2019屆高考數(shù)學一輪復習 第七章 不等式 推理與證明 課時跟蹤訓練38 合情推理與演繹推理 文.doc

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課時跟蹤訓練(三十八) 合情推理與演繹推理 [基礎(chǔ)鞏固] 一、選擇題 1．觀察下面關(guān)于循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的等式：0.＝＝，0. ＝＝，0. ＝，0.000 ＝＝，據(jù)此推測循環(huán)小數(shù)0.2可化成分數(shù)(　　) A. B. C. D. [解析]　0.2＝0.2＋0.10.＝＋＝. 選D. [答案]　D 2．已知數(shù)列{an}為，，，，，，，，，，…，依它的前10項的規(guī)律，則a99＋a100的值為(　　) A. B. C. D. [解析]　由給出的數(shù)列{an}的前10項得出規(guī)律，此數(shù)列中，分子與分母的和等于2的有1項，等于3的有2項，等于4的有3項，…，等于n的有n－1項，且分母由1逐漸增大到n－1，分子由n－1逐漸減小到1(n≥2)，當n＝14時即分子與分母的和為14時，數(shù)列到91項，當n＝15即分子與分母的和為15時，數(shù)列到104項，所以a99與a100是分子與分母和為15中的第8項與第9項，分別為，，∴a99＋a100＝＋＝，選A. [答案]　A 3．觀察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，則52018的末四位數(shù)字為(　　) A．3125 B．5625 C．0625 D．8125 [解析]　∵55＝3125,56＝15625,57＝78125， 58＝390625,59＝1953125，…，∴最后四位應為每四個循環(huán)，2018＝4504＋2，∴52018最后四位應為5625. [答案]　B 4．(2017安徽合肥一中模擬)《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術(shù)．得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟．”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：2＝，3＝，4＝，5＝，…，則按照以上規(guī)律，若9＝具有“穿墻術(shù)”，則n＝(　　) A．25 B．48 C．63 D．80 [解析]　由2＝，3＝，4＝，5＝，…， 可得若9＝具有“穿墻術(shù)”，則n＝92－1＝80，故選D. [答案]　D 5．(2017湖北宜昌一中、龍泉中學聯(lián)考)老師帶甲、乙、丙、丁四名學生去參加自主招生考試，考試結(jié)束后老師向四名學生了解考試情況，四名學生回答如下：甲說：“我們四人都沒考好”；乙說：“我們四人中有人考得好”；丙說：“乙和丁至少有一人沒考好”；丁說：“我沒考好”．結(jié)果，四名學生中有兩人說對了，則四名學生中說對了的兩人是(　　) A．甲　丙 B．乙　丁 C．丙　丁 D．乙　丙 [解析]　如果甲對，則丙、丁都對，與題意不符，故甲錯，乙對；如果丙錯，則丁錯，因此只能是丙對，丁錯，故選D. [答案]　D 6．如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點P到第i條邊的距離記為hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則1h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si(i＝1,2,3,4)，此三棱錐內(nèi)任一點Q到第i個面的距離記為Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則H1＋2H2＋3H3＋4H4值為(　　) A. B. C. D. [解析]　∵V＝S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4 ＝(kH1＋2kH2＋3kH3＋4kH4) ∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝. [答案]　B 二、填空題 7．半徑為x(x>0)的圓的面積函數(shù)f(x)的導數(shù)等于該圓的周長的函數(shù)．對于半徑為R(R>0)的球，類似的結(jié)論為________． [解析]　　因為半徑為x(x>0)的圓的面積函數(shù)f(x)＝πx2，所以f′(x) ＝2πx. 類似地，半徑為R(R>0)的球的體積函數(shù)V(R)＝πR3，所以V′(R)＝4πR2. 故對于半徑為R(R>0)的球，類似的結(jié)論為半徑為R(R>0)的球的體積函數(shù)V(R)的導數(shù)等于該球的表面積的函數(shù)． [答案]　半徑為R(R>0)的球的體積函數(shù)V(R)的導數(shù)等于該球的表面積的函數(shù) 8．(2017河北卓越聯(lián)盟月考)在平面內(nèi)，三角形的面積為S，周長為C，則它的內(nèi)切圓的半徑r＝.在空間中，三棱錐的體積為V，表面積為S，利用類比推理的方法，可得三棱錐的內(nèi)切球(球面與三棱錐的各個面均相切)的半徑R＝________. [解析]　若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內(nèi)切球半徑R＝.理由如下： 設(shè)三棱錐的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4， 由于內(nèi)切球的球心到各面的距離等于內(nèi)切球的半徑， 所以V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝SR， 所以內(nèi)切球的半徑R＝. [答案]　 9．某種平面分形圖如圖所示，一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為120；二級分形圖是在一級分段形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120，…，依此規(guī)律得到n級分形圖． n級分形圖中共有________條線段． [解析]　分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段，由題圖知，一級分形圖有3＝(32－3)條線段，二級分形圖有9＝(322－3)條線段，三級分形圖中有21＝(323－3)條線段，按此規(guī)律n級分形圖中的線段條數(shù)an＝32n－3. [答案]　32n－3 三、解答題 10．(2017山西運城4月模擬改編)宋元時期杰出的數(shù)學家朱世杰在其數(shù)學巨著《四元玉鑒》中提出了一個“茭草形段”問題：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，問底子幾何？”他在這一問題中探討了“垛積術(shù)”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上一束，下一層3束，再下一層6束，……，)成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示從上往下第二層開始的每層茭草束數(shù)，求本問題中三角垛倒數(shù)第二層茭草總束數(shù)為多少？ [解析]　由題意得，從上往下第n層茭草束數(shù)為1＋2＋3＋…＋n＝， ∴1＋3＋6＋…＋＝680， 即＝n(n＋1)(n＋2)＝680， ∴n(n＋1)(n＋2)＝151617，∴n＝15. 故倒數(shù)第二層為第14層，該層茭草總束數(shù)為＝105. [答案]　105 [能力提升] 11．(2017江西贛州十四縣聯(lián)考)我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一．并五關(guān)所稅，適重一下．問本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金，第2關(guān)收稅金為剩余的，第3關(guān)收稅金為剩余的，第4關(guān)收稅金為剩余的，第5關(guān)收稅金為剩余的，5關(guān)所收稅金之和，恰好重1斤，問原本持金多少？”若將“5關(guān)所收稅金之和，恰好重1斤，問原本持金多少？”改成“假設(shè)這個人原本持金為x，按此規(guī)律通過第8關(guān)”，則第8關(guān)所收稅金為________x. [解析]　第1關(guān)收稅金：x； 第2關(guān)收稅金：x＝＝； 第3關(guān)收稅金：x＝＝； …… 第8關(guān)收稅金：＝. [答案]　 12．(2017安徽合肥模擬)“已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(1,2)，解關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a>0.”給出如下的一種解法： 解：由ax2＋bx＋c>0的解集為(1,2)，得a2＋b＋c>0的解集為，即關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集為. 類比上述解法：若關(guān)于x的不等式＋<0的解集為∪，則關(guān)于x的不等式－>0的解集為______________________． [解析]　根據(jù)題意， 由＋<0的解集為 ∪， 得＋<0的解集為 ∪， 即－>0的解集為 ∪. [答案]　∪ 13．(2017河北唐山三模)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若Sn＋an＝4－(n∈N*)，則an＝________. [解析]　解法一：已知Sn＋an＝4－?、伲攏＝1時，S1＋a1＝4－＝2，解得a1＝1.當n≥2時，用n－1代換n，得Sn－1＋an－1＝4－　②.①－②，得Sn－Sn－1＋an－an－1＝－，整理得2an－an－1＝.兩邊同時乘2n－1，得2nan－2n－1an－1＝2. 令bn＝2nan，則bn－bn－1＝2. 所以數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列，首項b1＝21a1＝2. 所以bn＝2＋(n－1)2＝2n，即2nan＝2n. 所以an＝＝. 解法二：(歸納法)：已知Sn＋an＝4－?、?，當n＝1時，S1＋a1＝4－＝2，解得a1＝1；當n＝2時，S2＋a2＝4－，即2a2＋a1＝3，解得a2＝1；當n＝3時，S3＋a3＝4－，即2a3＋S2＝，解得a3＝；當n＝4時，S4＋a4＝4－，即2a4＋S3＝，解得a4＝；當n＝5時，S5＋a5＝4－，即2a5＋S4＝，解得a5＝；…，a1和a2可以寫成分數(shù)的形式，顯然該數(shù)列中每一項的分母都是2的整數(shù)冪，分子對應項的序號，即a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝. [答案]　 14．已知函數(shù)y＝f(x)滿足：對任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，試證明：f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)． [證明]　設(shè)任意x1，x2∈R，取x1x1f(x2)＋x2f(x1)， ∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0， ∵x10， 即f(x2)>f(x1)． ∴y＝f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)． 15．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. (1)若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比數(shù)列，求cosB的最小值． [解]　(1)證明：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2b. 由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB. ∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)． (2)∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac. 由余弦定理得 cosB＝＝≥＝， 當且僅當a＝c時等號成立． ∴cosB的最小值為. [延伸拓展] 中國古代十進位制的算籌記數(shù)法，在世界數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造．如圖所示，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算．算籌的擺放形式有縱、橫兩種，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當．即表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空．例如2017用算籌表示就是，則8227可表示為________． [解析]　千位數(shù)字8為模式，百位數(shù)字2為縱式，十位數(shù)字2為橫式，個位數(shù)字7為縱式，所以8227可表示為. [答案]