2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）2.1《合情推理與演繹推理》word教案4篇.doc

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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）2.1《合情推理與演繹推理》word教案4篇 教學(xué)目標(biāo)： 結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 教學(xué)重點(diǎn)： 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 教學(xué)過(guò)程 一、引入新課 1歸納推理 (一)什么是歸納推理 　　歸納推理的前提是一些關(guān)于個(gè)別事物或現(xiàn)象的命題，而結(jié)論則是關(guān)于該類事物或現(xiàn)象的普遍性命題。歸納推理的結(jié)論所斷定的知識(shí)范圍超出了前提所斷定的知識(shí)范圍，因此，歸納推理的前提與結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的。也就是說(shuō)，其前提真而結(jié)論假是可能的，所以，歸納推理乃是一種或然性推理 　　拿任何一種草藥來(lái)說(shuō)吧，人們?yōu)槭裁磿?huì)發(fā)現(xiàn)它能治好某種疾病呢?原來(lái)，這是經(jīng)過(guò)我們先人無(wú)數(shù)次經(jīng)驗(yàn)(成功的或失敗的)的積累的。由于某一種草無(wú)意中治好了某一種病，第二次，第三次，……都治好了這一種病，于是人們就把這幾次經(jīng)驗(yàn)積累起來(lái)，做出結(jié)論說(shuō)，“這種草能治好某一種病。”這樣，一次次個(gè)別經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)就上升到對(duì)這種草能治某一種病的一般性認(rèn)識(shí)了。這里就有著歸納推理的運(yùn)用。 　　(二)歸納推理與演繹推理的區(qū)別和聯(lián)系 　　歸納推理與演繹推理的主要區(qū)別是：首先，從思維運(yùn)動(dòng)過(guò)程的方向來(lái)看，演繹推理是從一般性的知識(shí)的前提推出一個(gè)特殊性的知識(shí)的結(jié)論，即從一般過(guò)渡到特殊；而歸納推理則是從一些特殊性的知識(shí)的前提推出一個(gè)一般性的知識(shí)的結(jié)論，即從特殊過(guò)渡到一般。其實(shí)，從前提與結(jié)論聯(lián)系的性質(zhì)來(lái)看，演繹推理的結(jié)論不超出前提所斷定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的，即其前提真而結(jié)論假是不可能的。一個(gè)演繹推理只要前提真實(shí)并且推理形式正確，那么，其結(jié)論就必然真實(shí)。而歸納推理(完全歸納推理除外)的結(jié)論卻超出了前提所斷定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而結(jié)論假是有可能的。也就是說(shuō)，即使其前提都真也并不能保證結(jié)論是必然真實(shí)的。 　　歸納推理與演繹推理雖有上述區(qū)別，但它們?cè)谌藗兊恼J(rèn)識(shí)過(guò)程中是緊密的聯(lián)系著的，兩者互相依賴、互為補(bǔ)充，比如說(shuō)，演繹推理的一般性知識(shí)的大前提必須借助于歸納推理從具體的經(jīng)驗(yàn)中概括出來(lái)，從這個(gè)意義上我們可以說(shuō)，沒(méi)有歸納推理也就沒(méi)有演繹推理。當(dāng)然，歸納推理也離不開(kāi)演繹推理。比如，歸納活動(dòng)的目的、任務(wù)和方向是歸納過(guò)程本身所不能解決和提供的，這只有借助于理論思維，依靠人們先前積累的一般性理論知識(shí)的指導(dǎo)，而這本身就是一種演繹活動(dòng)。而且，單靠歸納推理是不能證明必然性的，因此，在歸納推理的過(guò)程中，人們常常需要應(yīng)用演繹推理對(duì)某些歸納的前提或者結(jié)論加以論證。從這個(gè)意義上我們也可以說(shuō)，沒(méi)有演繹推理也就不可能有歸納推理。 　　(三)觀察與實(shí)驗(yàn) 　　歸納推理是一種由特殊性知識(shí)的前提得出一般性知識(shí)的結(jié)論的推理。當(dāng)然，人們?cè)谶M(jìn)行歸納推理的時(shí)候，總是先要搜集到一定的事實(shí)材料，有了個(gè)別性的、特殊性的知識(shí)作為前提，然后才能進(jìn)行歸納推理。而搜集事實(shí)材料則必須運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)方法，主要是觀察和實(shí)驗(yàn)的方法。 　　1．觀察 　　人們?cè)趯?duì)象或現(xiàn)象的自然狀態(tài)下，有目的地通過(guò)感官去研究對(duì)象或現(xiàn)象，這就叫做觀察。 　　為了使觀察獲得的材料比較可靠和比較準(zhǔn)確，還應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題：(1)必須堅(jiān)持觀察的客觀性和全面性，切忌主觀的隨意性和片面性。(2)盡可能地借助于有關(guān)的儀器設(shè)備來(lái)進(jìn)行，以克服感覺(jué)器官認(rèn)識(shí)的局限性。 　　2．實(shí)驗(yàn) 　　人們?cè)诳刂茖?duì)象或現(xiàn)象的條件下有目的地通過(guò)感官去認(rèn)識(shí)對(duì)象或現(xiàn)象，就叫做實(shí)驗(yàn)。具體而言，實(shí)驗(yàn)是人們根據(jù)研究的目的，利用科學(xué)方法、設(shè)備，人為地控制或模擬自然現(xiàn)象的條件，排除干擾因素，突出主要因素，在相對(duì)的純粹狀態(tài)下研究自然現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)活動(dòng)。例如，要研究某一植物在某種條件下對(duì)具有一定酸堿度的土壤的適應(yīng)情況，人們可以在實(shí)驗(yàn)室中，人為地控制大自然對(duì)植物生態(tài)的影響，只就酸堿度這一特定的因素進(jìn)行考察。 　　實(shí)驗(yàn)是自然科學(xué)研究中最基本的研究方法。它和觀察比較起來(lái)有以下優(yōu)點(diǎn)：(1)實(shí)驗(yàn)可根據(jù)研究工作的需要，使被研究的對(duì)象或現(xiàn)象在極其純粹的狀態(tài)下再現(xiàn)出來(lái)，并借助于人工的隔離條件，使其依照一定的順序，不斷地重復(fù)出現(xiàn)。這就便于人們觀察某種對(duì)象或現(xiàn)象的發(fā)生過(guò)程以及對(duì)象或現(xiàn)象間的因果關(guān)系。例如，我們看見(jiàn)鐵球與雞毛從塔頂上同時(shí)往下落，在空氣中它們下落的速度是不一樣的。這與空氣有關(guān)還是無(wú)關(guān)?這是由于空氣的阻力作用還是由于地球的引力作用呢？在自然狀態(tài)下，由于許許多多的對(duì)象或現(xiàn)象錯(cuò)綜復(fù)雜地交織在一起，我們是不能弄清楚這些問(wèn)題的。為此，我們可以做“自由落體”的實(shí)驗(yàn)：把鐵球和雞毛都放在抽掉空氣的圓筒形的透明容器中，看它們從同一高度同時(shí)下落的速度是否一樣。這樣，就容易發(fā)現(xiàn)鐵球與雞毛在空氣中下落的速度不一樣與空氣阻力作用的關(guān)系。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，我們?nèi)藶榈爻榈袅丝諝膺@個(gè)因素，排除偶然因素的干擾，“純化”了被研究的現(xiàn)象。(2)可以把容易消失的自然現(xiàn)象或在自然條件下不易出現(xiàn)的自然現(xiàn)象，人為地引發(fā)出來(lái)，并使之重復(fù)出現(xiàn)，以便于人們進(jìn)行觀察。例如，天空中的閃電，一閃即逝，不易觀察出究竟來(lái)。我們?cè)谖锢韺?shí)驗(yàn)室里可以采取人工模擬的辦法，引發(fā)閃電現(xiàn)象的重復(fù)出現(xiàn)，以便反復(fù)地進(jìn)行觀察。 　　(四)一些整理經(jīng)驗(yàn)材料的方法 　　在搜集材料的過(guò)程中，還要對(duì)材料進(jìn)行整理和研究。也就是說(shuō)，人們還要對(duì)經(jīng)驗(yàn)材料進(jìn)行思維加工，這就需要運(yùn)用理論思維的方法，即比較、分析和綜合等等。 　　1．比較法 　　比較法是在思維中用以確定對(duì)象之間相同點(diǎn)和相異點(diǎn)的邏輯方法。比較法的基本功用是辨同和別異。在進(jìn)行比較時(shí)，必須注意以下幾點(diǎn)：首先，必須在同一關(guān)系下進(jìn)行比較。比如，一個(gè)國(guó)家在使用舊貨幣時(shí)期的物價(jià)與幣制改革后使用新貨幣時(shí)的物價(jià)，就不能直接地加以比較。其次，要就對(duì)象的實(shí)質(zhì)方面進(jìn)行比較，不要因某種表現(xiàn)上的相同，而忽略實(shí)質(zhì)上的差異；也不要因表面上的差異，而忽略實(shí)質(zhì)上的相同。 　　2．分析法與綜合法 　　分析是在思維中把對(duì)象的整體分解為各個(gè)部分、方面、特性和因素而加以認(rèn)識(shí)的邏輯方法；綜合是在思維中將已有的關(guān)于對(duì)象的各個(gè)部分、方面、特性和因素的認(rèn)識(shí)聯(lián)結(jié)起來(lái)，形成關(guān)于對(duì)象的統(tǒng)一整體的認(rèn)識(shí)的邏輯方法。分析是綜合的基礎(chǔ)，而綜合則是分析的發(fā)展。 　　(五)完全歸納推理和不完全歸納推理 　　1．完全歸納推理 　　先看一個(gè)實(shí)例：當(dāng)著天文學(xué)家對(duì)太陽(yáng)系的大行星運(yùn)行軌道進(jìn)行考察的時(shí)候，他們發(fā)現(xiàn)：水星是沿著橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行的，金星是沿著橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行的，地球是沿著橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行的，火星是沿著橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行的，木星是沿著橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行的，土星是沿著橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行的，天王星是沿著橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行的，海王星是沿著橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行的，冥王星是沿著橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行的，而水星、金星、地球、火星、土星、木星、天王星、海王星、冥王星是太陽(yáng)系的全部大行星。由此，他們便得出如下結(jié)論：所有的太陽(yáng)系大行星都是沿著橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行的。這一結(jié)論，就是運(yùn)用完全歸納推理得出的。 　　可見(jiàn)，完全歸納推理是這樣一種歸納推理：根據(jù)對(duì)某類事物的全部個(gè)別對(duì)象的考察，發(fā)現(xiàn)它們每一個(gè)都具有某種性質(zhì)，因而得出結(jié)論說(shuō)：該類事物都具有某種性質(zhì)。 　　根據(jù)完全歸納推理的這一定義，它的邏輯形式可表示如下(S表示事物，P表示屬性)， 　　S1——P 　　S2——P 　　…………… 　　Sn——P 　　(S1,S2……Sn是S類的所有分子) 　　所以，S——P 　　從公式可見(jiàn)，完全歸納推理在前提中考察的是某類事物的全部對(duì)象，而不是某一部分對(duì)象，因此，其結(jié)論所斷定的范圍并未超出前提所斷定的范圍。所以其結(jié)論是根據(jù)前提必然得出的，即其前提與結(jié)論的聯(lián)系是必然的。就此而言，完全歸納推理具有演繹的性質(zhì)。 　　由于完全歸納推理要求對(duì)某類事物的全部對(duì)象一一列舉考察，所以，它的運(yùn)用是有局限性的。如果某類事物的個(gè)別對(duì)象是無(wú)限的(如天體、原子)或者事實(shí)上是無(wú)法一一考察窮盡的(如工人，學(xué)生)，它就不能適用了。這時(shí)就只能運(yùn)用不完全歸納推理了。 　　2．不完全歸納推理 　　不完全歸納推理是這樣一種歸納推理：根據(jù)對(duì)某類事物部分對(duì)象的考察，發(fā)現(xiàn)它們具有某種性質(zhì)，因而得出結(jié)論說(shuō)，該類事物都具有某種性質(zhì)。 　　第一種情況。主要根據(jù)是：所碰到的某類事物的部分對(duì)象都具有某種性質(zhì)，而沒(méi)有發(fā)現(xiàn)相反的情況。比如： 　　■《內(nèi)經(jīng)?針刺篇》記載了這樣一個(gè)故事：有一個(gè)患頭痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破足趾，出了一點(diǎn)血，但頭部不疼了。當(dāng)時(shí)他沒(méi)有引起注意。后來(lái)頭疼復(fù)發(fā)，又偶然碰破原處，頭疼又好了。這次引起了注意，以后頭疼時(shí)，他就有意刺破該處，都有效應(yīng)(這個(gè)樵夫碰的地方，即現(xiàn)在所稱的“大敦穴”)。 　　現(xiàn)在我們要問(wèn)，為什么這個(gè)樵夫以后頭疼時(shí)就想到要刺破足趾的原處呢?從故事里可見(jiàn)，這是因?yàn)樗鶕?jù)自己以往的各次個(gè)別經(jīng)驗(yàn)作出了一個(gè)有關(guān)碰破足趾能治好頭痛的一個(gè)一般性結(jié)論。在這里，就其所運(yùn)用的推理形式來(lái)說(shuō)，就是一個(gè)不完全的歸納推理。具體過(guò)程是這樣的： 　　第一次碰破足趾某處，頭痛好了， 　　第二次碰破足趾某處，頭痛好了， 　　(沒(méi)有出現(xiàn)相反的情況，即碰破足趾某處，而頭痛不好。) 　　所以，凡碰破足趾某處，頭痛都會(huì)好， 　　如用公式表示則是： 　　S1——P 　　S2——P 　　Ss——P 　　…………… 　　Sn——P 　　(S1，S2，Ss，……，Sn是S類部分對(duì)象，枚舉中未遇相反情況。) 　　所以，S——P 　　這種僅僅根據(jù)在考察中沒(méi)有碰到相反情況而進(jìn)行的不完全歸納推理，我們就稱為簡(jiǎn)單枚舉歸納推理或簡(jiǎn)稱枚舉歸納推理。 　　第二種情況。不是對(duì)某類事物的部分對(duì)象，碰到哪個(gè)就考察哪個(gè)(簡(jiǎn)單枚舉歸納推理就是如此)，而是按照事物本身的性質(zhì)和研究的需要，選擇一類事物中較為典型的個(gè)別對(duì)象加以考察；通過(guò)這種對(duì)部分對(duì)象的考察而作出某種一般性的結(jié)論時(shí)，也不只是根據(jù)沒(méi)有碰到例外相反的情況，而是分析和發(fā)現(xiàn)所考察過(guò)的某類事物的部分對(duì)象何以具有某種性質(zhì)的客觀原因和內(nèi)在必然性。建立在這種對(duì)事物進(jìn)行科學(xué)分析基礎(chǔ)上的不完全歸納推理，我們就稱之為科學(xué)歸納推理。 　　兩種不完全歸納推理的根據(jù)是完全不同的，因而它們所得出結(jié)論的性質(zhì)也是不同的。簡(jiǎn)單枚舉歸納推理所依據(jù)的僅僅是沒(méi)有發(fā)現(xiàn)相反的情況，而這一點(diǎn)對(duì)于作出一個(gè)一般性的結(jié)論來(lái)說(shuō)，是必要的，但并不是充分的。因?yàn)?，沒(méi)有碰到相反的情況，并不能排除這個(gè)相反情況存在的可能性。而只要有相反情況的存在，無(wú)論暫時(shí)碰到與否，其一般性結(jié)論就必然是錯(cuò)的?？茖W(xué)歸納推理則不同，它所根據(jù)的是對(duì)事物何以存在某種性質(zhì)的必然原因進(jìn)行科學(xué)的分析，因而它的結(jié)構(gòu)是比較可靠的。 　　(六)探求因果聯(lián)系的邏輯方法 　　排除歸納法是求因果聯(lián)系的一個(gè)常用方法，其基本思路是：考察被研究現(xiàn)象出現(xiàn)的一些場(chǎng)合，在它的先行現(xiàn)象或恒常伴隨的現(xiàn)象中去尋找它的可能的原因，然后有選擇地安排某些事例或?qū)嶒?yàn)，根據(jù)因果關(guān)系的上述特點(diǎn)，排除一些不相干的現(xiàn)象或假設(shè)，最后得到比較可靠的結(jié)論。 　　為了檢查的某種因果關(guān)系是否為真，最可靠的實(shí)驗(yàn)方法是改變?cè)蚝?，看結(jié)果是否不同，即進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，對(duì)比實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵是讓實(shí)驗(yàn)對(duì)象的其他方面的條件相同。又比如，有時(shí)兩組數(shù)據(jù)之間的數(shù)據(jù)因果并不一定有原理因果，可能兩組數(shù)據(jù)都是由其它某一種數(shù)據(jù)決定的，這就是所謂表面因果與事實(shí)因果不符。 　　Ⅰ、現(xiàn)象間的因果聯(lián)系 　　客觀世界是一個(gè)有內(nèi)在聯(lián)系的統(tǒng)一整體，其中各個(gè)對(duì)象或各個(gè)現(xiàn)象是互相密切聯(lián)系著，互相依賴著，互相制約著的。因果聯(lián)系是指原因和結(jié)果之間的聯(lián)系。如果一個(gè)現(xiàn)象的出現(xiàn)必然引起另一個(gè)現(xiàn)象的出現(xiàn)，那么，這兩個(gè)現(xiàn)象之間就有著因果聯(lián)系。引起另一現(xiàn)象出現(xiàn)的現(xiàn)象叫原因，被引起的現(xiàn)象叫結(jié)果。 　　因果聯(lián)系是世界萬(wàn)物之間普遍聯(lián)系的一個(gè)方面，科學(xué)研究的一個(gè)重要任務(wù)就是要把握事物之間的因果聯(lián)系，以便掌握事物發(fā)生、發(fā)展的規(guī)律。因果關(guān)系的主要特點(diǎn)有：一是普遍必然性，指任何現(xiàn)象都有其因，也有其果，且同因必同果，但同果卻不一定同因；二是共存性，指原因和結(jié)果總是共同變化的；三是先后性，即所謂的先因后果，但先后關(guān)系并不等于因果關(guān)系；四是復(fù)雜多樣性，指因果聯(lián)系是多種多樣的，固然有“一因一果”，但更多的時(shí)候是“多因一果”。 　　原因和結(jié)果在時(shí)間上是先后相繼的，原因總在結(jié)果之前，而結(jié)果總是在原因之后。因此，我們?cè)谔角笠蚬?lián)系時(shí)，只能從先行的情況中去找原因，從后行的情況中去找結(jié)果。不過(guò)需要注意的是：兩個(gè)現(xiàn)象在時(shí)間上的先后相繼并非都存在著因果聯(lián)系。例如，白晝和黑夜，在時(shí)間上雖是先后相繼的，但它們之間并不具有因果聯(lián)系，它們都是由于地球自轉(zhuǎn)和繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)所引起的結(jié)果。因此，在探求因果聯(lián)系時(shí)，如果只是根據(jù)兩個(gè)現(xiàn)象在時(shí)間上是先后相繼的，就作出它們之間具有因果聯(lián)系的結(jié)論，那么，這就犯了“以先后為因果”的邏輯錯(cuò)誤。 　　因果聯(lián)系是完全確定的。在同樣的條件下，同樣的原因必然產(chǎn)生同樣的結(jié)果。例如，在通常的大氣壓力的條件下，把純水加熱取攝氏一百度，它就必然會(huì)產(chǎn)生氣化的結(jié)果。 　　因果聯(lián)系是復(fù)雜的多樣的。一個(gè)現(xiàn)象的產(chǎn)生，可以是一個(gè)原因引起的，也可以是多種原因引起的。例如，日光、二氧化碳和水是使植物葉子能進(jìn)行光合作用的原因，而這三者則是植物的葉子能進(jìn)行光合作用的不可缺少的條件，這種原因叫做復(fù)合原因。忽視原因的多樣性，在實(shí)踐上會(huì)導(dǎo)致有害的后果。例如，一塊地里的農(nóng)作物生長(zhǎng)不好的原因，可以是水分不足，也可以是肥料太少，也可以是病蟲(chóng)害等等。如果我們忽略了原因的多樣性，只注意一種原因，比如，只注意施肥料，那就可能會(huì)導(dǎo)致減產(chǎn)的后果。因此，人們?cè)谔角笠蚬?lián)系時(shí)，特別應(yīng)當(dāng)注意復(fù)雜現(xiàn)象的構(gòu)成原因或結(jié)果。 　?、颉⑻角蟋F(xiàn)象間因果聯(lián)系的方法 　　1.求同法(或稱契合法) 　　我們常常發(fā)現(xiàn)一些同志身體很好，很結(jié)實(shí)。原因是什么呢?他們的情況各不相同，有的是教師，有的是學(xué)生，有的是工人；有的原來(lái)體質(zhì)較好，有的原來(lái)體質(zhì)較差；他們的工作條件、生活條件、學(xué)習(xí)條件也各不相同……。但發(fā)現(xiàn)他們卻有一個(gè)共同的情況，他們都持之以恒地鍛煉身體。由此，我們可以作出結(jié)論，持之以恒地鍛煉身體是他們身體好的原因，至少是身體好的部分原因。這里就有著求同法的應(yīng)用。 　　可見(jiàn)，求同法是這樣一種方法，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)某一現(xiàn)象出現(xiàn)在幾種不同的場(chǎng)合，而在這些場(chǎng)合里，只有一個(gè)條件是相同的(其他條件均不相同)，這樣，我們就可以推斷說(shuō)，這個(gè)相同條件就是各個(gè)場(chǎng)合出現(xiàn)的那個(gè)共同現(xiàn)象的原因?？梢杂眠@樣一個(gè)公式來(lái)表示它： 　　場(chǎng)合 先行情況 被研究現(xiàn)象 　　(1) A、B、C a 　　(2) A、D、E a 　　(3) A、F、G a 　　… … … 　　所以，A是a的原因(或結(jié)果) 　　下面再舉兩個(gè)求同法的例子： 　　例：在十九世紀(jì)，人們還不知道為什么某些人的甲狀腺會(huì)腫大，后來(lái)人們對(duì)甲狀腺腫大盛行的地區(qū)進(jìn)行調(diào)查和比較時(shí)發(fā)現(xiàn)，這些地區(qū)的人口、氣候、風(fēng)俗等狀況各不相同，然而有一個(gè)共同情況，即土壤和水流中缺碘，居民的食物和飲水也缺碘，由此作出結(jié)論：缺碘是引起甲狀腺腫大的原因。 　　例：某人晚上看了兩小時(shí)書(shū)，喝了幾杯濃茶，結(jié)果失眠了；第二天他同樣看書(shū)，抽了許多煙，也失眠了；第三天他也看了兩小時(shí)書(shū)，喝了大量咖啡，也失眠了?？磥?lái)晚上看書(shū)容易引起失眠。 　　應(yīng)用求同法所得到的認(rèn)識(shí)(即找出的原因)并不都是正確的。因?yàn)樵诟鞣N不同場(chǎng)合里存在的共同條件可能不止一個(gè)，而作為真正原因的某一共同條件可能正好被忽視了。因此，通過(guò)求同法所得到的認(rèn)識(shí)，應(yīng)當(dāng)通過(guò)實(shí)踐或用其他方法去進(jìn)一步檢驗(yàn)。但是，求同法為我們提供了找到現(xiàn)象原因的線索。所以，它作為一種發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象因果聯(lián)系的方法，在科學(xué)研究和日常生活中經(jīng)常被人們應(yīng)用著 　　2.求異法(或稱差異法) 　　求異法是這樣一種方法：如果某一現(xiàn)象在一種場(chǎng)合下出現(xiàn)，而另場(chǎng)合下不出現(xiàn)，但在這兩種場(chǎng)合里，其他條件都相同，只有一個(gè)條件不同(在某現(xiàn)象出現(xiàn)的場(chǎng)合里有這個(gè)條件，而在某現(xiàn)象不出現(xiàn)的那一場(chǎng)合里則沒(méi)有這個(gè)條件)，那么，這唯一不同的條件，就是某現(xiàn)象產(chǎn)生的原因。 　　求異法可用下述公式來(lái)表示： 　　場(chǎng)合 先行情況 被研究現(xiàn)象 　　(1) A、B、C a 　　(2) -、B、C - 　　所以，A是a的原因(或結(jié)果) 　　求異法在科學(xué)研究中，特別是科學(xué)試驗(yàn)中，是一種被廣泛運(yùn)用的方法。下面舉例說(shuō)明： 　　■據(jù)報(bào)導(dǎo)，在一些國(guó)家里，大氣污染極為嚴(yán)重，不僅嚴(yán)重影響人們的身體健康，也影響農(nóng)作物的產(chǎn)量和樹(shù)木的成長(zhǎng)，如使白楊樹(shù)提早落葉等等。有一個(gè)國(guó)家的研究人員曾在環(huán)境暴露室中的兩間實(shí)驗(yàn)室里做過(guò)下面的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：將大氣中被污染的空氣放入一間實(shí)驗(yàn)室里，而在另一間的入氣孔上裝上活性碳過(guò)濾器等清除污染物的裝置，使送入的空氣變?yōu)闈崈舻目諝?。兩間實(shí)驗(yàn)室中的土壤、水分、濕度、日照時(shí)間等與植物生長(zhǎng)有關(guān)的其他條件完全相同。在兩間實(shí)驗(yàn)室里，分別栽上同樣的白楊十五株。四個(gè)月之后，在空氣潔凈的實(shí)驗(yàn)室里，十五株白揚(yáng)新長(zhǎng)出的莖平均高二米九五，而在污染室中，新莖的平均高度只有二米零九；葉數(shù)前者平均為七十一片，后者僅為二十六片。而且，前者在九月上旬葉子還在繼續(xù)生長(zhǎng)，而后者在八月初即開(kāi)始落葉。這清楚表明：白楊樹(shù)提早落葉的原因是大氣污染。 　　■我們可以在種植同一作物的同一塊田上，一部分用某種肥料，一部分不用。因此，就可以清楚地通過(guò)作物的不同增產(chǎn)結(jié)果來(lái)判明施放這種肥料后的顯著效果。 　　3.求同求異并用法 　　求同求異并用法是這樣一種方法，考察兩組事例，一組是由被研究現(xiàn)象出現(xiàn)的若干場(chǎng)合組成的，稱之為正事例組；一組是由被研究現(xiàn)象不出現(xiàn)的若干場(chǎng)合組成的，稱之為負(fù)事例組。如果在正事例組的各場(chǎng)合中只有一個(gè)共同的情況并且它在負(fù)事例組的各場(chǎng)合中又都不存在，那么，這個(gè)情況就是被研究現(xiàn)象的原因。下面是求同求異并用法的一個(gè)例子： 　　■很久以來(lái)，人們發(fā)現(xiàn)有些鳥(niǎo)能遠(yuǎn)航萬(wàn)里而不迷失方向。原因是什么呢?人們對(duì)此曾作過(guò)不少的猜測(cè)，但都沒(méi)有得到證實(shí)。近年來(lái)，科學(xué)工作者發(fā)現(xiàn)每當(dāng)天晴能見(jiàn)到太陽(yáng)時(shí)，這些鳥(niǎo)都能確定其飛行的正確方向；反之，每當(dāng)天陰見(jiàn)不到太陽(yáng)時(shí)，它們就迷失方向。由此，科學(xué)工作者作出結(jié)論說(shuō)，有些鳥(niǎo)能遠(yuǎn)航萬(wàn)里而不迷失方向的原因是利用太陽(yáng)來(lái)定向的。 　　4.共變法 　　共變法是指：在其他條件不變的情況下，如果一個(gè)現(xiàn)象發(fā)生變化，另一個(gè)現(xiàn)象就隨之發(fā)生變化，那么，前一現(xiàn)象就是后一現(xiàn)象的原因或部分原因。比如，氣溫上升了，放置在器皿中的水銀體積就膨脹了；氣溫下降了，水銀體積就縮小了。根據(jù)氣溫與水銀體積的共變關(guān)系，我們就可推斷說(shuō)，氣溫的升降是水銀體積膨脹或收縮的原因。 　　共變法可用下述公式來(lái)表示： 　　場(chǎng)合 先行情況 被研究現(xiàn)象 　　(1) A1、B、C、D a1 　　(2) A2、B、C、D a2 　　(3) A3、B、C、D a3 　　… …… … 　　所以，A是a的原因(或結(jié)果) 　　下例也是共變法的應(yīng)用： 　　■地區(qū)磁場(chǎng)發(fā)生磁暴的周期性經(jīng)常與太陽(yáng)黑子的周期一致。隨著太陽(yáng)黑子數(shù)目的增加，磁 暴的強(qiáng)度增大。當(dāng)太陽(yáng)黑子的數(shù)目減少時(shí)，磁暴的強(qiáng)度降低。所以科學(xué)家推測(cè)，太陽(yáng)黑子的出現(xiàn)可能是磁暴的原因。 　　■在50年代，我國(guó)森林覆蓋率為19％，60年代為11％，70年代為6％，80年代不到4％。隨著森林覆蓋率的逐年減少，植被大量破壞，削弱了土地對(duì)雨水的攔蓄作用，一下暴雨，水卷泥沙滾滾而下，使洪澇災(zāi)害逐年嚴(yán)重。可見(jiàn)，森林資源的破壞，是釀成洪災(zāi)的原因。 　　以下哪項(xiàng)使用的方法與上文最類似? 　　A、敲鑼有聲，吹簫有聲，說(shuō)話有聲。這些發(fā)聲現(xiàn)象都伴有物體上空氣的振動(dòng)，因而可以斷定物體上空氣的振動(dòng)是發(fā)聲的原因。 　　B、把一群雞分為兩組，一組喂精白米，雞得一種病，腳無(wú)力，不能行走，癥狀與人的腳氣病相似。另一組用帶殼稻米喂，雞不得這種病。由此推測(cè)帶殼稻米中某些精白米中所沒(méi)有的東西是造成腳氣病的原因。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，這種東西就是維生素B1。 　　C、意大利的雷地反復(fù)進(jìn)行一個(gè)實(shí)驗(yàn)，在4個(gè)大口瓶里，放進(jìn)肉和魚(yú)，然后蓋上蓋或蒙上紗布，蒼蠅進(jìn)不去，一個(gè)蛆都沒(méi)有。另4個(gè)大口瓶里，放進(jìn)同樣的肉和魚(yú)，敞開(kāi)瓶口，蒼蠅飛進(jìn)去產(chǎn)卵，腐爛的肉和魚(yú)很快生滿了蛆。可見(jiàn)，蒼蠅產(chǎn)卵是魚(yú)肉腐爛生蛆的原因。 　　D、在有空氣的玻璃罩內(nèi)通電擊鈴，隨著抽出空氣量的變化，鈴聲越來(lái)越小，若把空氣全抽出，則完全聽(tīng)不到鈴聲?？梢?jiàn)，聲音是靠空氣傳播的。 　　[解題分析] 正確答案：D 　　因?yàn)镈和題干都使用求因果聯(lián)系的共變法。 　　5.剩余法 　　所謂剩余法指的是：如果某一復(fù)合現(xiàn)象是由另一復(fù)合原因所引起的，那么，把其中確認(rèn)有因果聯(lián)系的部分減去，則剩下的部分也必然有因果聯(lián)系。 　　■自然科學(xué)史上有這樣一個(gè)例子：1846年前，一些天文學(xué)家在觀察天王星的運(yùn)行軌道時(shí)，發(fā)現(xiàn)它的運(yùn)行軌道和按照已知行星的引力計(jì)算出來(lái)的它應(yīng)運(yùn)行的軌道不同——發(fā)生了幾個(gè)方面的偏離。經(jīng)過(guò)觀察分析，知道其他幾方面的偏離是由已知的其他幾顆行星的引力所引起的，而另一方面的偏離則原因不明。這時(shí)天文學(xué)家就考慮到：既然天王星運(yùn)行軌道的各種偏離是由相關(guān)行星的引力所引起的，現(xiàn)在又知其中的幾方面偏離是由另幾顆行星的引力所引起的，那么，剩下的一處偏離必然是由另一個(gè)未知的行星的引力所引起的。后來(lái)有的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家并據(jù)此推算出了這個(gè)未知行星的位置。1846年按照這個(gè)推算的位置進(jìn)行觀察，果然發(fā)現(xiàn)了一顆新的行星——海王星。 　　在這個(gè)過(guò)程中就有剩余法的明顯運(yùn)用。就這個(gè)例子來(lái)說(shuō)，復(fù)合現(xiàn)象指天王星運(yùn)行軌道的各處偏離(設(shè)為甲、乙、丙、丁四處偏離)，復(fù)合原因指各行星對(duì)天王星的引力(設(shè)為A、B、C、D四顆行星)，通過(guò)觀察，已經(jīng)知道偏離甲由行星A所引起，偏離乙由行星B所引起，偏離丙由行星C所引起。那么剩下的部分，即偏離丁必為未知行星D所引起。 　　剩余法可用下述公式來(lái)表示： 　　已知復(fù)合現(xiàn)象F(A、B、C)是被研究現(xiàn)象K(a、b、c)的原因 　　已知，B是b的原因 　　C是c的原因 　　所以，A是a的原因(或部分原因) 　　剩余法也是科學(xué)研究中常用的一種邏輯方法。比如： 　　■居里夫人對(duì)鐳的發(fā)現(xiàn)就是運(yùn)用這一方法的又一典型例子。居里夫人在對(duì)瀝青鈾礦的實(shí)驗(yàn)研究中，發(fā)現(xiàn)它所放出的射線比純鈾放出的強(qiáng)得多，純鈾不足以說(shuō)明這種復(fù)雜現(xiàn)象，還有一個(gè)剩余部分，這剩余部分必然還有另外的原因(這原因必然存在于瀝青鈾礦中)。據(jù)此，她再反復(fù)研究，后來(lái)果然發(fā)現(xiàn)在瀝青鈾礦中還有一種新的放射性元素——鐳。 　　對(duì)求因果聯(lián)系的方法現(xiàn)再舉一例說(shuō)明，請(qǐng)認(rèn)真體會(huì)： 　　■有人作過(guò)一個(gè)十分有趣的統(tǒng)計(jì)：過(guò)去幾百年間流傳至今的466幅圣母瑪利亞的畫(huà)像中，有373幅里的耶蘇是在左邊吸吮圣母的乳汁的，這一數(shù)字大約是全部被統(tǒng)計(jì)畫(huà)幅的80%左右。 　　藝術(shù)是生活的概括，如果你稍微注意的話，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)母親喂奶時(shí)，也是把嬰兒抱在自己的左邊。據(jù)心理學(xué)家統(tǒng)計(jì)，80%的母親都是把嬰兒抱在左邊的。 　　為什么會(huì)這樣？為此，有個(gè)心理學(xué)家做了以下的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)： 　　一個(gè)實(shí)驗(yàn)是讓一些嬰兒間斷地聽(tīng)每分鐘72次心跳錄音。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這些嬰兒在不聽(tīng)錄音時(shí)啼哭時(shí)間是60%，而在聽(tīng)錄音時(shí)，就比較安靜，啼哭的時(shí)間降至38%。 　　另一個(gè)實(shí)驗(yàn)是任選四組嬰兒，每組人數(shù)相同，把他們放在聲音環(huán)境不同的房間里。第一個(gè)房間保持寂靜；第二個(gè)房間放催眠曲；第三個(gè)房間放模擬的心跳聲；第四個(gè)房間放真實(shí)的心跳聲的錄音。用這樣的方法，試驗(yàn)一下哪一個(gè)房間的嬰兒最先入睡。結(jié)果是第四個(gè)房間的嬰兒，只用了其他房間中嬰兒入睡所需時(shí)間的一半，就進(jìn)入夢(mèng)鄉(xiāng)。然后依次是第三個(gè)房間、第二個(gè)房間、第一個(gè)房間里的嬰兒先后入睡。這個(gè)實(shí)驗(yàn)不但證明心跳聲是一種有很強(qiáng)鎮(zhèn)靜作用的外界刺激，而且表明模擬的心跳聲的效果不如真的心跳聲的效果。 　　分析：在這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中，心理學(xué)家所作的第一個(gè)實(shí)驗(yàn)運(yùn)用的是求同法，第二個(gè)實(shí)驗(yàn)運(yùn)用的共變法。通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明聽(tīng)到母親的心跳聲對(duì)嬰兒有某種撫慰的作用。 2類比推理 類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象在某些屬性上相同，推斷出它們?cè)诹硗獾膶傩陨?這一屬性已為類比的一個(gè)對(duì)象所具有，另一個(gè)類比的對(duì)象那里尚未發(fā)現(xiàn))也相同的一種推理。 　　據(jù)科學(xué)史上的記載，光波概念的提出者，荷蘭物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家赫爾斯坦?惠更斯曾將光和聲這兩類現(xiàn)象進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它們具有一系列相同的性質(zhì)：如直線傳播、有反射和干擾等。又已知聲是由一種周期運(yùn)動(dòng)所引起的、呈波動(dòng)的狀態(tài)，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波動(dòng)狀態(tài)的屬性，從而提出了光波這一科學(xué)概念。惠更斯在這里運(yùn)用的推理就是類比推理。類比推理的結(jié)構(gòu)，可表示如下： 　　A有屬性a、b、c、d 　　B有屬性a、b、c 　　所以，B有屬性d 　　類比推理的客觀根據(jù)是什么呢?在客觀現(xiàn)實(shí)里，事物的各個(gè)屬性并不是孤立的，而是相互聯(lián)系和相互制約的。因此，如果兩個(gè)事物在一系列屬性上相同或相似，那么，它們?cè)诹硪恍傩陨弦部赡芟嗤蛳嗨啤ｎ惐韧评淼慕Y(jié)論是否可靠呢?這要看進(jìn)行類比的兩個(gè)或兩類事物所具有的共同屬性與類推屬性之間是否有必然的聯(lián)系。如果有，用類比推理所得到的認(rèn)識(shí)就是可靠的，否則就是不可靠的。由此可見(jiàn)，類比推理的結(jié)論只具有或然性，即可能真，也可能假。類比推理盡管其前提是真實(shí)的，也不能保證結(jié)論的真實(shí)性。這是因?yàn)椋珹和B畢竟是兩個(gè)對(duì)象，它們盡管在一系列屬性上是相同的，但仍存在著差異性，這種差異性有時(shí)就表現(xiàn)為A對(duì)象具有某屬性，而B(niǎo)對(duì)象不具有某屬性。如何提高類比推理的結(jié)論的可靠性呢?第一，前提中確認(rèn)的相同屬性愈多，那么結(jié)論的可靠程度也就愈大；第二，前提中確認(rèn)的相同屬性愈是本質(zhì)的，相同屬性與要推出的屬性之間愈是相關(guān)的，那么結(jié)論的可靠程度也就愈大。 　　要特別注意，不能將兩個(gè)或兩類本質(zhì)不同的事物，按其表面的相似來(lái)機(jī)械地加以比較而得出某種結(jié)論，否則就要犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤。例如，基督教神學(xué)家們就曾用機(jī)械類比來(lái)“證明”上帝的存在。在他們看來(lái)，宇宙是由許多部分構(gòu)成的一個(gè)和諧的整體，正如同鐘表是由許多部分構(gòu)成的和諧整體一樣，而鐘表有一個(gè)創(chuàng)造者，所以，宇宙也有一個(gè)創(chuàng)造者——上帝。這就是把兩類根本性質(zhì)不同的對(duì)象，按其表面相似之處，機(jī)械地加以類比。這種類比顯然是錯(cuò)誤的，不合邏輯的。 　　例1、一般人總會(huì)這樣認(rèn)為，既然人工智能這門(mén)新興學(xué)科是以模擬人的思維為目標(biāo)，那么，就應(yīng)該深入地研究人思維的生理機(jī)制和心理機(jī)制。其實(shí)，這種看法很可能誤導(dǎo)這門(mén)新興學(xué)科。如果說(shuō)，飛機(jī)發(fā)明的最早靈感是來(lái)自于鳥(niǎo)的飛行原理的話，那么，現(xiàn)代飛機(jī)從發(fā)明、設(shè)計(jì)、制造到不斷改進(jìn)，沒(méi)有哪一項(xiàng)是基于對(duì)鳥(niǎo)的研究之上的。 　　上述議論，最可能把人工智能的研究，比作以下哪項(xiàng)? 　　A. 對(duì)鳥(niǎo)的飛行原理的研究。 　　B. 對(duì)鳥(niǎo)的飛行的模擬。 　　C. 飛機(jī)的不斷改進(jìn)。 　　D. 飛機(jī)的設(shè)計(jì)制造。 　　[解題分析] 正確答案：D。 　　題干所作的類比分析是：飛機(jī)的發(fā)明、設(shè)計(jì)制造和改進(jìn)并非基于對(duì)鳥(niǎo)的研究，因此，人工智能的研究也不應(yīng)基于對(duì)人思維的生理和心理機(jī)制的研究。顯然，這里，把對(duì)人思維的生理和心理機(jī)制的研究，比作對(duì)鳥(niǎo)的研究；把人工智能的研究，比作飛機(jī)的發(fā)明、設(shè)計(jì)制造和改進(jìn)。D項(xiàng)和C項(xiàng)都和題干的上述類比相關(guān)，但顯然D項(xiàng)比C項(xiàng)作為題干中人工智能研究的類比對(duì)象更為恰當(dāng)。 　　例2、小光和小明是一對(duì)孿生兄弟，剛上小學(xué)一年級(jí)。一次，他們的爸爸帶他們?nèi)ッ茉扑畮?kù)游玩，看到了野鴨子。小光說(shuō)：“野鴨子吃小魚(yú)?！毙∶髡f(shuō)：“野鴨子吃小蝦?！备鐐z說(shuō)著說(shuō)著就爭(zhēng)論起來(lái)，非要爸爸給評(píng)評(píng)理。爸爸知道他們倆說(shuō)得都不錯(cuò)，但沒(méi)有直接回答他們的問(wèn)題，而是用例子來(lái)進(jìn)行比喻。說(shuō)完后，哥倆都服氣了。 　　以下哪項(xiàng)最可能是爸爸講給兒子們聽(tīng)的話？ 　　A. 一個(gè)人的愛(ài)好是會(huì)變化的。爸爸小時(shí)候很愛(ài)吃糖，你奶奶管也管不住。到現(xiàn)在，你讓我吃我都不吃。 　　B. 什么事兒都有兩面性。咱們家養(yǎng)了貓，耗子就沒(méi)了。但是，如果貓身上長(zhǎng)了跳蚤也是很討厭的。 　　C. 動(dòng)物有時(shí)也通人性。有時(shí)主人喂它某種飼料吃得很好，若是陌生人喂，怎么也不吃。 　　D. 你們兄弟倆的愛(ài)好幾乎一樣，只是對(duì)飲料的愛(ài)好不同。一個(gè)喜歡可樂(lè)，一個(gè)喜歡雪碧。你媽媽就不在乎，可樂(lè)、雪碧都行。 　　[解題分析] 正確答案：D。 　　在題干中，兩人說(shuō)的“野鴨子吃小魚(yú)”和“野鴨子吃小蝦”都有可能性，可能一部分野鴨子吃小魚(yú)，另一部分野鴨子吃小蝦，也可能是野鴨子既吃小魚(yú)又吃小蝦。所以兩個(gè)孩子的話并不矛盾，他們只是片面地看到了野鴨子某一種行為，各執(zhí)一詞，爭(zhēng)論不休。在D中，爸爸用哥倆各有偏好和媽媽既喝可樂(lè)又喝雪碧的例子進(jìn)行類比，說(shuō)明同一個(gè)群體的不同個(gè)體可能有不同偏好，一個(gè)主體也可以有不同的行為。由于比喻恰當(dāng)，哥倆也就服氣了。選項(xiàng)C、D用的不是比喻，與題干不符。選項(xiàng)A雖然用了比喻，但是說(shuō)的是小孩和大人的區(qū)別，而題干中并未討論小鴨子和大鴨子。選B不妥，因?yàn)锽變的是事物的兩面性，含有人的主觀評(píng)價(jià)，與題干的含義相距較遠(yuǎn)。 小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了歸納推理與類比推理. 合情推理 一、三維目標(biāo)： （一）知識(shí)與能力： 1. 通過(guò)對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，進(jìn)一步體會(huì)合情推理這種基本的分析問(wèn)題法，認(rèn)識(shí)歸納推理和類比推理這兩種合情推理的基本方法，并把它們用于對(duì)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)中去。 2. 明確歸納推理的一般步驟和類比推理的一般步驟，并把這些方法用于實(shí)際問(wèn)題的解決中去。 （二）過(guò)程與方法： 1. 歸納推理是從特殊到一般的推理方法，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。 2. 類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。 （三）情感態(tài)度與價(jià)值觀： 1. 正確認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開(kāi)始認(rèn)真觀察事物、分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個(gè)性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探求新知識(shí)。 2. 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識(shí)。 二、教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。 三、教學(xué)難點(diǎn)：用歸納和類比進(jìn)行推理，做出猜想。 四、教具準(zhǔn)備：多媒體課件、與教材內(nèi)容相關(guān)的資料 五、課時(shí)安排：1課時(shí) 六、教學(xué)過(guò)程： 【問(wèn)題探究：】 （1） 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，記，試通過(guò)計(jì)算的值，推測(cè)出的值。 （2） 若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則。現(xiàn)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，類比以上結(jié)論，可得到什么結(jié)論？你能說(shuō)明結(jié)論的正確性嗎？ 【學(xué)生討論：】（學(xué)生討論結(jié)果預(yù)測(cè)如下） （1） 由此猜想， （2）結(jié)論： 證明：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以 所以 【學(xué)生回答：】（學(xué)生思考并回答） 【歸納總結(jié)：】（學(xué)生回答后歸納總結(jié)） 七、教學(xué)小結(jié)： 1. 歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。 2. 歸納推理的一般步驟： ① 通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)。 ② 從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）。 3. 類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。 4. 類比推理的一般步驟： ① 找出兩類事物之間的相似性或者一致性。 ② 用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）。 八、雙基練習(xí)： 1. 已知，經(jīng)計(jì)算: ，推測(cè)當(dāng)時(shí)，有__________________________ 2. 已知：，。觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出一般性的命題，并證明之。 3. 觀察（1） （2）。 由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫(xiě)出你的推論。 4. 在中，若請(qǐng)?jiān)诳臻g中類比給出四面體性質(zhì)的猜想。 5. 在中，若則的外接圓半徑，把此結(jié)論類比到空間，寫(xiě)出類似的結(jié)論。 6. 若，則不等式成立。此不等式能推廣嗎？請(qǐng)你至少寫(xiě)出兩個(gè)不同類型的推廣。 演繹推理 教學(xué)目標(biāo)： 結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理。 教學(xué)重點(diǎn)： 掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理。 教學(xué)過(guò)程 一、 復(fù)習(xí) 二、 引入新課 1．假言推理 假言推理是以假言判斷為前提的演繹推理。假言推理分為充分條件假言推理和必要條件假言推理兩種。 （1）充分條件假言推理的基本原則是：小前提肯定大前提的前件，結(jié)論就肯定大前提的后件；小前提否定大前提的后件，結(jié)論就否定大前提的前件。 （2）必要條件假言推理的基本原則是：小前提肯定大前提的后件，結(jié)論就要肯定大前提的前件；小前提否定大前提的前件，結(jié)論就要否定大前提的后件。 2．三段論 三段論是指由兩個(gè)簡(jiǎn)單判斷作前提和一個(gè)簡(jiǎn)單判斷作結(jié)論組成的演繹推理。三段論中三個(gè)簡(jiǎn)單判斷只包含三個(gè)不同的概念，每個(gè)概念都重復(fù)出現(xiàn)一次。這三個(gè)概念都有專門(mén)名稱：結(jié)論中的賓詞叫“大詞”，結(jié)論中的主詞叫“小詞”，結(jié)論不出現(xiàn)的那個(gè)概念叫“中詞”，在兩個(gè)前提中，包含大詞的叫“大前提”，包含小詞的叫“小前提”。 3.關(guān)系推理 指前提中至少有一個(gè)是關(guān)系判斷的推理，它是根據(jù)關(guān)系的邏輯性質(zhì)進(jìn)行推演的。可分為純關(guān)系推理和混合關(guān)系推理。純關(guān)系推理就是前提和結(jié)論都是關(guān)系判斷的推理，包括對(duì)稱性關(guān)系推理、反對(duì)稱性關(guān)系推理、傳遞性關(guān)系推理和反傳遞性關(guān)系推理。 (1) 對(duì)稱性關(guān)系推理是根據(jù)關(guān)系的對(duì)稱性進(jìn)行的推理。 (2) 反對(duì)稱性關(guān)系推理是根據(jù)關(guān)系的反對(duì)稱性進(jìn)行的推理。 (3) 傳遞性關(guān)系推理是根據(jù)關(guān)系的傳遞性進(jìn)行的推理。 (4) 反傳遞性關(guān)系推理是根據(jù)關(guān)系的反傳遞性進(jìn)行的推理。 4. 完全歸納推理是這樣一種歸納推理：根據(jù)對(duì)某類事物的全部個(gè)別對(duì)象的考察，已知它們都具有某種性質(zhì)，由此得出結(jié)論說(shuō)：該類事物都具有某種性質(zhì)。 完全歸納推理可用公式表示如下： S1具有（或不具有）性質(zhì)P S2具有（或不具有）性質(zhì)P…… Sn具有（或不具有）性質(zhì)P （S1S2……Sn是S類的所有個(gè)別對(duì)象 所以，所有S都具有（或不具有）性質(zhì)P 可見(jiàn)，完全歸納推理的基本特點(diǎn)在于：前提中所考察的個(gè)別對(duì)象，必須是該類事物的全部個(gè)別對(duì)象。否則，只要其中有一個(gè)個(gè)別對(duì)象沒(méi)有考察，這樣的歸納推理就不能稱做完全歸納推理。完全歸納推理的結(jié)論所斷定的范圍，并未超出前提所斷定的范圍。所以，結(jié)論是由前提必然得出的。應(yīng)用完全歸納推理，只要遵循以下兩點(diǎn)，那末結(jié)論就必然是真實(shí)的：（1）對(duì)于個(gè)別對(duì)象的斷定都是真實(shí)的；（2）被斷定的個(gè)別對(duì)象是該類的全部個(gè)別對(duì)象。 小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了演繹推理的基本模式. 類比推理分類例析 　　類比推理是各種邏輯思維方法中最富于創(chuàng)造性的一種方法．這是因?yàn)轭惐韧评聿幌髿w納推理那樣局限于同類事物，也不象演繹推理那樣受到一般原理的嚴(yán)格制約．它可以跨越各類事物的界限，進(jìn)行不同事物的類比，既可以比較事物的非本質(zhì)屬性（如形式和研究方法），又可以比較事物的本質(zhì)屬性．現(xiàn)例析如下： 　　一、外在形式和表面現(xiàn)象的類比 　　例1　在中，兩直角邊，，斜邊上的高為，則． 該結(jié)論的證明很簡(jiǎn)單．類比它，在立體幾何中有何發(fā)現(xiàn)？ 解：我們猜想，在立體幾何中，也有類似的一個(gè)公式： 在三棱錐中，若三條側(cè)棱、、兩兩垂直，且長(zhǎng)度分別為，頂點(diǎn)到底面的距離，則． 證明如下：如圖1，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)， ∵，， ∴平面， ∴，． ∵平面，∴， ∴平面，∴． ∵， ∴在中，， 在中，． ∴， 即． 結(jié)論中的三條側(cè)棱兩兩垂直，可等價(jià)變?yōu)槿齻€(gè)側(cè)面兩兩垂直． 　　評(píng)注：本題是從二維平面到三維空間的一個(gè)升維類比，僅從形式上就可得出類比的結(jié)論，正確與否必須證明． 例2　已知橢圓具有性質(zhì)：若是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上除點(diǎn)外的任一點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率都存在，并記為、時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線寫(xiě)出類似的性質(zhì)，并加以證明． 　　解：類似性質(zhì)為：若是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，是雙曲線上除點(diǎn)外的任一點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率都存在，并記為、時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值． 　　證明如下：設(shè)點(diǎn)，，則． 　　∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，． 　　故（定值）． 　　評(píng)注：本題是由橢圓到雙曲線的同級(jí)類比，僅從表面形式上便可得出類比的結(jié)論，敘述時(shí)要與原結(jié)論保持形式上的一致 　　二、研究方法上的類比 　　例3　已知命題：“若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則．”現(xiàn)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，若類比上述結(jié)論，則可得到_ ____． 　　解：設(shè)公差為，則， 　　∴． 　　類比此推導(dǎo)方法易知：設(shè)公比為， 　　由知，， 　　∴，∴． 　　故應(yīng)填． 　　評(píng)注：本題從形式上難以類比出結(jié)論，但從已知結(jié)論的推導(dǎo)方法上不難類比得到等比數(shù)列的推導(dǎo)方法，從而推導(dǎo)出結(jié)論．所以本題更加注重研究方法和思路上的類比． 　　三、本質(zhì)上的類比 　　例4　如圖2所示，圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓交軸正半軸于點(diǎn)、是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿圓周作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛎棵朕D(zhuǎn)，點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛎棵朕D(zhuǎn)，試求它們第5次相遇時(shí)各自轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)． 　　解：由點(diǎn)的角速度分別為弧度/秒，弧度/秒，易知第5次相遇點(diǎn)共轉(zhuǎn)過(guò)了5周，即弧度，設(shè)時(shí)間為秒，由知，（秒），所以轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)分別為（弧度），（弧度）． 評(píng)注：本題是圓周上的相向運(yùn)動(dòng)．類比直線上相向運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)規(guī)律：距離之和＝速度之和時(shí)間，易得圓周上相向運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)規(guī)律：角的弧度數(shù)之和＝角速度之和時(shí)間，貌似復(fù)雜的問(wèn)題抓住本質(zhì)就可迎刃而解． 演繹推理“防疫站” 　　防疫一：偷換論題 　　例1　求證：四邊形的內(nèi)角和等于360． 　　證明：設(shè)四邊形是矩形，則它的四個(gè)角都是直角 有， 　　所以，四邊形的內(nèi)角和等于． 　　剖析：上述推理過(guò)程是錯(cuò)誤的，犯了偷換論題的錯(cuò)誤．在證明過(guò)程中，把論題中的四邊形改為了矩形 　　防疫二：虛假論據(jù) 　　例2　已知和是無(wú)理數(shù)，試證：＋也是無(wú)理數(shù)． 　　證明：依題設(shè)和是無(wú)理數(shù)， 　　而無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)， 　　所以＋也是無(wú)理數(shù) 　　剖析：上述推理過(guò)程是錯(cuò)誤的，犯了虛假論據(jù)的錯(cuò)誤．使用的論據(jù)是“無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)”，這個(gè)論據(jù)是假的，因?yàn)閮蓚€(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù)． 　　防疫三：循環(huán)論證 　　例3　在中，，求證：． 　　證明：因?yàn)椋? 　　所以． 　　剖析：上述推理過(guò)程是錯(cuò)誤的，犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤．本題的論證就是人們熟知的勾股定理．上述證明中用了“”這個(gè)公式，按照現(xiàn)行中學(xué)教材系統(tǒng)，這個(gè)公式是由勾股定理推出來(lái)的，這就間接地用待證命題的真實(shí)性作為證明的論據(jù)，犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤． 　　防疫四：推理錯(cuò)誤 例4 設(shè)，且，，． 求證：． 　　證明：因?yàn)? 　　 ， 　　所以． 　　剖析：上述推理過(guò)程是錯(cuò)誤的，犯了不能推出的錯(cuò)誤．因?yàn)橹荒芡瞥觯ǎ劣陉P(guān)系式是否惟一地成立，卻無(wú)法斷定．因此，只有進(jìn)一步推出，即，原題才能得證．