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2.2.2 反證法
學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解反證法是間接證明的一種基本方法．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))2. 理解反證法的思考過程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))
[自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知]
反證法的定義及證題的關(guān)鍵
思考1：反證法的實(shí)質(zhì)是什么？
[提示]反證法的實(shí)質(zhì)就是否定結(jié)論，推出矛盾，從而證明原結(jié)論是正確的．
思考2：有人說反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理，這種說法對(duì)嗎？為什么？
[提示]反證法是間接證明中的一種方法，其證明過程是邏輯非常嚴(yán)密的演繹推理．
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1．思考辨析
(1)反證法屬于間接證明問題的方法． ( )
(2) 反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題． ( )
(3)反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾． ( )
[答案] (1)√ (2) (3)√
2．“a
b
C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＝b或a>b
[答案] D
3．用反證法證明“如果a＞b，那么> ”，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是________．
[答案] ≤
4．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中，下列選項(xiàng)中可以作為條件使用的有________．(填序號(hào))
①結(jié)論的反設(shè)；②已知條件；③定義、公理、定理等；④原結(jié)論．
①②③ [反證法的“歸謬”是反證法的核心，其含義是：從命題結(jié)論的假設(shè)(即把“反設(shè)”作為一個(gè)新的已知條件)及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進(jìn)行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果．]
[合 作 探 究攻 重 難]
用反證法證明否定性命題
已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列．求證：，，不成等差數(shù)列.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662083】
[證明] 假設(shè)，，成等差數(shù)列，則＋＝2，即a＋c＋2＝4b.
∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，即b＝，
∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0，即＝.
從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，
故，，不成等差數(shù)列．
[規(guī)律方法]
1．用反證法證明否定性命題的適用類型
結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法．
2．用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟
[跟蹤訓(xùn)練]
1．設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點(diǎn)，求證：AC與平面SOB不垂直．
[證明] 假設(shè)AC⊥平面SOB，如圖
∵直線SO在平面SOB內(nèi)，
∴SO⊥AC.
∵SO⊥底面圓O，∴SO⊥AB.
∴SO⊥平面SAB.
∴平面SAB∥底面圓O.
這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設(shè)不成立，即AC與平面SOB不垂直．
用反證法證明唯一性命題
求證方程2x＝3有且只有一個(gè)根.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662084】
[證明] ∵2x＝3，∴x＝log23，這說明方程2x＝3有根．下面用反證法證明方程2x＝3的根是唯一的：假設(shè)方程2x＝3至少有兩個(gè)根b1，b2(b1≠b2)，
則2b1＝3,2b2＝3，
兩式相除得2b1－b2＝1.
若b1－b2>0，則2b1－b2>1，這與2b1－b2＝1相矛盾．
若b1－b2<0，則2b1－b2<1，這也與2b1－b2＝1相矛盾．
∴b1－b2＝0，則b1＝b2.
∴假設(shè)不成立，從而原命題得證．
[規(guī)律方法] 巧用反證法證明唯一性命題
(1)當(dāng)證明結(jié)論有以“有且只有”“當(dāng)且僅當(dāng)”“唯一存在”“只有一個(gè)”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于推出矛盾，故常用反證法證明.
(2)用反證法證題時(shí)，如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以；若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立.
(3)證明“有且只有一個(gè)”的問題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性.
[跟蹤訓(xùn)練]
2．求證：兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)．
[證明] 假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種可能：無交點(diǎn)或不止一個(gè)交點(diǎn)．
若直線a，b無交點(diǎn)，則a∥b或a，b是異面直線，與已知矛盾．
若直線a，b不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，這樣同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A，B就有兩條直線，這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾．
綜上所述，兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)．
用反證法證明“至多”“至少”問題
[探究問題]
1．你能闡述一下“至少有一個(gè)、至多有一個(gè)、至少有n個(gè)”等量詞的含義嗎？
提示：
量詞
含義
至少有一個(gè)
有n個(gè)，其中n≥1
至多有一個(gè)
有0或1個(gè)
至少有n個(gè)
大于等于n個(gè)
2.在反證法證明中，你能說出 “至少有一個(gè)、至多有一個(gè)、至少有n個(gè)”等量詞的反設(shè)詞嗎？
提示：
量詞
反設(shè)詞
至少有一個(gè)
一個(gè)也沒有
至多有一個(gè)
至少有兩個(gè)
至少有n個(gè)
至多有n－1個(gè)
已知a≥－1，求證三個(gè)方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解．
[證明] 假設(shè)三個(gè)方程都沒有實(shí)根，則三個(gè)方程中：它們的判別式都小于0，即：
?
這與已知a≥－1矛盾，所以假設(shè)不成立，故三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解．
母題探究：1.(變條件)將本題改為：已知下列三個(gè)方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，如何求實(shí)數(shù)a的取值范圍？
[解] 若方程沒有一個(gè)有實(shí)根，
則解得
故三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，實(shí)數(shù)a的取值范圍是
2．(變條件)將本題條件改為三個(gè)方程中至多有2個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[解] 假設(shè)三個(gè)方程都有實(shí)數(shù)根，則
即
解得即a∈?.
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為實(shí)數(shù)R.
[規(guī)律方法] 當(dāng)命題中出現(xiàn)“至少……”、“至多……”、“不都……”、
“都不……”、“沒有……”、“唯一”等指示性詞語時(shí)，宜用反證法.
提醒：對(duì)于此類問題，需仔細(xì)體會(huì)“至少有一個(gè)”、“至多有一個(gè)”等字眼的含義，弄清結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)證明遺漏的錯(cuò)誤.
[當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基]
1．用反證法證明“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角為鈍角”，下列假設(shè)中正確的是( )
A．有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角
B．有三個(gè)內(nèi)角是鈍角
C．至少有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角
D．沒有一個(gè)內(nèi)角是鈍角
C [“最多只有一個(gè)”的否定是“至少有兩個(gè)”，故選C.]
2．如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662085】
A．一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)
B．兩個(gè)都是正數(shù)
C．至少有一個(gè)正數(shù)
D．兩個(gè)都是負(fù)數(shù)
C [假設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為x1、x2，且x1≤0，x2≤0，則x1＋x2≤0，這與兩個(gè)數(shù)之和為正數(shù)矛盾，所以兩個(gè)實(shí)數(shù)至少有一個(gè)正數(shù)，故應(yīng)選C.]
3．已知平面α∩平面β＝直線a，直線b?α，直線c?β，b∩a＝A，c∥a，求證：b與c是異面直線，若利用反證法證明，則應(yīng)假設(shè)________．
b與c平行或相交 [∵空間中兩直線的位置關(guān)系有3種：異面、平行、相交，∴應(yīng)假設(shè)b與c平行或相交．]
4．用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟：
①∠A＋∠B＋∠C＝90＋90＋∠C>180，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾，則∠A＝∠B＝90不成立；
②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角；
③假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90.
正確順序的序號(hào)排列為________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662086】
③①② [根據(jù)反證法證題的三步驟：否定結(jié)論、導(dǎo)出矛盾、得出結(jié)論．]
5. 設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列．
[證明] 假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，則S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1a1(1＋q＋q2)，
因?yàn)閍1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，這與公比q≠0矛盾．
所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列．
2018年秋高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法學(xué)案 新人教A版選修1 -2.doc
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