2017-2018學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.2 演繹推理優(yōu)化練習 新人教A版選修2-2.doc

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2.1.2 演繹推理 [課時作業(yè)] [A組　基礎鞏固] 1．“π是無限不循環(huán)小數(shù)，所以π是無理數(shù)”，以上推理的大前提是(　　) A．實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù) B．無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù) C．無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù) D．有理數(shù)都是有限循環(huán)小數(shù) 解析：由三段論的知識可知，其大前提是：無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù)． 答案：C 2．推理：“①矩形是平行四邊形，②三角形不是平行四邊形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是(　　) A．①　　　　　　　　　　 B．② C．③ D．①② 解析：由①②③的關系知，小前提應為“三角形不是平行四邊形”．故應選B. 答案：B 3．有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b在平面α外，直線a在平面α內(nèi)，直線b∥平面α，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為(　　) A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．非以上錯誤 解析：直線平行平面α，則該直線與平面內(nèi)的直線平行或異面，故大前提錯誤． 答案：A 4．某西方國家流傳這樣的一個政治笑話：“鵝吃白菜，參議員先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝”．結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為(　　) A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．非以上錯誤 解析：推理形式不符合三段論推理的形式．三段論的形式是：M是P，S是M，則S是P，而上面的推理形式則是：M是P，S是P，則S是M.故選C. 答案：C 5．《論語學路》篇中說：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂不興；禮樂不興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無所措手足；所以，名不正，則民無所措手足．”上述推理用的是(　　) A．類比推理 B．歸納推理 C．演繹推理 D．一次三段論 解析：這是一個復合三段論，從“名不正”推出“民無所措手足”，連續(xù)運用五次三段論，屬演繹推理形式． 答案：C 6．已知推理：“因為△ABC的三邊長依次為3、4、5，所以△ABC是直角三角形”，若將其恢復成完整的三段論，則大前提是________． 解析：題中推理的依據(jù)是勾股定理的逆定理． 答案：一條邊的平方等于其他兩邊平方和的三角形是直角三角形． 7．以下推理中，錯誤的序號為________． ①∵ab＝ac，∴b＝c； ②∵a≥b，b>c，∴a>c； ③∵75不能被2整除，∴75是奇數(shù)； ④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α. 解析：當a＝0時，ab＝ac，但b＝c未必成立． 答案：① 8．求函數(shù)y＝的定義域時，第一步推理中大前提是有意義時，a≥0，小前提是有意義，結(jié)論是________． 解析：由三段論方法知應為log2x－2≥0. 答案：log2x－2≥0 9．判斷下列幾個推理是否正確？為什么？ (1)“因為過不共線的三點有且僅有一個平面(大前提)，而A，B，C為空間三點(小前提)，所以過A，B，C三點只能確定一個平面(結(jié)論)．” (2)“因為金屬銅、鐵、鋁能夠?qū)щ?大前提)，而金是金屬(小前提)，所以金能導電(結(jié)論)．” 解析：(1)不正確．小前提錯誤．因為若三點共線，則可確定無數(shù)平面，只有不共線的三點才能確定一個平面． (2)不正確．推理形式錯誤．因為演繹推理是從一般到特殊的推理，銅、鐵、鋁僅是金屬的代表，是特殊事例，從特殊到特殊的推理不是演繹推理． 10.如圖所示，從A地出發(fā)到河邊飲完馬再到B地去，在河邊哪個地方飲馬可使路途最短？ 解析：如圖，先作點A關于MN的對稱點A′，連接BA′，交MN于點P，P點即為所求．用演繹法證明如下： 如圖所示，在MN上任取一點P′(異于點P)，連接AP′、A′P′、BP′，則AP′＝P′A′，AP＝PA′，從而AP′＋P′B＝A′P′＋P′B＞A′P＋PB＝AP＋PB.由此可知：A到B經(jīng)P點距離最短． [B組　能力提升] 1．命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是(　　) A．使用了歸納推理 B．使用了類比推理 C．使用了“三段論”，但大前提使用錯誤 D．使用了“三段論”，但小前提使用錯誤 解析：應用了“三段論”推理，小前提與大前提不對應，小前提使用錯誤導致結(jié)論錯誤． 答案：D 2．設⊕是R內(nèi)的一個運算，A是R的非空子集．若對于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對運算⊕封閉．下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運算都封閉的是(　　) A．自然數(shù)集 B．整數(shù)集 C．有理數(shù)集 D．無理數(shù)集 解析：A錯，因為自然數(shù)集對減法不封閉；B錯，因為整數(shù)集對除法不封閉；C對，因為任意兩個有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故有理數(shù)集對加、減、乘、除法(除數(shù)不等于零)四則運算都封閉；D錯，因為無理數(shù)集對加、減、乘、除法都不封閉． 答案：C 3．甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市； 乙說：我沒去過C城市． 丙說：我們?nèi)齻€去過同一城市． 由此可判斷乙去過的城市為________． 解析：由甲、丙的回答易知甲去過A城市和C城市，乙去過A城市或B城市，結(jié)合丙的回答可得乙去過A城市． 答案：A 4．已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，則f(2 010)＝________. 解析：令y＝1得4f(x)f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)，即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)① 令x取x＋1則f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)② 由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，即f(x－1)＝－f(x＋2)， ∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)， ∴f(x)＝f(x＋6)，即f(x)周期為6， ∴f(2 010)＝f(6335＋0)＝f(0)， 對4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得4f(1)f(0)＝2f(1)， ∴f(0)＝，即f(2 010)＝. 答案： 5．計算機裝置有一個數(shù)據(jù)輸入口A和一個運算結(jié)果的輸出口B，某同學編入下列運算程序，將數(shù)據(jù)輸入且滿足以下性質(zhì)： ①從A輸入1時，從B得到. ②從A輸入整數(shù)n(n≥2)時，在B得到的結(jié)果f(n)是將前一結(jié)果f(n－1)先乘奇數(shù)2n－3，再除以奇數(shù)2n＋1. (1)求出f(2)，f(3)，f(4)； (2)由(1)推測出f(n)的表達式，并給出證明． 解析：(1)由題設條件知，f(1)＝，f(n)＝f(n－1)， ∴當n＝2時，f(2)＝＝； 當n＝3時，f(3)＝＝； 當n＝4時，f(4)＝＝. (2)猜想f(n)＝. ∵＝， ∴f(n)＝…f(1) ＝…＝. 6.(2014高考江西卷)如圖，已知拋物線C：x2＝4y，過點M(0,2)任作一直線與C相交于A，B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D(O為坐標原點)． (1)證明：動點D在定直線上； (2)作C的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y＝2相交于點N1，與(1)中的定直線相交于點N2. 證明：|MN2|2－|MN1|2為定值，并求此定值． 證明：(1)依題意可設AB方程為y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2＝－8， 直線AO的方程為y＝x；BD的方程為x＝x2. 解得交點D的坐標為 注意到x1x2＝－8及x＝4y1，則有y＝＝＝－2， 因此D點在定直線y＝－2(x≠0)上． (2)依題設，切線l的斜率存在且不等于0，設切線l的方程為y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)， 即x2－4ax－4b＝0， 由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化簡整理得b＝－a2. 故切線l的方程可寫為y＝ax－a2. 分別令y＝2、y＝－2得N1、N2的坐標為 N1(＋a,2)，N2(－＋a，－2)， 則|MN2|2－|MN1|2＝(－a)2＋42－(＋a)2＝8，即|MN2|2－|MN1|2為定值8.