點A(0,50)，B(30,20)，C(45,0)．
平移直線x＋0.9y＝0，可知當直線經(jīng)過點B(30,20)，即x＝30，y＝20時，z取得最大值，且zmax＝48.故選B.
答案：B
12．設變量x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為40，則＋的最小值為( )
A. B.
C．1 D．4
解析：作出可行域如圖陰影部分所示(不包括坐標軸邊界上的點)．
由z＝ax＋by得y＝－x＋z.因為a>0，b>0，所以－<0，作直線l0：y＝－x并向上平移，數(shù)形結合知，當l0平移至過點A時z取得最大值．由得點A的坐標為(8,10)，
即zmax＝8a＋10b＝40，得＋＝1，于是＝＋≥＋2＝.
∴min＝.
答案：B
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上)
13．函數(shù)y＝2－x－(x>0)的值域為________．
解析：當x>0時，y＝2－≤2－2＝－2.
當且僅當x＝，x＝2時取等號．
答案：(－∞，－2]
14．不等式≤3的解集為________．
解析：≤3?≤0，
即≥0，
∴x＜0或x≥.
答案：(－∞，0)∪[，＋∞)
15．已知不等式x2－ax－b<0的解集為(2,3)，則不等式bx2－ax－1>0的解集為________．
解析：方程x2－ax－b＝0的根為2,3.
根據(jù)韋達定理得：a＝5，b＝－6，
所以不等式為6x2＋5x＋1<0，解得解集為.
答案：
16. 設D是不等式組表示的平面區(qū)域，則D中的點P(x，y)到直線x＋y＝10的距離的最大值是________．
解析：畫出可行域，由圖知最優(yōu)解為A(1,1)，故A到x＋y＝10的距離為d＝4.
答案：4
三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(12分)已知f(x)＝x2＋2x＋2a－a2，若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解析：設g(x)＝x2＋2x.
因為f(x)>0，所以x2＋2x>a2－2a.
只要使g(x)在[1，＋∞)上的最小值大于a2－2a即可．
因為g(x)＝x2＋2x在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以g(x)min＝g(1)＝3.
所以a2－2a<3，解此一元二次不等式，得－1－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范圍．
解析：(1)因為不等式的解集為{x|x<－3或x>－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的兩根且k<0.
由根與系數(shù)的關系得解得k＝－.
(2)因為不等式的解集為R，
所以
即
所以k<－.
即k的取值范圍是.
21．(13分)某外商到一開發(fā)區(qū)投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元．設f(n)表示前n年的純利潤總和．
(注：f(n)＝前n年的總收入－前n年的總支出－投資額)
(1)從第幾年開始獲利？
(2)若干年后，外商為開發(fā)新項目，有兩種處理方案：
①年平均利潤最大時，以48萬美元出售該廠；
②純利潤總和最大時，以16萬美元出售該廠．
問哪種方案最合算？為什么？
解析：由題意知，每年的經(jīng)費是以12為首項，4為公差的等差數(shù)列，則f(n)＝50n－－72＝－2n2＋40n－72.
(1)獲利就是要求f(n)>0，所以－2n2＋40n－72>0，
解得20，>0，
∴x＋1＋≥2.
當且僅當x＋1＝，即x＝－1時，f(x)取最小值．
此時，f(x)min＝2－1.
(2)當0x2≥0，則
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)，
∵x1>x2≥0，
∴x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1.
∴(x1＋1)(x2＋1)>1，而00，
∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴f(x)min＝f(0)＝a.
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