2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）2.2《直接證明與間接證明》word教案2篇.doc

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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）2.2直接證明與間接證明word教案2篇分析法和綜合法是兩種常用的解題方法，但有時候我們常常把這兩種方法結(jié)合起來使用效果更好一、用分析法尋找思路，用綜合法表述過程例已知，求證：分析：本題用綜合法不容易找到證題思路，因此用分析法探路要證原不等式成立，由，得，因此移項，只需證通分，得，即證只需證成立思路找到證明：，即，點評：分析法解題方向較為明確，有利于尋找解題思路；綜合法條理清晰，宜于表述因此，在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程二、分析法與綜合法聯(lián)合使用對于那些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題，不論是從“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠攏“已知”，都有一個比較長的思考過程，單靠分析法或綜合法顯得較為困難為保證探索方向準確及過程快捷，人們常常把分析法與綜合法兩者并列起來使用，即常采取同時從已知和結(jié)論出發(fā)，尋找問題的一個中間目標從已知到中間目標運用綜合法思索，而由結(jié)論到中間目標運用分析法思索，以中間目標為橋梁溝通已知與結(jié)論，構(gòu)建出證明的有效路徑上面所言的思維模式可概括為如下圖所示綜合法與分析法是邏輯推理的思維方法，它對于培養(yǎng)思維的嚴謹性極為有用把分析法與綜合法并列起來進行思考，尋求問題的解答途徑，就是人們通常所說的分析、綜合法例2 若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：證明：要證，只需證，只需證又，且上述三式中的等號不全成立，所以c因此注：這個證明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是綜合法點撥反證法反證法是一種重要的間接證明方法，下面加以系統(tǒng)歸納，供參考1宜用反證法證明的題型易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；否定性命題；惟一性命題；至少至多型命題；一些基本定理；必然性命題等2步驟假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立（反設(shè)）；從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾（歸謬）；由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論成立（結(jié)論）3典例分析例求證：a、b、c為正實數(shù)的充要條件是，且和分析：由a、b、c為正實數(shù)，顯然易得，即“必要性”的證明用直接證法易于完成，并不需要用反證法證明“充分性”時，要綜合三個不等式推出a、b、c是正實數(shù)，有些難度，于是，試試反證法證明：（1）證必要性（略）（2）證充分性假設(shè)a、b、c不全為正實數(shù)（原結(jié)論是a、b、c都是正實數(shù)），由于，則它們只能是二負一正不妨設(shè)且且，又由于，又，而，與的假設(shè)矛盾假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即a、b、c均為正實數(shù)說明：如果從處開始，如下進行推理：，即，又，則，與式矛盾這樣，矛盾的焦點就發(fā)生在兩部分推理的結(jié)論上了，即自相矛盾；還可以讓矛盾的焦點發(fā)生在已知條件上，從處開始，于是，與已知矛盾，這個途徑最簡捷評注：反證法矛盾的焦點，可以是和“已知條件”或“定義”、“公理”、“定理”、“反面假設(shè)”矛盾，也可以自相矛盾（即兩部分推理的結(jié)果矛盾）其本質(zhì)是，先利用的和剩余者之間的矛盾究竟先利用哪些好，應(yīng)根據(jù)題目的具體情況決定順其自然，因勢利導(dǎo)，不必拘泥于一格直接證明與間接證明精析在數(shù)學(xué)中，證明是引用一些真實的命題來確定某命題真實性的思維形式數(shù)學(xué)常用的證明方法有直接證明與間接證明1直接證明直接從原命題的條件逐步推得命題成立的，這種證明通常稱為直接證明常用的直接證明方法有綜合法與分析法（1）綜合法與分析法要點解析表（2）對分析法證題的說明“若成立，則成立”，此命題用分析法證明的步驟如下：要證明（或為了證明）成立，只需證明成立（是成立的充分條件），要證成立，只需證明成立（是成立的充分條件），要證明成立，只需證明A成立（A是成立的充分條件），A成立，B成立注：每一步都是尋求充分不必要條件或充要條件，但絕不能是必要不充分條件；在尋求充分條件時，起調(diào)控方向作用的是本題條件即在一系列可以證明結(jié)論的條件中，與本題條件較為接近的條件，才是我們所需要的；“只需證明”、“為了證明”、“A成立，B成立”類似這些語言必須有，而且要用它們把每一步連結(jié)起來（3）綜合法和分析法的優(yōu)缺點分析法容易探路，且探路與表述合一，缺點是表述繁瑣，且容易出錯綜合法條理清晰，宜于表述，缺點是探路艱難，易生枝節(jié)因此，在實際解題時，常把二者交互使用，互補優(yōu)缺，形成了分析綜合法先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程對于較復(fù)雜的問題，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價（或充分）的中間結(jié)論，然后通過綜合法由條件證明這個中間結(jié)論，則原命題得證2間接證明不是從正面論證命題的真實性，而是考慮證明它的等價命題，間接地達到目的常見的間接證明方法是反證法反證法是一種常用的間接證明方法用反證法證明命題“若p則q”的過程可以用以下框圖表示：應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面三個步驟：（1）反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真；（2）歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；（3）存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立注：反設(shè)要準確，即取結(jié)論的否定形式時要準確，有些否定形式需注意全稱量詞與特稱量詞的相互轉(zhuǎn)換所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與公理、定義、定理、條件矛盾或與臨時假定矛盾，以及自相矛盾等各種情況反證法往往用于解決正面解決較為困難的問題（正難則反）或需分多種情況討論的問題（如至多、至少等問題）等反證法中的“特殊化”反證法是一種重要的證明方法反證法的難點在于提出與結(jié)論相反的假設(shè)后，如何合理地展開思路，以便盡快凸現(xiàn)矛盾筆者認為，“特殊化”有時是反證法得以成功的一個重要突破口一、特殊值巧合的數(shù)目，特殊的數(shù)字，個性化的特征，看似純屬偶然，但往往蘊含著正確解法的必然例1設(shè)、是定義上的函數(shù)證明：存在、，使得分析：要找出具體的、，難以下手，不妨考慮用反證法證明：假設(shè)這樣的、不存在取特殊值，得同理，故，這是不可能的因此，原命題成立注：本題反復(fù)利用與這兩個特殊值，并進行湊配，從而推得矛盾“”二、特殊運算某些相對獨立的對象各有各的特點，不足以發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，而當通過特殊運算使之形成一個整體時，矛盾便暴露無遺了1求和例2今有有限個砝碼，它們的總重量是，將它們分別編號為證明：從這有限個砝碼中必可找出一個編號為的砝碼，它的重量大于證明：假設(shè)不存在這樣一個編號，使得相應(yīng)的砝碼重量設(shè)共有個砝碼，從而，有，累加求和，得，矛盾 因此，原命題成立2求積例3證明：任何三個實數(shù)都不可能同時滿足下列三個不等式：，分析：本題要證明所有的對象都具有同一性質(zhì)，無法從正面考慮，宜用反證法證明：假設(shè)存在三個實數(shù)同時滿足題設(shè)的三個不等式將它們的兩端都同時平方，然后分別移項、分解因式得， 得，這顯然是不可能的因此，原命題成立注：本題所得到的三個不等式，單獨看哪一個都看不出有什么毛病，而一旦把它們求積，矛盾便凸現(xiàn)在眼前了