2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：2-3-3 直線與平面垂直的性質(zhì).doc

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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：2-3-3 直線與平面垂直的性質(zhì) 項目 內(nèi)容 課題 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) （1課時） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 1.探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、實事求是等嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度和品質(zhì). 2.掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用提高邏輯推理的能力. 教學(xué)重、 難點 直線與平面垂直的性質(zhì)定理及其應(yīng)用. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 復(fù)習(xí) 直線與平面垂直的定義：一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們說這條直線和這個平面互相垂直，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.直線和平面垂直的畫法及表示如下： 圖1 如圖1，表示方法為：a⊥α. 由直線與平面垂直的定義不難得出：b⊥a. 導(dǎo)入新課 如圖2，長方體ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直所在的平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系？ 圖2 提出問題 ①回憶空間兩直線平行的定義. ②判斷同垂直于一條直線的兩條直線的位置關(guān)系？ ③找出恰當(dāng)空間模型探究同垂直于一個平面的兩條直線的位置關(guān)系. ④用三種語言描述直線與平面垂直的性質(zhì)定理. ⑤如何理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理的地位與作用？ 討論結(jié)果：①如果兩條直線沒有公共點，我們說這兩條直線平行.它的定義是以否定形式給出的，其證明方法多用反證法. ②如圖3，同垂直于一條直線的兩條直線的位置關(guān)系可能是：相交、平行、異面. 圖3 ③如圖4，長方體ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直于所在的平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系？ 圖4 圖5 棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直所在的平面ABCD，它們之間互相平行. ④直線和平面垂直的性質(zhì)定理用文字語言表示為： 垂直于同一個平面的兩條直線平行，也可簡記為線面垂直、線線平行. 直線和平面垂直的性質(zhì)定理用符號語言表示為：b∥a. 直線和平面垂直的性質(zhì)定理用圖形語言表示為：如圖5. ⑤直線與平面垂直的性質(zhì)定理不僅揭示了線面之間的關(guān)系，而且揭示了平行與垂直之間的內(nèi)在聯(lián)系. 應(yīng)用示例 例1 證明垂直于同一個平面的兩條直線平行. 解:已知a⊥α,b⊥α. 求證：a∥b. 圖6 證明：（反證法）如圖6，假定a與b不平行，且b∩α=O,作直線b′，使O∈b′,a∥b′. 直線b′與直線b確定平面β，設(shè)α∩β=c,則O∈c. ∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c. ∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β, a∥b′顯然不可能，因此b∥a. 例2 如圖7，已知α∩β=l,EA⊥α于點A,EB⊥β于點B,aα,a⊥AB. 求證:a∥l. 圖7 證明：l⊥平面EAB. 又∵aα,EA⊥α,∴a⊥EA. 又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB. ∴a∥l. 例2 如圖8,已知直線a⊥b，b⊥α，aα. 求證：a∥α. 圖8 證明：在直線a上取一點A，過A作b′∥b，則b′必與α相交，設(shè)交點為B，過相交直線a、b′作平面β，設(shè)α∩β=a′, ∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b, ∴b′⊥α. 又∵a′α,∴b′⊥a′. 由a，b′，a′都在平面β內(nèi)，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α. 例3 如圖9，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點. （1）求證：MN⊥CD； （2）若∠PDA=45，求證:MN⊥面PCD. 圖9 證明：(1)取PD中點E,又N為PC中點,連接NE,則NE∥CD,NE=CD. 又∵AM∥CD,AM=CD, ∴AMNE. ∴四邊形AMNE為平行四邊形. ∴MN∥AE. ∵CD⊥AE. (2)當(dāng)∠PDA=45時,Rt△PAD為等腰直角三角形, 則AE⊥PD.又MN∥AE, ∴MN⊥PD,PD∩CD=D. ∴MN⊥平面PCD. 變式訓(xùn)練 已知a、b、c是平面α內(nèi)相交于一點O的三條直線，而直線l和平面α相交，并且和a、b、c三條直線成等角.求證：l⊥α. 證明：分別在a、b、c上取點A、B、C并使AO=BO=CO.設(shè)l經(jīng)過O，在l上取一點P，在△POA、△POB、△POC中， ∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC， ∴△POA≌△POB≌△POC. ∴PA=PB=PC.取AB的中點D, 連接OD、PD，則OD⊥AB，PD⊥AB. ∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD. ∵PO平面POD,∴PO⊥AB. 同理,可證PO⊥BC. ∵ABα，BCα，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α. 若l不經(jīng)過點O時，可經(jīng)過點O作l′∥l.用上述方法證明l′⊥α， ∴l(xiāng)⊥α. 課堂小結(jié) 知識總結(jié)：利用線面垂直的性質(zhì)定理將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為線線平行，然后解決證明垂直問題、平行問題、求角問題、求距離問題等. 思想方法總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想，即把面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 作業(yè) 課本習(xí)題2.3 B 組1、2. 板書設(shè)計 教學(xué)反思