2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 階段復(fù)習(xí)課 第1課 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式學(xué)案 新人教A版必修4.doc

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第一課　任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式 [核心速填] 1．與角α終邊相同的角的集合為 S＝{β|β＝α＋k360，k∈Z}． 2．角度制與弧度制的換算 3．弧度制下扇形的弧長和面積公式 (1)弧長公式：l＝|α|r. (2)面積公式：S＝lr＝|α|r2. 4．任意角的三角函數(shù) (1)定義1：設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． (2)定義2：設(shè)任意角α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，r＝|OP|＝，則sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 5．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 sin2α＋cos2α＝1；＝tan α. 6．誘導(dǎo)公式記憶口訣 奇變偶不變，符號看象限． [體系構(gòu)建] [題型探究] 象限角及終邊相同的角 　已知α＝－800. (1)把α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第幾象限角； (2)求γ，使γ與α的終邊相同，且γ∈. [解]　(1)∵－800＝－3360＋280，280＝π， ∴α＝－800＝＋(－3)2π. ∵α與角終邊相同，∴α是第四象限角． (2)∵與α終邊相同的角可寫為2kπ＋，k∈Z的形式，而γ與α的終邊相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z. 又γ∈，∴－＜2kπ＋＜，k∈Z， 解得k＝－1，∴γ＝－2π＋＝－. [規(guī)律方法]　1.靈活應(yīng)用角度制或弧度制表示角 (1)注意同一表達(dá)式中角度與弧度不能混用． (2)角度制與弧度制的換算 設(shè)一個角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)為n，則 αrad＝，n＝rad. 2．象限角的判定方法 (1)根據(jù)圖象判定．利用圖象實際操作時，依據(jù)是終邊相同的角的概念，因為0～360之間的角與坐標(biāo)系中的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系． (2)將角轉(zhuǎn)化到0～360范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，0～360范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的． [跟蹤訓(xùn)練] 1．若α角與角終邊相同，則在[0,2π]內(nèi)終邊與角終邊相同的角是________. 【導(dǎo)學(xué)號：84352139】 ，，，　[由題意，得α＝＋2kπ(k∈Z)，＝＋(k∈Z)． 又∈[0,2π]，所以k＝0,1,2,3，＝，，，.] 弧度制下扇形弧長及面 積公式的計算 　(1)如圖11，△ABC是正三角形，曲線CDEF叫做正三角形的漸開線，其中弧、弧、弧的圓心依次是A、B、C，如果AB＝1，那么曲線CDEF的長是________． 圖11 (2)一扇形的圓心角為2弧度，記此扇形的周長為c，面積為S，則的最大值為________． (1)4π　(2)4　[(1)弧的長是＝， 弧的長是：＝， 弧的長是：＝2π， 則曲線CDEF的長是：＋＋2π＝4π. (2)設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，圓心角大小為2弧度， 則l＝2r，可求：c＝l＋2r＝2r＋2r＝4r， 扇形的面積為S＝lr＝r22＝r2， 所以＝＝－2＋ ＝－2＋4≤4. r＝時等號成立，所以的最大值為4.] [規(guī)律方法]　弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積問題的解題策略 (1)明確弧度制下弧長公式l＝|α|r，扇形的面積公式是S＝lr＝|α|r2(其中l(wèi)是扇形的弧長，α是扇形的圓心角)； (2)涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算，關(guān)鍵是先分析題目已知哪些量、求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解. [跟蹤訓(xùn)練] 2．如圖12，已知扇形AOB的圓心角為120，半徑長為6，求弓形ACB的面積. 【導(dǎo)學(xué)號：84352140】 圖12 [解]　∵120＝π＝π， ∴l(xiāng)＝6π＝4π，∴的長為4π. ∵S扇形OAB＝lr＝4π6＝12π， 如圖所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝ABOD＝26cos 303＝9. ∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9. ∴弓形ACB的面積為12π－9. 任意角三角函數(shù)的定義 　(1)若一個α角的終邊上有一點(diǎn)P(－4，a)，且sin αcos α＝，則a的值為(　　) A．4　　 B．4 C．－4或－ D. (2)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(12m，－5m)(m≠0)，求sin α，cos α，tan α的值. 【導(dǎo)學(xué)號：84352141】 (1)C　[(1)因為α角的終邊上有一點(diǎn)P(－4，a)，所以tan α＝－， 所以sin αcos α＝＝＝＝， 整理得a2＋16a＋16＝0，(a＋4)(a＋4)＝0，所以a＝－4或－.] (2)r＝＝13|m|， 若m＞0，則r＝13m，α為第四象限角， sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝， tan α＝＝＝－. 若m＜0，則r＝－13m，α為第二象限角， sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－， tan α＝＝＝－. [規(guī)律方法]　利用定義求三角函數(shù)值的兩種方法 (1)先由直線與單位圓相交求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用正弦、余弦、正切函數(shù)的定義，求出相應(yīng)的三角函數(shù)值. (2)取角α的終邊上任意一點(diǎn)P(a，b)(原點(diǎn)除外)，則對應(yīng)的角α的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝.當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進(jìn)行分類討論. [跟蹤訓(xùn)練] 3．如果點(diǎn)P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，試判斷角θ所在的象限. 【導(dǎo)學(xué)號：84352142】 [解]　因為點(diǎn)P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θcos θ＜0,2cos θ＜0， 即所以角θ在第二象限. 同角三角函數(shù)基本關(guān)系和 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 　(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，則＝________. (2)已知f(α)＝. ①化簡f(α)； ②若f(α)＝，且＜α＜，求cos α－sin α的值； ③若α＝－，求f(α)的值. 【導(dǎo)學(xué)號：84352143】 [思路探究]　先用誘導(dǎo)公式化簡，再用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值． (1)　[(1)由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2， 則＝＝＝.] (2)①f(α)＝＝sin αcos α. ②由f(α)＝sin αcos α＝可知， (cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α ＝1－2sin αcos α＝1－2＝， 又∵＜α＜，∴cos α＜sin α， 即cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－. ③∵α＝－π＝－62π＋， ∴f＝cossin ＝cossin ＝cossin＝＝. 母題探究：1.將本例(2)中“”改為“－8”“＜α＜”改為“－＜α＜0”求cos α＋sin α. [解]　因為－＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|， 所以cos α＋sin α＞0， 又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2＝， 所以cos α＋sin α＝. 2．將本例(2)中的用tan α表示. [解]?。? ＝＝. [規(guī)律方法]　1.牢記兩個基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能應(yīng)用兩個關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡、證明．在應(yīng)用中，要注意掌握解題的技巧．比如：已知sin αcos α的值，可求cos αsin α.注意應(yīng)用(cos αsin α)2＝12sin αcos α. 2．誘導(dǎo)公式可概括為kα(k∈Z)的各三角函數(shù)值的化簡公式．記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號看象限．