2018版高中數(shù)學 第三章 統(tǒng)計案例 3.2 回歸分析學案 蘇教版選修2-3.doc

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3.2 回歸分析 學習目標　1.會建立線性回歸模型分析兩個變量間的相關關系.2.能通過相關系數(shù)判斷兩個變量間的線性相關程度.3.了解非線性回歸分析． 知識點一　線性回歸模型 思考　某電腦公司有5名產品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表： 推銷員編號 1 2 3 4 5 工作年限x/年 3 5 6 7 9 推銷金額y/萬元 2 3 3 4 5 請問如何表示推銷金額y與工作年限x之間的相關關系？y關于x的線性回歸方程是什么？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 梳理　線性回歸模型 (1)隨機誤差 具有線性相關關系的兩個變量的取值x、y，y的值不能由x完全確定，可將x，y之間的關系表示為y＝a＋bx＋ε，其中________是確定性函數(shù)，________稱為隨機誤差． (2)隨機誤差產生的主要原因 ①所用的______________不恰當引起的誤差； ②忽略了________________； ③存在________誤差． (3)線性回歸模型中a，b值的求法 y＝__________稱為線性回歸模型． a，b的估計值為，，則 (4)回歸直線和線性回歸方程 直線＝＋x稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程，稱為____________，稱為____________，稱為__________． 知識點二　樣本相關系數(shù)r 具有相關關系的兩個變量的線性回歸方程＝x＋. 思考1　變量與真實值y一樣嗎？ 　 思考2　變量與真實值y之間誤差大了好還是小了好？ 　 梳理　樣本相關系數(shù)r及其性質 (1)r＝________________________________. (2)r具有以下性質： ①|r|≤________； ②|r|越接近于________，x，y的線性相關程度越強； ③|r|越接近于________，x，y的線性相關程度越弱． 知識點三　對相對關系數(shù)r進行顯著性檢驗的基本步驟 1．________________：變量x，y不具有線性相關關系； 2．如果以95%的把握作出判斷，那么可以根據(jù)1－0.95＝0.05與n－2在教材附錄2中查出一個r的臨界值r0.05(其中1－0.95＝0.05稱為檢驗水平)； 3．計算__________________； 4．作出統(tǒng)計推斷：若|r|＞________，則否定H0，表明有________的把握認為x與y之間具有線性相關關系；若|r|≤r0.05，則________________原來的假設H0，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認為y與x之間有線性相關關系． 類型一　求線性回歸方程 例1　某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程＝x＋； (3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力． (相關公式：＝，＝－) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)求線性回歸方程的基本步驟 ①列出散點圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關關系． ②計算：，，，iyi. ③代入公式求出＝x＋中參數(shù)，的值． ④寫出線性回歸方程并對實際問題作出估計． (2)需特別注意的是，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸方程才有實際意義，否則求出的回歸方程毫無意義． 跟蹤訓練1　某班5名學生的數(shù)學和物理成績如下表： 學生編號 1 2 3 4 5 學科編號 A B C D E 數(shù)學成績(x) 88 76 73 66 63 物理成績(y) 78 65 71 64 61 (1)畫出散點圖； (2)求物理成績y對數(shù)學成績x的線性回歸方程； (3)一名學生的數(shù)學成績是96，試預測他的物理成績． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 類型二　線性回歸分析 例2　現(xiàn)隨機抽取了某中學高一10名在校學生，他們入學時的數(shù)學成績(x)與入學后第一次考試的數(shù)學成績(y)如下： 學生號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 請問：這10名學生的兩次數(shù)學成績是否具有線性關系？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　相關關系的兩種判定方法及流程 (1)利用散點圖判定的流程 (2)利用相關系數(shù)判定的流程 ―→ 跟蹤訓練2　一臺機器由于使用時間較長，但還可以使用，它按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產有缺點的零件的多少，隨機器運轉的速度而變化，下表為抽樣試驗的結果： 轉速x(轉/秒) 16 14 12 8 每小時生產有缺點的零件數(shù)y(件) 11 9 8 5 對變量y與x進行線性相關性檢驗． 　 　 　 類型三　非線性回歸分析 例3　下表為收集到的一組數(shù)據(jù)： x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 (1)作出x與y的散點圖，并猜測x與y之間的關系； (2)建立x與y的關系； (3)利用所得模型，估計當x＝40時y的值． 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　非線性回歸問題的處理方法 (1)指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a ①函數(shù)y＝ebx＋a的圖象 ②處理方法：兩邊取對數(shù)，得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b. (2)對數(shù)函數(shù)型y＝bln x＋a ①函數(shù)y＝bln x＋a的圖象： ②處理方法：設x′＝ln x，原方程可化為y＝bx′＋a， 再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b. (3)y＝bx2＋a型 處理方法：設x′＝x2，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b. 跟蹤訓練3　已知某種食品每千克的生產成本y(元)與生產該食品的重量x(千克)有關，經生產統(tǒng)計得到以下數(shù)據(jù)： x 1 2 3 5 10 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 x 20 30 50 100 200 y 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 通過以上數(shù)據(jù)，判斷該食品的生產成本y(元)與生產的重量x(千克)的倒數(shù)之間是否具有線性相關關系．若有，求出y關于的回歸方程，并估計一下生產該食品500千克時每千克的生產成本是多少．(精確到0.01) 　 　 　 1．設有一個線性回歸方程＝2－1.5x，當變量x增加1個單位時，y平均________個單位． 2．如圖四個散點圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個變量的是________．(填序號) 3．某廠節(jié)能降耗技術改造后，在生產A產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸)的幾組對應數(shù)據(jù)如表： x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程為＝0.7x＋0.35，則上表中的t＝________. 4．下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關于x的回歸直線必過點________． x 1 2 3 4 y 1 3 5 7 5.已知x、y之間的一組數(shù)據(jù)如下表： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 (1)分別計算：、、x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4、x＋x＋x＋x； (2)已知變量x與y線性相關，求出回歸方程． 　 　 　 　 　 回歸分析的步驟 (1)確定研究對象，明確哪個變量是自變量，哪個變量是因變量； (2)畫出確定好的自變量和因變量的散點圖，觀察它們之間的關系(如是否存在線性關系等)； (3)由經驗確定回歸方程的類型(如果呈線性關系，則選用線性回歸方程＝x＋)； (4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)． 答案精析 問題導學 知識點一 思考　畫出散點圖，由圖可知，樣本點散布在一條直線附近，因此可用回歸直線表示變量之間的相關關系． 設所求的線性回歸方程為＝x＋， 則＝＝＝0.5， ＝－＝0.4. 所以年推銷金額y關于工作年限x的線性回歸方程為＝0.5x＋0.4. 梳理　(1)a＋bx　ε　(2)①確定性函數(shù) ②某些因素的影響?、塾^測 (3)a＋bx＋ε　?。? (4)回歸截距　回歸系數(shù)　回歸值 知識點二 思考1　不一定． 思考2　越小越好． 梳理　(1) (2)①1?、??、? 知識點三 1．提出統(tǒng)計假設H0　3.樣本相關系數(shù)r 4．r0.05　95%　沒有理由拒絕 題型探究 例1　解　(1)如圖： (2)iyi＝62＋83＋105＋126＝158， ＝＝9，＝＝4， ＝62＋82＋102＋122＝344， ＝＝＝0.7， ＝－＝4－0.79＝－2.3， 故線性回歸方程為＝0.7x－2.3. (3)由(2)中線性回歸方程可知，當x＝9時，＝0.79－2.3＝4，預測記憶力為9的同學的判斷力約為4. 跟蹤訓練1　解　(1)散點圖如圖． (2)＝(88＋76＋73＋66＋63) ＝73.2， ＝(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8. iyi＝8878＋7665＋7371＋6664＋6361＝25 054. ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. 所以＝ ＝≈0.625. ＝－≈67.8－0.62573.2＝22.05. 所以y對x的線性回歸方程是＝0.625x＋22.05. (3)當x＝96時，＝0.62596＋22.05≈82，即可以預測他的物理成績是82. 例2　解?。?120＋108＋…＋99＋108)＝107.8， ＝(84＋64＋…＋57＋71)＝68. ＝1202＋1082＋…＋992＋1082 ＝116 584. ＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384. iyi＝12084＋10864＋…＋9957＋10871＝73 796. 所以相關系數(shù)為 r＝ ≈0.751. 由檢驗水平0.05及n－2＝8， 在附錄2中查得r0.05＝0.632. 因為0.751＞0.632， 由此可看出這10名學生的兩次數(shù)學成績具有較強的線性相關關系． 跟蹤訓練2　解　由題中數(shù)據(jù)可得＝12.5，＝8.25， iyi＝438,4 ＝412.5，＝660，＝291， 所以r＝ ＝ ＝≈0.995. 由檢驗水平0.05及n－2＝2，在教材附錄表2中查得r0.05＝0.950，因為r＞r0.05，所以y與x具有線性相關關系． 例3　解　(1)作出散點圖如圖，從散點圖可以看出x與y不具有線性相關關系，根據(jù)已有知識可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，其中c1、c2為待定的參數(shù)． (2)對兩邊取對數(shù)把指數(shù)關系變?yōu)榫€性關系，令z＝ln y，則有變換后的樣本點應分布在直線z＝bx＋a，a＝ln c1，b＝c2的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程，數(shù)據(jù)可以轉化為 x 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 求得線性回歸方程為 ＝0.272x－3.849， ∴＝e0.272x－3.849. (3)當x＝40時，＝e0.272x－3.849≈1 131. 跟蹤訓練3　解　設u＝，通過已知數(shù)據(jù)得到y(tǒng)與u的相應數(shù)據(jù)為 u＝ 1 0.5 0.33 0.2 0.1 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 u＝ 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005 y 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 根據(jù)上述數(shù)據(jù)可求得相關系數(shù) r＝ ≈0.999 8， 于是有很大的把握認為y與具有線性相關關系． 而＝≈8.973， ＝－≈1.126， 于是y與的回歸方程為＝＋1.126. 當x＝500時，＝＋1.126≈1.14. 所以估計生產該食品500千克時每千克的生產成本是1.14元． 當堂訓練 1．減少1.5　2.①③　3.3　4.(2.5,4) 5．解　(1)＝＝1.5，＝＝4， x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝01＋13＋25＋37＝34， x＋x＋x＋x＝02＋12＋22＋32＝14. (2)＝＝2， ＝－ ＝4－21.5＝1， 故＝2x＋1.