2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 專題突破四 數(shù)列求和學(xué)案（含解析）新人教B版必修5.docx

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專題突破四　數(shù)列求和 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握分組分解求和法的使用情形和解題要點(diǎn).2.掌握奇偶并項(xiàng)求和法的使用情形和解題要點(diǎn).3.掌握裂項(xiàng)相消求和法的使用情形和解題要點(diǎn).4.進(jìn)一步熟悉錯位相減法． 知識點(diǎn)一　分組分解求和法 思考　求和：1＋2＋3＋…＋. 答案　1＋2＋3＋…＋＝(1＋2＋3＋…＋n)＋ ＝＋ ＝＋1－. 總結(jié)　分組分解求和的基本思路：通過分解每一項(xiàng)重新組合，化歸為等差數(shù)列和等比數(shù)列求和． 知識點(diǎn)二　奇偶并項(xiàng)求和法 思考　求和12－22＋32－42＋…＋992－1002. 答案　12－22＋32－42＋…＋992－1002 ＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002) ＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100) ＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100) ＝－5050. 總結(jié)　奇偶并項(xiàng)求和的基本思路：有些數(shù)列單獨(dú)看求和困難，但相鄰項(xiàng)結(jié)合后會變成熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和．但當(dāng)求前n項(xiàng)和而n是奇數(shù)還是偶數(shù)不確定時，往往需要討論． 知識點(diǎn)三　裂項(xiàng)相消求和法 思考　我們知道＝－，試用此公式求和：＋＋…＋. 答案　由＝－得 ＋＋…＋ ＝1－＋－＋…＋－ ＝1－. 總結(jié)　如果數(shù)列的項(xiàng)能裂成前后抵消的兩項(xiàng)，可用裂項(xiàng)相消求和，此法一般先研究通項(xiàng)的裂法，然后仿照裂開每一項(xiàng)．裂項(xiàng)相消求和常用公式： (1)＝(－)； (2)＝(－)； (3)＝(－)； (4)＝[－]． 知識點(diǎn)四　錯位相減求和法 思考　記bn＝n2n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 答案　∵Sn＝12＋222＋323＋…＋n2n， ① 2Sn＝122＋223＋324＋…＋(n－1)2n＋n2n+1， ② ①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n2n+1 ＝－2－(n－1)2n+1. ∴Sn＝2＋(n－1)2n+1，n∈N＋. 總結(jié)　錯位相減法主要適用于{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和． 利用“錯位相減法”時，先寫出Sn與qSn的表達(dá)式，再將兩式對齊作差，正確寫出(1－q)Sn的表達(dá)式；(利用此法時要注意討論公比q是否等于1)． 1．并項(xiàng)求和一定是相鄰兩項(xiàng)結(jié)合．(　　) 2．裂項(xiàng)相消一定是相鄰兩項(xiàng)裂項(xiàng)后產(chǎn)生抵消．(　　) 題型一　分組分解求和 例1　求和：Sn＝2＋2＋…＋2(x≠0)． 解　當(dāng)x≠1時， Sn＝2＋2＋…＋2 ＝＋＋…＋ ＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋ ＝＋＋2n ＝＋2n； 當(dāng)x＝1時，Sn＝4n. 綜上知，Sn＝ 反思感悟　某些數(shù)列，通過適當(dāng)分組，可得出兩個或幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和． 跟蹤訓(xùn)練1　已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝24. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)數(shù)列{bn}滿足bn＝log2an，求數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和． 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0)， 則 解得 ∴an＝a1qn-1＝22n-1＝2n. (2)bn＝log22n＝n，設(shè){an＋bn}的前n項(xiàng)和為Sn， 則Sn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn) ＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn) ＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n) ＝＋ ＝2n+1－2＋n2＋n. 題型二　裂項(xiàng)相消求和 例2　求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N＋. 解　∵＝＝， ∴原式＝ ＝ ＝－(n≥2，n∈N＋)． 引申探究 求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N＋. 解　∵＝＝1＋， ∴原式＝＋＋＋…＋ ＝(n－1)＋ 以下同例2解法． 反思感悟　求和前一般先對數(shù)列的通項(xiàng)公式變形，如果數(shù)列的通項(xiàng)公式可轉(zhuǎn)化為f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂項(xiàng)求和法． 跟蹤訓(xùn)練2　求和： 1＋＋＋…＋，n∈N＋. 解　∵an＝＝＝2， ∴Sn＝2＝. 題型三　奇偶并項(xiàng)求和 例3　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)． 解　當(dāng)n為奇數(shù)時， Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1) ＝2＋(－2n＋1)＝－n. 當(dāng)n為偶數(shù)時， Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2＝n. ∴Sn＝(－1)nn (n∈N＋)． 反思感悟　通項(xiàng)中含有(－1)n的數(shù)列求前n項(xiàng)和時可以考慮使用奇偶并項(xiàng)法，分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)分別進(jìn)行求和． 跟蹤訓(xùn)練3　已知數(shù)列－1,4，－7,10，…，(－1)n(3n－2)，…，求其前n項(xiàng)和Sn. 解　當(dāng)n為偶數(shù)時，令n＝2k(k∈N＋)， Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n(3n－2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)] ＝3k＝n； 當(dāng)n為奇數(shù)時，令n＝2k－1(k∈N＋)， ∴Sn＝S2k－1＝S2k－a2k＝3k－(6k－2) ＝2－3k＝. ∴Sn＝ 題型四　錯位相減求和 例4　(2018佛山檢測)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＝3Sn－2(n∈N＋)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)當(dāng)n＝1時，a1＝3S1－2＝3a1－2，解得a1＝1. 當(dāng)n≥2時，an＝3Sn－2，an－1＝3Sn－1－2， 兩式相減得an－an－1＝3an，化簡得an＝－an－1， 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為－的等比數(shù)列， 所以an＝n-1，n∈N＋. (2)由(1)可得nan＝nn-1. Tn＝10＋21＋32＋…＋nn-1， －Tn＝11＋22＋…＋(n－1)n-1＋nn， 兩式相減得 Tn＝1＋1＋2＋…＋n-1－nn＝－nn＝－n. 所以數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn＝－n. 反思感悟　用錯位相減要“能識別，按步走，慎化簡”． 跟蹤訓(xùn)練4　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n-1，在等差數(shù)列{bn}中，bn＞0，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{anbn}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)∵an＝3n－1，∴a1＝1，a2＝3，a3＝9. ∵在等差數(shù)列{bn}中，b1＋b2＋b3＝15，∴3b2＝15，則b2＝5. 設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比數(shù)列， ∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2. ∵bn＞0，∴d＝－10應(yīng)舍去，∴d＝2， ∴b1＝3，∴bn＝2n＋1. 故anbn＝(2n＋1)3n-1，n∈N＋. (2)由(1)知Tn＝31＋53＋732＋…＋(2n－1)3n-2＋(2n＋1)3n-1， ① 3Tn＝33＋532＋733＋…＋(2n－1)3n-1＋(2n＋1)3n， ② ①－②，得 －2Tn＝31＋23＋232＋233＋…＋23n-1－(2n＋1)3n ＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n ＝3＋2－(2n＋1)3n ＝3n－(2n＋1)3n ＝－2n3n. ∴Tn＝n3n，n∈N＋. 1．?dāng)?shù)列{1＋2n-1}的前n項(xiàng)和為________． 答案　Sn＝n＋2n－1，n∈N＋ 解析　∵an＝1＋2n-1， ∴Sn＝n＋＝n＋2n－1. 2．?dāng)?shù)列的前2018項(xiàng)和為________． 答案　 解析　因?yàn)椋?， 所以S2018＝2 ＝2＝. 3．已知數(shù)列an＝則S100＝________. 答案　5000 解析　由題意得S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100 ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100) ＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100) ＝5000. 4．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N＋. (1)設(shè)bn＝，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)在(1)的條件下求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. (1)證明　由已知an＋1＝2an＋2n， 得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1. ∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1. ∴{bn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列． (2)解　由(1)知，bn＝n，＝bn＝n. ∴an＝n2n-1. ∴Sn＝1＋221＋322＋…＋n2n-1， 兩邊同時乘以2得 2Sn＝121＋222＋…＋(n－1)2n-1＋n2n， 兩式相減得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n-1－n2n ＝2n－1－n2n＝(1－n)2n－1， ∴Sn＝(n－1)2n＋1. 求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一般有下列幾種方法． 1．錯位相減 適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和． 2．分組求和 把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列． 3．裂項(xiàng)相消 有時把一個數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和． 4．奇偶并項(xiàng) 當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)中出現(xiàn)(－1)n或(－1)n+1時，常常需要對n取值的奇偶性進(jìn)行分類討論． 5．倒序相加 例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法． 一、選擇題 1．?dāng)?shù)列2，4，6，…的前n項(xiàng)和Sn為(　　) A．n2＋1＋ B．n2＋2－ C．n(n＋1)＋－ D．n(n＋1)＋ 答案　C 2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝，Sn＝10，則n等于(　　) A．90B．119C．120D．121 答案　C 解析　an＝＝－，∴Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10，∴n＋1＝121，故n＝120. 3．?dāng)?shù)列，，，…，，…的前n項(xiàng)和為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由數(shù)列通項(xiàng)公式＝， 得前n項(xiàng)和Sn＝(－＋－＋－＋…＋－) ＝＝. 4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝2n＋1，n∈N＋，由bn＝所確定的數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和是(　　) A.n(n＋2) B.n(n＋4) C.n(n＋5) D.n(n＋7) 答案　C 解析　∵a1＋a2＋…＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n. ∴bn＝n＋2，∴{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝. 5．如果一個數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝H (H為常數(shù)，n∈N＋)，則稱數(shù)列{an}為等和數(shù)列，H為公和，Sn是其前n項(xiàng)的和，已知等和數(shù)列{an}中，a1＝1，H＝－3，則S2019等于(　　) A．－3016 B．－3015 C．－3026 D．－3013 答案　C 解析　S2019＝a1＋(a2＋a3＋…＋a2019) ＝a1＋1009H＝1＋1009(－3)＝－3026. 6．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，n∈N＋，則an等于(　　) A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn 答案　A 解析　∵an＋1＝an＋ln， ∴an＋1－an＝ln＝ln＝ln(n＋1)－lnn. 又a1＝2， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n－ln(n－1)]＝2＋lnn－ln1＝2＋lnn. 二、填空題 7．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，n∈N＋，則S50＝________. 答案?。?5 解析　S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)25＝－25. 8．在數(shù)列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，n∈N＋，則S15＋S22－S31的值是________． 答案　－76 解析　S15＝－47＋a15＝－28＋57＝29， S22＝－411＝－44， S31＝－415＋a31＝－60＋121＝61， S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76. 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝2x－3x－1，點(diǎn)(n，an)在f(x)的圖象上，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn. 解　由題得an＝2n－3n－1， Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋22＋…＋2n)－3(1＋2＋3＋…＋n)－n ＝－3－n ＝2n＋1－－2. 10．已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn＝(n∈N＋)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d. 因?yàn)閍3＝7，a5＋a7＝26，所以 解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， Sn＝3n＋2＝n2＋2n. 所以an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n. (2)由(1)知an＝2n＋1， 所以bn＝＝＝ ＝， 所以Tn＝(1－＋－＋…＋－) ＝(1－)＝， 即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝. 11．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＝322n－1，n∈N＋. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解　(1)由已知，得當(dāng)n>1時， an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22n＋1， an＝22n－1， 而a1＝2，符合上式， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝22n－1. (2)由bn＝nan＝n22n－1知 Sn＝12＋223＋325＋…＋n22n－1， ① 從而22Sn＝123＋225＋327＋…＋n22n＋1. ② ①－②得 (1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n22n＋1， 即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]． 12．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式． (2)令cn＝ 設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求T2n. 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q， 由b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3， 得解得 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1. (2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝n(n＋2)， 則n為奇數(shù)時，cn＝＝－. n為偶數(shù)時，cn＝2n－1， 所以T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n) ＝＋(2＋23＋…＋22n－1) ＝1－＋＝＋(4n－1)．