2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）2.1《合情推理與演繹推理》word教案4篇.doc

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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）2.1《合情推理與演繹推理》word教案4篇 教學(xué)目標(biāo)： 結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 教學(xué)重點(diǎn)： 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 教學(xué)過程 一、引入新課 1歸納推理 (一)什么是歸納推理 　　歸納推理的前提是一些關(guān)于個(gè)別事物或現(xiàn)象的命題，而結(jié)論則是關(guān)于該類事物或現(xiàn)象的普遍性命題。歸納推理的結(jié)論所斷定的知識(shí)范圍超出了前提所斷定的知識(shí)范圍，因此，歸納推理的前提與結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的。也就是說，其前提真而結(jié)論假是可能的，所以，歸納推理乃是一種或然性推理 　　拿任何一種草藥來說吧，人們?yōu)槭裁磿?huì)發(fā)現(xiàn)它能治好某種疾病呢?原來，這是經(jīng)過我們先人無數(shù)次經(jīng)驗(yàn)(成功的或失敗的)的積累的。由于某一種草無意中治好了某一種病，第二次，第三次，……都治好了這一種病，于是人們就把這幾次經(jīng)驗(yàn)積累起來，做出結(jié)論說，“這種草能治好某一種病?！边@樣，一次次個(gè)別經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)就上升到對這種草能治某一種病的一般性認(rèn)識(shí)了。這里就有著歸納推理的運(yùn)用。 　　(二)歸納推理與演繹推理的區(qū)別和聯(lián)系 　　歸納推理與演繹推理的主要區(qū)別是：首先，從思維運(yùn)動(dòng)過程的方向來看，演繹推理是從一般性的知識(shí)的前提推出一個(gè)特殊性的知識(shí)的結(jié)論，即從一般過渡到特殊；而歸納推理則是從一些特殊性的知識(shí)的前提推出一個(gè)一般性的知識(shí)的結(jié)論，即從特殊過渡到一般。其實(shí)，從前提與結(jié)論聯(lián)系的性質(zhì)來看，演繹推理的結(jié)論不超出前提所斷定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的，即其前提真而結(jié)論假是不可能的。一個(gè)演繹推理只要前提真實(shí)并且推理形式正確，那么，其結(jié)論就必然真實(shí)。而歸納推理(完全歸納推理除外)的結(jié)論卻超出了前提所斷定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而結(jié)論假是有可能的。也就是說，即使其前提都真也并不能保證結(jié)論是必然真實(shí)的。 　　歸納推理與演繹推理雖有上述區(qū)別，但它們在人們的認(rèn)識(shí)過程中是緊密的聯(lián)系著的，兩者互相依賴、互為補(bǔ)充，比如說，演繹推理的一般性知識(shí)的大前提必須借助于歸納推理從具體的經(jīng)驗(yàn)中概括出來，從這個(gè)意義上我們可以說，沒有歸納推理也就沒有演繹推理。當(dāng)然，歸納推理也離不開演繹推理。比如，歸納活動(dòng)的目的、任務(wù)和方向是歸納過程本身所不能解決和提供的，這只有借助于理論思維，依靠人們先前積累的一般性理論知識(shí)的指導(dǎo)，而這本身就是一種演繹活動(dòng)。而且，單靠歸納推理是不能證明必然性的，因此，在歸納推理的過程中，人們常常需要應(yīng)用演繹推理對某些歸納的前提或者結(jié)論加以論證。從這個(gè)意義上我們也可以說，沒有演繹推理也就不可能有歸納推理。 　　(三)觀察與實(shí)驗(yàn) 　　歸納推理是一種由特殊性知識(shí)的前提得出一般性知識(shí)的結(jié)論的推理。當(dāng)然，人們在進(jìn)行歸納推理的時(shí)候，總是先要搜集到一定的事實(shí)材料，有了個(gè)別性的、特殊性的知識(shí)作為前提，然后才能進(jìn)行歸納推理。而搜集事實(shí)材料則必須運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)方法，主要是觀察和實(shí)驗(yàn)的方法。 　　1．觀察 　　人們在對象或現(xiàn)象的自然狀態(tài)下，有目的地通過感官去研究對象或現(xiàn)象，這就叫做觀察。 　　為了使觀察獲得的材料比較可靠和比較準(zhǔn)確，還應(yīng)注意兩個(gè)問題：(1)必須堅(jiān)持觀察的客觀性和全面性，切忌主觀的隨意性和片面性。(2)盡可能地借助于有關(guān)的儀器設(shè)備來進(jìn)行，以克服感覺器官認(rèn)識(shí)的局限性。 　　2．實(shí)驗(yàn) 　　人們在控制對象或現(xiàn)象的條件下有目的地通過感官去認(rèn)識(shí)對象或現(xiàn)象，就叫做實(shí)驗(yàn)。具體而言，實(shí)驗(yàn)是人們根據(jù)研究的目的，利用科學(xué)方法、設(shè)備，人為地控制或模擬自然現(xiàn)象的條件，排除干擾因素，突出主要因素，在相對的純粹狀態(tài)下研究自然現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)活動(dòng)。例如，要研究某一植物在某種條件下對具有一定酸堿度的土壤的適應(yīng)情況，人們可以在實(shí)驗(yàn)室中，人為地控制大自然對植物生態(tài)的影響，只就酸堿度這一特定的因素進(jìn)行考察。 　　實(shí)驗(yàn)是自然科學(xué)研究中最基本的研究方法。它和觀察比較起來有以下優(yōu)點(diǎn)：(1)實(shí)驗(yàn)可根據(jù)研究工作的需要，使被研究的對象或現(xiàn)象在極其純粹的狀態(tài)下再現(xiàn)出來，并借助于人工的隔離條件，使其依照一定的順序，不斷地重復(fù)出現(xiàn)。這就便于人們觀察某種對象或現(xiàn)象的發(fā)生過程以及對象或現(xiàn)象間的因果關(guān)系。例如，我們看見鐵球與雞毛從塔頂上同時(shí)往下落，在空氣中它們下落的速度是不一樣的。這與空氣有關(guān)還是無關(guān)?這是由于空氣的阻力作用還是由于地球的引力作用呢？在自然狀態(tài)下，由于許許多多的對象或現(xiàn)象錯(cuò)綜復(fù)雜地交織在一起，我們是不能弄清楚這些問題的。為此，我們可以做“自由落體”的實(shí)驗(yàn)：把鐵球和雞毛都放在抽掉空氣的圓筒形的透明容器中，看它們從同一高度同時(shí)下落的速度是否一樣。這樣，就容易發(fā)現(xiàn)鐵球與雞毛在空氣中下落的速度不一樣與空氣阻力作用的關(guān)系。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，我們?nèi)藶榈爻榈袅丝諝膺@個(gè)因素，排除偶然因素的干擾，“純化”了被研究的現(xiàn)象。(2)可以把容易消失的自然現(xiàn)象或在自然條件下不易出現(xiàn)的自然現(xiàn)象，人為地引發(fā)出來，并使之重復(fù)出現(xiàn)，以便于人們進(jìn)行觀察。例如，天空中的閃電，一閃即逝，不易觀察出究竟來。我們在物理實(shí)驗(yàn)室里可以采取人工模擬的辦法，引發(fā)閃電現(xiàn)象的重復(fù)出現(xiàn)，以便反復(fù)地進(jìn)行觀察。 　　(四)一些整理經(jīng)驗(yàn)材料的方法 　　在搜集材料的過程中，還要對材料進(jìn)行整理和研究。也就是說，人們還要對經(jīng)驗(yàn)材料進(jìn)行思維加工，這就需要運(yùn)用理論思維的方法，即比較、分析和綜合等等。 　　1．比較法 　　比較法是在思維中用以確定對象之間相同點(diǎn)和相異點(diǎn)的邏輯方法。比較法的基本功用是辨同和別異。在進(jìn)行比較時(shí)，必須注意以下幾點(diǎn)：首先，必須在同一關(guān)系下進(jìn)行比較。比如，一個(gè)國家在使用舊貨幣時(shí)期的物價(jià)與幣制改革后使用新貨幣時(shí)的物價(jià)，就不能直接地加以比較。其次，要就對象的實(shí)質(zhì)方面進(jìn)行比較，不要因某種表現(xiàn)上的相同，而忽略實(shí)質(zhì)上的差異；也不要因表面上的差異，而忽略實(shí)質(zhì)上的相同。 　　2．分析法與綜合法 　　分析是在思維中把對象的整體分解為各個(gè)部分、方面、特性和因素而加以認(rèn)識(shí)的邏輯方法；綜合是在思維中將已有的關(guān)于對象的各個(gè)部分、方面、特性和因素的認(rèn)識(shí)聯(lián)結(jié)起來，形成關(guān)于對象的統(tǒng)一整體的認(rèn)識(shí)的邏輯方法。分析是綜合的基礎(chǔ)，而綜合則是分析的發(fā)展。 　　(五)完全歸納推理和不完全歸納推理 　　1．完全歸納推理 　　先看一個(gè)實(shí)例：當(dāng)著天文學(xué)家對太陽系的大行星運(yùn)行軌道進(jìn)行考察的時(shí)候，他們發(fā)現(xiàn)：水星是沿著橢圓軌道繞太陽運(yùn)行的，金星是沿著橢圓軌道繞太陽運(yùn)行的，地球是沿著橢圓軌道繞太陽運(yùn)行的，火星是沿著橢圓軌道繞太陽運(yùn)行的，木星是沿著橢圓軌道繞太陽運(yùn)行的，土星是沿著橢圓軌道繞太陽運(yùn)行的，天王星是沿著橢圓軌道繞太陽運(yùn)行的，海王星是沿著橢圓軌道繞太陽運(yùn)行的，冥王星是沿著橢圓軌道繞太陽運(yùn)行的，而水星、金星、地球、火星、土星、木星、天王星、海王星、冥王星是太陽系的全部大行星。由此，他們便得出如下結(jié)論：所有的太陽系大行星都是沿著橢圓軌道繞太陽運(yùn)行的。這一結(jié)論，就是運(yùn)用完全歸納推理得出的。 　　可見，完全歸納推理是這樣一種歸納推理：根據(jù)對某類事物的全部個(gè)別對象的考察，發(fā)現(xiàn)它們每一個(gè)都具有某種性質(zhì)，因而得出結(jié)論說：該類事物都具有某種性質(zhì)。 　　根據(jù)完全歸納推理的這一定義，它的邏輯形式可表示如下(S表示事物，P表示屬性)， 　　S1——P 　　S2——P 　　…………… 　　Sn——P 　　(S1,S2……Sn是S類的所有分子) 　　所以，S——P 　　從公式可見，完全歸納推理在前提中考察的是某類事物的全部對象，而不是某一部分對象，因此，其結(jié)論所斷定的范圍并未超出前提所斷定的范圍。所以其結(jié)論是根據(jù)前提必然得出的，即其前提與結(jié)論的聯(lián)系是必然的。就此而言，完全歸納推理具有演繹的性質(zhì)。 　　由于完全歸納推理要求對某類事物的全部對象一一列舉考察，所以，它的運(yùn)用是有局限性的。如果某類事物的個(gè)別對象是無限的(如天體、原子)或者事實(shí)上是無法一一考察窮盡的(如工人，學(xué)生)，它就不能適用了。這時(shí)就只能運(yùn)用不完全歸納推理了。 　　2．不完全歸納推理 　　不完全歸納推理是這樣一種歸納推理：根據(jù)對某類事物部分對象的考察，發(fā)現(xiàn)它們具有某種性質(zhì)，因而得出結(jié)論說，該類事物都具有某種性質(zhì)。 　　第一種情況。主要根據(jù)是：所碰到的某類事物的部分對象都具有某種性質(zhì)，而沒有發(fā)現(xiàn)相反的情況。比如： 　　■《內(nèi)經(jīng)?針刺篇》記載了這樣一個(gè)故事：有一個(gè)患頭痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破足趾，出了一點(diǎn)血，但頭部不疼了。當(dāng)時(shí)他沒有引起注意。后來頭疼復(fù)發(fā)，又偶然碰破原處，頭疼又好了。這次引起了注意，以后頭疼時(shí)，他就有意刺破該處，都有效應(yīng)(這個(gè)樵夫碰的地方，即現(xiàn)在所稱的“大敦穴”)。 　　現(xiàn)在我們要問，為什么這個(gè)樵夫以后頭疼時(shí)就想到要刺破足趾的原處呢?從故事里可見，這是因?yàn)樗鶕?jù)自己以往的各次個(gè)別經(jīng)驗(yàn)作出了一個(gè)有關(guān)碰破足趾能治好頭痛的一個(gè)一般性結(jié)論。在這里，就其所運(yùn)用的推理形式來說，就是一個(gè)不完全的歸納推理。具體過程是這樣的： 　　第一次碰破足趾某處，頭痛好了， 　　第二次碰破足趾某處，頭痛好了， 　　(沒有出現(xiàn)相反的情況，即碰破足趾某處，而頭痛不好。) 　　所以，凡碰破足趾某處，頭痛都會(huì)好， 　　如用公式表示則是： 　　S1——P 　　S2——P 　　Ss——P 　　…………… 　　Sn——P 　　(S1，S2，Ss，……，Sn是S類部分對象，枚舉中未遇相反情況。) 　　所以，S——P 　　這種僅僅根據(jù)在考察中沒有碰到相反情況而進(jìn)行的不完全歸納推理，我們就稱為簡單枚舉歸納推理或簡稱枚舉歸納推理。 　　第二種情況。不是對某類事物的部分對象，碰到哪個(gè)就考察哪個(gè)(簡單枚舉歸納推理就是如此)，而是按照事物本身的性質(zhì)和研究的需要，選擇一類事物中較為典型的個(gè)別對象加以考察；通過這種對部分對象的考察而作出某種一般性的結(jié)論時(shí)，也不只是根據(jù)沒有碰到例外相反的情況，而是分析和發(fā)現(xiàn)所考察過的某類事物的部分對象何以具有某種性質(zhì)的客觀原因和內(nèi)在必然性。建立在這種對事物進(jìn)行科學(xué)分析基礎(chǔ)上的不完全歸納推理，我們就稱之為科學(xué)歸納推理。 　　兩種不完全歸納推理的根據(jù)是完全不同的，因而它們所得出結(jié)論的性質(zhì)也是不同的。簡單枚舉歸納推理所依據(jù)的僅僅是沒有發(fā)現(xiàn)相反的情況，而這一點(diǎn)對于作出一個(gè)一般性的結(jié)論來說，是必要的，但并不是充分的。因?yàn)椋瑳]有碰到相反的情況，并不能排除這個(gè)相反情況存在的可能性。而只要有相反情況的存在，無論暫時(shí)碰到與否，其一般性結(jié)論就必然是錯(cuò)的?？茖W(xué)歸納推理則不同，它所根據(jù)的是對事物何以存在某種性質(zhì)的必然原因進(jìn)行科學(xué)的分析，因而它的結(jié)構(gòu)是比較可靠的。 　　(六)探求因果聯(lián)系的邏輯方法 　　排除歸納法是求因果聯(lián)系的一個(gè)常用方法，其基本思路是：考察被研究現(xiàn)象出現(xiàn)的一些場合，在它的先行現(xiàn)象或恒常伴隨的現(xiàn)象中去尋找它的可能的原因，然后有選擇地安排某些事例或?qū)嶒?yàn)，根據(jù)因果關(guān)系的上述特點(diǎn)，排除一些不相干的現(xiàn)象或假設(shè)，最后得到比較可靠的結(jié)論。 　　為了檢查的某種因果關(guān)系是否為真，最可靠的實(shí)驗(yàn)方法是改變原因后，看結(jié)果是否不同，即進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)，對比實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵是讓實(shí)驗(yàn)對象的其他方面的條件相同。又比如，有時(shí)兩組數(shù)據(jù)之間的數(shù)據(jù)因果并不一定有原理因果，可能兩組數(shù)據(jù)都是由其它某一種數(shù)據(jù)決定的，這就是所謂表面因果與事實(shí)因果不符。 　?、?、現(xiàn)象間的因果聯(lián)系 　　客觀世界是一個(gè)有內(nèi)在聯(lián)系的統(tǒng)一整體，其中各個(gè)對象或各個(gè)現(xiàn)象是互相密切聯(lián)系著，互相依賴著，互相制約著的。因果聯(lián)系是指原因和結(jié)果之間的聯(lián)系。如果一個(gè)現(xiàn)象的出現(xiàn)必然引起另一個(gè)現(xiàn)象的出現(xiàn)，那么，這兩個(gè)現(xiàn)象之間就有著因果聯(lián)系。引起另一現(xiàn)象出現(xiàn)的現(xiàn)象叫原因，被引起的現(xiàn)象叫結(jié)果。 　　因果聯(lián)系是世界萬物之間普遍聯(lián)系的一個(gè)方面，科學(xué)研究的一個(gè)重要任務(wù)就是要把握事物之間的因果聯(lián)系，以便掌握事物發(fā)生、發(fā)展的規(guī)律。因果關(guān)系的主要特點(diǎn)有：一是普遍必然性，指任何現(xiàn)象都有其因，也有其果，且同因必同果，但同果卻不一定同因；二是共存性，指原因和結(jié)果總是共同變化的；三是先后性，即所謂的先因后果，但先后關(guān)系并不等于因果關(guān)系；四是復(fù)雜多樣性，指因果聯(lián)系是多種多樣的，固然有“一因一果”，但更多的時(shí)候是“多因一果”。 　　原因和結(jié)果在時(shí)間上是先后相繼的，原因總在結(jié)果之前，而結(jié)果總是在原因之后。因此，我們在探求因果聯(lián)系時(shí)，只能從先行的情況中去找原因，從后行的情況中去找結(jié)果。不過需要注意的是：兩個(gè)現(xiàn)象在時(shí)間上的先后相繼并非都存在著因果聯(lián)系。例如，白晝和黑夜，在時(shí)間上雖是先后相繼的，但它們之間并不具有因果聯(lián)系，它們都是由于地球自轉(zhuǎn)和繞太陽旋轉(zhuǎn)所引起的結(jié)果。因此，在探求因果聯(lián)系時(shí)，如果只是根據(jù)兩個(gè)現(xiàn)象在時(shí)間上是先后相繼的，就作出它們之間具有因果聯(lián)系的結(jié)論，那么，這就犯了“以先后為因果”的邏輯錯(cuò)誤。 　　因果聯(lián)系是完全確定的。在同樣的條件下，同樣的原因必然產(chǎn)生同樣的結(jié)果。例如，在通常的大氣壓力的條件下，把純水加熱取攝氏一百度，它就必然會(huì)產(chǎn)生氣化的結(jié)果。 　　因果聯(lián)系是復(fù)雜的多樣的。一個(gè)現(xiàn)象的產(chǎn)生，可以是一個(gè)原因引起的，也可以是多種原因引起的。例如，日光、二氧化碳和水是使植物葉子能進(jìn)行光合作用的原因，而這三者則是植物的葉子能進(jìn)行光合作用的不可缺少的條件，這種原因叫做復(fù)合原因。忽視原因的多樣性，在實(shí)踐上會(huì)導(dǎo)致有害的后果。例如，一塊地里的農(nóng)作物生長不好的原因，可以是水分不足，也可以是肥料太少，也可以是病蟲害等等。如果我們忽略了原因的多樣性，只注意一種原因，比如，只注意施肥料，那就可能會(huì)導(dǎo)致減產(chǎn)的后果。因此，人們在探求因果聯(lián)系時(shí)，特別應(yīng)當(dāng)注意復(fù)雜現(xiàn)象的構(gòu)成原因或結(jié)果。 　　Ⅱ、探求現(xiàn)象間因果聯(lián)系的方法 　　1.求同法(或稱契合法) 　　我們常常發(fā)現(xiàn)一些同志身體很好，很結(jié)實(shí)。原因是什么呢?他們的情況各不相同，有的是教師，有的是學(xué)生，有的是工人；有的原來體質(zhì)較好，有的原來體質(zhì)較差；他們的工作條件、生活條件、學(xué)習(xí)條件也各不相同……。但發(fā)現(xiàn)他們卻有一個(gè)共同的情況，他們都持之以恒地鍛煉身體。由此，我們可以作出結(jié)論，持之以恒地鍛煉身體是他們身體好的原因，至少是身體好的部分原因。這里就有著求同法的應(yīng)用。 　　可見，求同法是這樣一種方法，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)某一現(xiàn)象出現(xiàn)在幾種不同的場合，而在這些場合里，只有一個(gè)條件是相同的(其他條件均不相同)，這樣，我們就可以推斷說，這個(gè)相同條件就是各個(gè)場合出現(xiàn)的那個(gè)共同現(xiàn)象的原因?？梢杂眠@樣一個(gè)公式來表示它： 　　場合 先行情況 被研究現(xiàn)象 　　(1) A、B、C a 　　(2) A、D、E a 　　(3) A、F、G a 　　… … … 　　所以，A是a的原因(或結(jié)果) 　　下面再舉兩個(gè)求同法的例子： 　　例：在十九世紀(jì)，人們還不知道為什么某些人的甲狀腺會(huì)腫大，后來人們對甲狀腺腫大盛行的地區(qū)進(jìn)行調(diào)查和比較時(shí)發(fā)現(xiàn)，這些地區(qū)的人口、氣候、風(fēng)俗等狀況各不相同，然而有一個(gè)共同情況，即土壤和水流中缺碘，居民的食物和飲水也缺碘，由此作出結(jié)論：缺碘是引起甲狀腺腫大的原因。 　　例：某人晚上看了兩小時(shí)書，喝了幾杯濃茶，結(jié)果失眠了；第二天他同樣看書，抽了許多煙，也失眠了；第三天他也看了兩小時(shí)書，喝了大量咖啡，也失眠了?？磥硗砩峡磿菀滓鹗?。 　　應(yīng)用求同法所得到的認(rèn)識(shí)(即找出的原因)并不都是正確的。因?yàn)樵诟鞣N不同場合里存在的共同條件可能不止一個(gè)，而作為真正原因的某一共同條件可能正好被忽視了。因此，通過求同法所得到的認(rèn)識(shí)，應(yīng)當(dāng)通過實(shí)踐或用其他方法去進(jìn)一步檢驗(yàn)。但是，求同法為我們提供了找到現(xiàn)象原因的線索。所以，它作為一種發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象因果聯(lián)系的方法，在科學(xué)研究和日常生活中經(jīng)常被人們應(yīng)用著 　　2.求異法(或稱差異法) 　　求異法是這樣一種方法：如果某一現(xiàn)象在一種場合下出現(xiàn)，而另場合下不出現(xiàn)，但在這兩種場合里，其他條件都相同，只有一個(gè)條件不同(在某現(xiàn)象出現(xiàn)的場合里有這個(gè)條件，而在某現(xiàn)象不出現(xiàn)的那一場合里則沒有這個(gè)條件)，那么，這唯一不同的條件，就是某現(xiàn)象產(chǎn)生的原因。 　　求異法可用下述公式來表示： 　　場合 先行情況 被研究現(xiàn)象 　　(1) A、B、C a 　　(2) -、B、C - 　　所以，A是a的原因(或結(jié)果) 　　求異法在科學(xué)研究中，特別是科學(xué)試驗(yàn)中，是一種被廣泛運(yùn)用的方法。下面舉例說明： 　　■據(jù)報(bào)導(dǎo)，在一些國家里，大氣污染極為嚴(yán)重，不僅嚴(yán)重影響人們的身體健康，也影響農(nóng)作物的產(chǎn)量和樹木的成長，如使白楊樹提早落葉等等。有一個(gè)國家的研究人員曾在環(huán)境暴露室中的兩間實(shí)驗(yàn)室里做過下面的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：將大氣中被污染的空氣放入一間實(shí)驗(yàn)室里，而在另一間的入氣孔上裝上活性碳過濾器等清除污染物的裝置，使送入的空氣變?yōu)闈崈舻目諝?。兩間實(shí)驗(yàn)室中的土壤、水分、濕度、日照時(shí)間等與植物生長有關(guān)的其他條件完全相同。在兩間實(shí)驗(yàn)室里，分別栽上同樣的白楊十五株。四個(gè)月之后，在空氣潔凈的實(shí)驗(yàn)室里，十五株白揚(yáng)新長出的莖平均高二米九五，而在污染室中，新莖的平均高度只有二米零九；葉數(shù)前者平均為七十一片，后者僅為二十六片。而且，前者在九月上旬葉子還在繼續(xù)生長，而后者在八月初即開始落葉。這清楚表明：白楊樹提早落葉的原因是大氣污染。 　　■我們可以在種植同一作物的同一塊田上，一部分用某種肥料，一部分不用。因此，就可以清楚地通過作物的不同增產(chǎn)結(jié)果來判明施放這種肥料后的顯著效果。 　　3.求同求異并用法 　　求同求異并用法是這樣一種方法，考察兩組事例，一組是由被研究現(xiàn)象出現(xiàn)的若干場合組成的，稱之為正事例組；一組是由被研究現(xiàn)象不出現(xiàn)的若干場合組成的，稱之為負(fù)事例組。如果在正事例組的各場合中只有一個(gè)共同的情況并且它在負(fù)事例組的各場合中又都不存在，那么，這個(gè)情況就是被研究現(xiàn)象的原因。下面是求同求異并用法的一個(gè)例子： 　　■很久以來，人們發(fā)現(xiàn)有些鳥能遠(yuǎn)航萬里而不迷失方向。原因是什么呢?人們對此曾作過不少的猜測，但都沒有得到證實(shí)。近年來，科學(xué)工作者發(fā)現(xiàn)每當(dāng)天晴能見到太陽時(shí)，這些鳥都能確定其飛行的正確方向；反之，每當(dāng)天陰見不到太陽時(shí)，它們就迷失方向。由此，科學(xué)工作者作出結(jié)論說，有些鳥能遠(yuǎn)航萬里而不迷失方向的原因是利用太陽來定向的。 　　4.共變法 　　共變法是指：在其他條件不變的情況下，如果一個(gè)現(xiàn)象發(fā)生變化，另一個(gè)現(xiàn)象就隨之發(fā)生變化，那么，前一現(xiàn)象就是后一現(xiàn)象的原因或部分原因。比如，氣溫上升了，放置在器皿中的水銀體積就膨脹了；氣溫下降了，水銀體積就縮小了。根據(jù)氣溫與水銀體積的共變關(guān)系，我們就可推斷說，氣溫的升降是水銀體積膨脹或收縮的原因。 　　共變法可用下述公式來表示： 　　場合 先行情況 被研究現(xiàn)象 　　(1) A1、B、C、D a1 　　(2) A2、B、C、D a2 　　(3) A3、B、C、D a3 　　… …… … 　　所以，A是a的原因(或結(jié)果) 　　下例也是共變法的應(yīng)用： 　　■地區(qū)磁場發(fā)生磁暴的周期性經(jīng)常與太陽黑子的周期一致。隨著太陽黑子數(shù)目的增加，磁 暴的強(qiáng)度增大。當(dāng)太陽黑子的數(shù)目減少時(shí)，磁暴的強(qiáng)度降低。所以科學(xué)家推測，太陽黑子的出現(xiàn)可能是磁暴的原因。 　　■在50年代，我國森林覆蓋率為19％，60年代為11％，70年代為6％，80年代不到4％。隨著森林覆蓋率的逐年減少，植被大量破壞，削弱了土地對雨水的攔蓄作用，一下暴雨，水卷泥沙滾滾而下，使洪澇災(zāi)害逐年嚴(yán)重。可見，森林資源的破壞，是釀成洪災(zāi)的原因。 　　以下哪項(xiàng)使用的方法與上文最類似? 　　A、敲鑼有聲，吹簫有聲，說話有聲。這些發(fā)聲現(xiàn)象都伴有物體上空氣的振動(dòng)，因而可以斷定物體上空氣的振動(dòng)是發(fā)聲的原因。 　　B、把一群雞分為兩組，一組喂精白米，雞得一種病，腳無力，不能行走，癥狀與人的腳氣病相似。另一組用帶殼稻米喂，雞不得這種病。由此推測帶殼稻米中某些精白米中所沒有的東西是造成腳氣病的原因。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，這種東西就是維生素B1。 　　C、意大利的雷地反復(fù)進(jìn)行一個(gè)實(shí)驗(yàn)，在4個(gè)大口瓶里，放進(jìn)肉和魚，然后蓋上蓋或蒙上紗布，蒼蠅進(jìn)不去，一個(gè)蛆都沒有。另4個(gè)大口瓶里，放進(jìn)同樣的肉和魚，敞開瓶口，蒼蠅飛進(jìn)去產(chǎn)卵，腐爛的肉和魚很快生滿了蛆?？梢?，蒼蠅產(chǎn)卵是魚肉腐爛生蛆的原因。 　　D、在有空氣的玻璃罩內(nèi)通電擊鈴，隨著抽出空氣量的變化，鈴聲越來越小，若把空氣全抽出，則完全聽不到鈴聲。可見，聲音是靠空氣傳播的。 　　[解題分析] 正確答案：D 　　因?yàn)镈和題干都使用求因果聯(lián)系的共變法。 　　5.剩余法 　　所謂剩余法指的是：如果某一復(fù)合現(xiàn)象是由另一復(fù)合原因所引起的，那么，把其中確認(rèn)有因果聯(lián)系的部分減去，則剩下的部分也必然有因果聯(lián)系。 　　■自然科學(xué)史上有這樣一個(gè)例子：1846年前，一些天文學(xué)家在觀察天王星的運(yùn)行軌道時(shí)，發(fā)現(xiàn)它的運(yùn)行軌道和按照已知行星的引力計(jì)算出來的它應(yīng)運(yùn)行的軌道不同——發(fā)生了幾個(gè)方面的偏離。經(jīng)過觀察分析，知道其他幾方面的偏離是由已知的其他幾顆行星的引力所引起的，而另一方面的偏離則原因不明。這時(shí)天文學(xué)家就考慮到：既然天王星運(yùn)行軌道的各種偏離是由相關(guān)行星的引力所引起的，現(xiàn)在又知其中的幾方面偏離是由另幾顆行星的引力所引起的，那么，剩下的一處偏離必然是由另一個(gè)未知的行星的引力所引起的。后來有的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家并據(jù)此推算出了這個(gè)未知行星的位置。1846年按照這個(gè)推算的位置進(jìn)行觀察，果然發(fā)現(xiàn)了一顆新的行星——海王星。 　　在這個(gè)過程中就有剩余法的明顯運(yùn)用。就這個(gè)例子來說，復(fù)合現(xiàn)象指天王星運(yùn)行軌道的各處偏離(設(shè)為甲、乙、丙、丁四處偏離)，復(fù)合原因指各行星對天王星的引力(設(shè)為A、B、C、D四顆行星)，通過觀察，已經(jīng)知道偏離甲由行星A所引起，偏離乙由行星B所引起，偏離丙由行星C所引起。那么剩下的部分，即偏離丁必為未知行星D所引起。 　　剩余法可用下述公式來表示： 　　已知復(fù)合現(xiàn)象F(A、B、C)是被研究現(xiàn)象K(a、b、c)的原因 　　已知，B是b的原因 　　C是c的原因 　　所以，A是a的原因(或部分原因) 　　剩余法也是科學(xué)研究中常用的一種邏輯方法。比如： 　　■居里夫人對鐳的發(fā)現(xiàn)就是運(yùn)用這一方法的又一典型例子。居里夫人在對瀝青鈾礦的實(shí)驗(yàn)研究中，發(fā)現(xiàn)它所放出的射線比純鈾放出的強(qiáng)得多，純鈾不足以說明這種復(fù)雜現(xiàn)象，還有一個(gè)剩余部分，這剩余部分必然還有另外的原因(這原因必然存在于瀝青鈾礦中)。據(jù)此，她再反復(fù)研究，后來果然發(fā)現(xiàn)在瀝青鈾礦中還有一種新的放射性元素——鐳。 　　對求因果聯(lián)系的方法現(xiàn)再舉一例說明，請認(rèn)真體會(huì)： 　　■有人作過一個(gè)十分有趣的統(tǒng)計(jì)：過去幾百年間流傳至今的466幅圣母瑪利亞的畫像中，有373幅里的耶蘇是在左邊吸吮圣母的乳汁的，這一數(shù)字大約是全部被統(tǒng)計(jì)畫幅的80%左右。 　　藝術(shù)是生活的概括，如果你稍微注意的話，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)母親喂奶時(shí)，也是把嬰兒抱在自己的左邊。據(jù)心理學(xué)家統(tǒng)計(jì)，80%的母親都是把嬰兒抱在左邊的。 　　為什么會(huì)這樣？為此，有個(gè)心理學(xué)家做了以下的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)： 　　一個(gè)實(shí)驗(yàn)是讓一些嬰兒間斷地聽每分鐘72次心跳錄音。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這些嬰兒在不聽錄音時(shí)啼哭時(shí)間是60%，而在聽錄音時(shí)，就比較安靜，啼哭的時(shí)間降至38%。 　　另一個(gè)實(shí)驗(yàn)是任選四組嬰兒，每組人數(shù)相同，把他們放在聲音環(huán)境不同的房間里。第一個(gè)房間保持寂靜；第二個(gè)房間放催眠曲；第三個(gè)房間放模擬的心跳聲；第四個(gè)房間放真實(shí)的心跳聲的錄音。用這樣的方法，試驗(yàn)一下哪一個(gè)房間的嬰兒最先入睡。結(jié)果是第四個(gè)房間的嬰兒，只用了其他房間中嬰兒入睡所需時(shí)間的一半，就進(jìn)入夢鄉(xiāng)。然后依次是第三個(gè)房間、第二個(gè)房間、第一個(gè)房間里的嬰兒先后入睡。這個(gè)實(shí)驗(yàn)不但證明心跳聲是一種有很強(qiáng)鎮(zhèn)靜作用的外界刺激，而且表明模擬的心跳聲的效果不如真的心跳聲的效果。 　　分析：在這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中，心理學(xué)家所作的第一個(gè)實(shí)驗(yàn)運(yùn)用的是求同法，第二個(gè)實(shí)驗(yàn)運(yùn)用的共變法。通過實(shí)驗(yàn)證明聽到母親的心跳聲對嬰兒有某種撫慰的作用。 2類比推理 類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類對象在某些屬性上相同，推斷出它們在另外的屬性上(這一屬性已為類比的一個(gè)對象所具有，另一個(gè)類比的對象那里尚未發(fā)現(xiàn))也相同的一種推理。 　　據(jù)科學(xué)史上的記載，光波概念的提出者，荷蘭物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家赫爾斯坦?惠更斯曾將光和聲這兩類現(xiàn)象進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它們具有一系列相同的性質(zhì)：如直線傳播、有反射和干擾等。又已知聲是由一種周期運(yùn)動(dòng)所引起的、呈波動(dòng)的狀態(tài)，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波動(dòng)狀態(tài)的屬性，從而提出了光波這一科學(xué)概念?；莞乖谶@里運(yùn)用的推理就是類比推理。類比推理的結(jié)構(gòu)，可表示如下： 　　A有屬性a、b、c、d 　　B有屬性a、b、c 　　所以，B有屬性d 　　類比推理的客觀根據(jù)是什么呢?在客觀現(xiàn)實(shí)里，事物的各個(gè)屬性并不是孤立的，而是相互聯(lián)系和相互制約的。因此，如果兩個(gè)事物在一系列屬性上相同或相似，那么，它們在另一些屬性上也可能相同或相似。類比推理的結(jié)論是否可靠呢?這要看進(jìn)行類比的兩個(gè)或兩類事物所具有的共同屬性與類推屬性之間是否有必然的聯(lián)系。如果有，用類比推理所得到的認(rèn)識(shí)就是可靠的，否則就是不可靠的。由此可見，類比推理的結(jié)論只具有或然性，即可能真，也可能假。類比推理盡管其前提是真實(shí)的，也不能保證結(jié)論的真實(shí)性。這是因?yàn)?，A和B畢竟是兩個(gè)對象，它們盡管在一系列屬性上是相同的，但仍存在著差異性，這種差異性有時(shí)就表現(xiàn)為A對象具有某屬性，而B對象不具有某屬性。如何提高類比推理的結(jié)論的可靠性呢?第一，前提中確認(rèn)的相同屬性愈多，那么結(jié)論的可靠程度也就愈大；第二，前提中確認(rèn)的相同屬性愈是本質(zhì)的，相同屬性與要推出的屬性之間愈是相關(guān)的，那么結(jié)論的可靠程度也就愈大。 　　要特別注意，不能將兩個(gè)或兩類本質(zhì)不同的事物，按其表面的相似來機(jī)械地加以比較而得出某種結(jié)論，否則就要犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤。例如，基督教神學(xué)家們就曾用機(jī)械類比來“證明”上帝的存在。在他們看來，宇宙是由許多部分構(gòu)成的一個(gè)和諧的整體，正如同鐘表是由許多部分構(gòu)成的和諧整體一樣，而鐘表有一個(gè)創(chuàng)造者，所以，宇宙也有一個(gè)創(chuàng)造者——上帝。這就是把兩類根本性質(zhì)不同的對象，按其表面相似之處，機(jī)械地加以類比。這種類比顯然是錯(cuò)誤的，不合邏輯的。 　　例1、一般人總會(huì)這樣認(rèn)為，既然人工智能這門新興學(xué)科是以模擬人的思維為目標(biāo)，那么，就應(yīng)該深入地研究人思維的生理機(jī)制和心理機(jī)制。其實(shí)，這種看法很可能誤導(dǎo)這門新興學(xué)科。如果說，飛機(jī)發(fā)明的最早靈感是來自于鳥的飛行原理的話，那么，現(xiàn)代飛機(jī)從發(fā)明、設(shè)計(jì)、制造到不斷改進(jìn)，沒有哪一項(xiàng)是基于對鳥的研究之上的。 　　上述議論，最可能把人工智能的研究，比作以下哪項(xiàng)? 　　A. 對鳥的飛行原理的研究。 　　B. 對鳥的飛行的模擬。 　　C. 飛機(jī)的不斷改進(jìn)。 　　D. 飛機(jī)的設(shè)計(jì)制造。 　　[解題分析] 正確答案：D。 　　題干所作的類比分析是：飛機(jī)的發(fā)明、設(shè)計(jì)制造和改進(jìn)并非基于對鳥的研究，因此，人工智能的研究也不應(yīng)基于對人思維的生理和心理機(jī)制的研究。顯然，這里，把對人思維的生理和心理機(jī)制的研究，比作對鳥的研究；把人工智能的研究，比作飛機(jī)的發(fā)明、設(shè)計(jì)制造和改進(jìn)。D項(xiàng)和C項(xiàng)都和題干的上述類比相關(guān)，但顯然D項(xiàng)比C項(xiàng)作為題干中人工智能研究的類比對象更為恰當(dāng)。 　　例2、小光和小明是一對孿生兄弟，剛上小學(xué)一年級。一次，他們的爸爸帶他們?nèi)ッ茉扑畮煊瓮妫吹搅艘傍喿?。小光說：“野鴨子吃小魚。”小明說：“野鴨子吃小蝦。”哥倆說著說著就爭論起來，非要爸爸給評評理。爸爸知道他們倆說得都不錯(cuò)，但沒有直接回答他們的問題，而是用例子來進(jìn)行比喻。說完后，哥倆都服氣了。 　　以下哪項(xiàng)最可能是爸爸講給兒子們聽的話？ 　　A. 一個(gè)人的愛好是會(huì)變化的。爸爸小時(shí)候很愛吃糖，你奶奶管也管不住。到現(xiàn)在，你讓我吃我都不吃。 　　B. 什么事兒都有兩面性。咱們家養(yǎng)了貓，耗子就沒了。但是，如果貓身上長了跳蚤也是很討厭的。 　　C. 動(dòng)物有時(shí)也通人性。有時(shí)主人喂它某種飼料吃得很好，若是陌生人喂，怎么也不吃。 　　D. 你們兄弟倆的愛好幾乎一樣，只是對飲料的愛好不同。一個(gè)喜歡可樂，一個(gè)喜歡雪碧。你媽媽就不在乎，可樂、雪碧都行。 　　[解題分析] 正確答案：D。 　　在題干中，兩人說的“野鴨子吃小魚”和“野鴨子吃小蝦”都有可能性，可能一部分野鴨子吃小魚，另一部分野鴨子吃小蝦，也可能是野鴨子既吃小魚又吃小蝦。所以兩個(gè)孩子的話并不矛盾，他們只是片面地看到了野鴨子某一種行為，各執(zhí)一詞，爭論不休。在D中，爸爸用哥倆各有偏好和媽媽既喝可樂又喝雪碧的例子進(jìn)行類比，說明同一個(gè)群體的不同個(gè)體可能有不同偏好，一個(gè)主體也可以有不同的行為。由于比喻恰當(dāng)，哥倆也就服氣了。選項(xiàng)C、D用的不是比喻，與題干不符。選項(xiàng)A雖然用了比喻，但是說的是小孩和大人的區(qū)別，而題干中并未討論小鴨子和大鴨子。選B不妥，因?yàn)锽變的是事物的兩面性，含有人的主觀評價(jià)，與題干的含義相距較遠(yuǎn)。 小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了歸納推理與類比推理. 合情推理 一、三維目標(biāo)： （一）知識(shí)與能力： 1. 通過對已學(xué)知識(shí)的回顧，進(jìn)一步體會(huì)合情推理這種基本的分析問題法，認(rèn)識(shí)歸納推理和類比推理這兩種合情推理的基本方法，并把它們用于對問題的發(fā)現(xiàn)中去。 2. 明確歸納推理的一般步驟和類比推理的一般步驟，并把這些方法用于實(shí)際問題的解決中去。 （二）過程與方法： 1. 歸納推理是從特殊到一般的推理方法，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。 2. 類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。 （三）情感態(tài)度與價(jià)值觀： 1. 正確認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開始認(rèn)真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個(gè)性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問題，探求新知識(shí)。 2. 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識(shí)。 二、教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進(jìn)行簡單的推理。 三、教學(xué)難點(diǎn)：用歸納和類比進(jìn)行推理，做出猜想。 四、教具準(zhǔn)備：多媒體課件、與教材內(nèi)容相關(guān)的資料 五、課時(shí)安排：1課時(shí) 六、教學(xué)過程： 【問題探究：】 （1） 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，記，試通過計(jì)算的值，推測出的值。 （2） 若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則?，F(xiàn)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，類比以上結(jié)論，可得到什么結(jié)論？你能說明結(jié)論的正確性嗎？ 【學(xué)生討論：】（學(xué)生討論結(jié)果預(yù)測如下） （1） 由此猜想， （2）結(jié)論： 證明：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以 所以 【學(xué)生回答：】（學(xué)生思考并回答） 【歸納總結(jié)：】（學(xué)生回答后歸納總結(jié)） 七、教學(xué)小結(jié)： 1. 歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。 2. 歸納推理的一般步驟： ① 通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)。 ② 從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）。 3. 類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。 4. 類比推理的一般步驟： ① 找出兩類事物之間的相似性或者一致性。 ② 用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）。 八、雙基練習(xí)： 1. 已知，經(jīng)計(jì)算: ，推測當(dāng)時(shí)，有__________________________ 2. 已知：，。觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并證明之。 3. 觀察（1） （2）。 由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出你的推論。 4. 在中，若請?jiān)诳臻g中類比給出四面體性質(zhì)的猜想。 5. 在中，若則的外接圓半徑，把此結(jié)論類比到空間，寫出類似的結(jié)論。 6. 若，則不等式成立。此不等式能推廣嗎？請你至少寫出兩個(gè)不同類型的推廣。 演繹推理 教學(xué)目標(biāo)： 結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理。 教學(xué)重點(diǎn)： 掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理。 教學(xué)過程 一、 復(fù)習(xí) 二、 引入新課 1．假言推理 假言推理是以假言判斷為前提的演繹推理。假言推理分為充分條件假言推理和必要條件假言推理兩種。 （1）充分條件假言推理的基本原則是：小前提肯定大前提的前件，結(jié)論就肯定大前提的后件；小前提否定大前提的后件，結(jié)論就否定大前提的前件。 （2）必要條件假言推理的基本原則是：小前提肯定大前提的后件，結(jié)論就要肯定大前提的前件；小前提否定大前提的前件，結(jié)論就要否定大前提的后件。 2．三段論 三段論是指由兩個(gè)簡單判斷作前提和一個(gè)簡單判斷作結(jié)論組成的演繹推理。三段論中三個(gè)簡單判斷只包含三個(gè)不同的概念，每個(gè)概念都重復(fù)出現(xiàn)一次。這三個(gè)概念都有專門名稱：結(jié)論中的賓詞叫“大詞”，結(jié)論中的主詞叫“小詞”，結(jié)論不出現(xiàn)的那個(gè)概念叫“中詞”，在兩個(gè)前提中，包含大詞的叫“大前提”，包含小詞的叫“小前提”。 3.關(guān)系推理 指前提中至少有一個(gè)是關(guān)系判斷的推理，它是根據(jù)關(guān)系的邏輯性質(zhì)進(jìn)行推演的。可分為純關(guān)系推理和混合關(guān)系推理。純關(guān)系推理就是前提和結(jié)論都是關(guān)系判斷的推理，包括對稱性關(guān)系推理、反對稱性關(guān)系推理、傳遞性關(guān)系推理和反傳遞性關(guān)系推理。 (1) 對稱性關(guān)系推理是根據(jù)關(guān)系的對稱性進(jìn)行的推理。 (2) 反對稱性關(guān)系推理是根據(jù)關(guān)系的反對稱性進(jìn)行的推理。 (3) 傳遞性關(guān)系推理是根據(jù)關(guān)系的傳遞性進(jìn)行的推理。 (4) 反傳遞性關(guān)系推理是根據(jù)關(guān)系的反傳遞性進(jìn)行的推理。 4. 完全歸納推理是這樣一種歸納推理：根據(jù)對某類事物的全部個(gè)別對象的考察，已知它們都具有某種性質(zhì)，由此得出結(jié)論說：該類事物都具有某種性質(zhì)。 完全歸納推理可用公式表示如下： S1具有（或不具有）性質(zhì)P S2具有（或不具有）性質(zhì)P…… Sn具有（或不具有）性質(zhì)P （S1S2……Sn是S類的所有個(gè)別對象 所以，所有S都具有（或不具有）性質(zhì)P 可見，完全歸納推理的基本特點(diǎn)在于：前提中所考察的個(gè)別對象，必須是該類事物的全部個(gè)別對象。否則，只要其中有一個(gè)個(gè)別對象沒有考察，這樣的歸納推理就不能稱做完全歸納推理。完全歸納推理的結(jié)論所斷定的范圍，并未超出前提所斷定的范圍。所以，結(jié)論是由前提必然得出的。應(yīng)用完全歸納推理，只要遵循以下兩點(diǎn)，那末結(jié)論就必然是真實(shí)的：（1）對于個(gè)別對象的斷定都是真實(shí)的；（2）被斷定的個(gè)別對象是該類的全部個(gè)別對象。 小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了演繹推理的基本模式. 類比推理分類例析 　　類比推理是各種邏輯思維方法中最富于創(chuàng)造性的一種方法．這是因?yàn)轭惐韧评聿幌髿w納推理那樣局限于同類事物，也不象演繹推理那樣受到一般原理的嚴(yán)格制約．它可以跨越各類事物的界限，進(jìn)行不同事物的類比，既可以比較事物的非本質(zhì)屬性（如形式和研究方法），又可以比較事物的本質(zhì)屬性．現(xiàn)例析如下： 　　一、外在形式和表面現(xiàn)象的類比 　　例1　在中，兩直角邊，，斜邊上的高為，則． 該結(jié)論的證明很簡單．類比它，在立體幾何中有何發(fā)現(xiàn)？ 解：我們猜想，在立體幾何中，也有類似的一個(gè)公式： 在三棱錐中，若三條側(cè)棱、、兩兩垂直，且長度分別為，頂點(diǎn)到底面的距離，則． 證明如下：如圖1，連結(jié)并延長交于點(diǎn)，連結(jié)， ∵，， ∴平面， ∴，． ∵平面，∴， ∴平面，∴． ∵， ∴在中，， 在中，． ∴， 即． 結(jié)論中的三條側(cè)棱兩兩垂直，可等價(jià)變?yōu)槿齻€(gè)側(cè)面兩兩垂直． 　　評注：本題是從二維平面到三維空間的一個(gè)升維類比，僅從形式上就可得出類比的結(jié)論，正確與否必須證明． 例2　已知橢圓具有性質(zhì)：若是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上除點(diǎn)外的任一點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率都存在，并記為、時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)位置無關(guān)的定值．試對雙曲線寫出類似的性質(zhì)，并加以證明． 　　解：類似性質(zhì)為：若是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，是雙曲線上除點(diǎn)外的任一點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率都存在，并記為、時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)位置無關(guān)的定值． 　　證明如下：設(shè)點(diǎn)，，則． 　　∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，． 　　故（定值）． 　　評注：本題是由橢圓到雙曲線的同級類比，僅從表面形式上便可得出類比的結(jié)論，敘述時(shí)要與原結(jié)論保持形式上的一致 　　二、研究方法上的類比 　　例3　已知命題：“若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則．”現(xiàn)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，若類比上述結(jié)論，則可得到_ ____． 　　解：設(shè)公差為，則， 　　∴． 　　類比此推導(dǎo)方法易知：設(shè)公比為， 　　由知，， 　　∴，∴． 　　故應(yīng)填． 　　評注：本題從形式上難以類比出結(jié)論，但從已知結(jié)論的推導(dǎo)方法上不難類比得到等比數(shù)列的推導(dǎo)方法，從而推導(dǎo)出結(jié)論．所以本題更加注重研究方法和思路上的類比． 　　三、本質(zhì)上的類比 　　例4　如圖2所示，圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓交軸正半軸于點(diǎn)、是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿圓周作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)逆時(shí)針方向每秒轉(zhuǎn)，點(diǎn)順時(shí)針方向每秒轉(zhuǎn)，試求它們第5次相遇時(shí)各自轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)． 　　解：由點(diǎn)的角速度分別為弧度/秒，弧度/秒，易知第5次相遇點(diǎn)共轉(zhuǎn)過了5周，即弧度，設(shè)時(shí)間為秒，由知，（秒），所以轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)分別為（弧度），（弧度）． 評注：本題是圓周上的相向運(yùn)動(dòng)．類比直線上相向運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)規(guī)律：距離之和＝速度之和時(shí)間，易得圓周上相向運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)規(guī)律：角的弧度數(shù)之和＝角速度之和時(shí)間，貌似復(fù)雜的問題抓住本質(zhì)就可迎刃而解． 演繹推理“防疫站” 　　防疫一：偷換論題 　　例1　求證：四邊形的內(nèi)角和等于360． 　　證明：設(shè)四邊形是矩形，則它的四個(gè)角都是直角 有， 　　所以，四邊形的內(nèi)角和等于． 　　剖析：上述推理過程是錯(cuò)誤的，犯了偷換論題的錯(cuò)誤．在證明過程中，把論題中的四邊形改為了矩形 　　防疫二：虛假論據(jù) 　　例2　已知和是無理數(shù)，試證：＋也是無理數(shù)． 　　證明：依題設(shè)和是無理數(shù)， 　　而無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)， 　　所以＋也是無理數(shù) 　　剖析：上述推理過程是錯(cuò)誤的，犯了虛假論據(jù)的錯(cuò)誤．使用的論據(jù)是“無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)”，這個(gè)論據(jù)是假的，因?yàn)閮蓚€(gè)無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)． 　　防疫三：循環(huán)論證 　　例3　在中，，求證：． 　　證明：因?yàn)?，? 　　所以． 　　剖析：上述推理過程是錯(cuò)誤的，犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤．本題的論證就是人們熟知的勾股定理．上述證明中用了“”這個(gè)公式，按照現(xiàn)行中學(xué)教材系統(tǒng)，這個(gè)公式是由勾股定理推出來的，這就間接地用待證命題的真實(shí)性作為證明的論據(jù)，犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤． 　　防疫四：推理錯(cuò)誤 例4 設(shè)，且，，． 求證：． 　　證明：因?yàn)? 　　 ， 　　所以． 　　剖析：上述推理過程是錯(cuò)誤的，犯了不能推出的錯(cuò)誤．因?yàn)橹荒芡瞥觯ǎ劣陉P(guān)系式是否惟一地成立，卻無法斷定．因此，只有進(jìn)一步推出，即，原題才能得證．