（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級 重點(diǎn)增分 專題六 數(shù)列講義 理（普通生含解析）.doc

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重點(diǎn)增分專題六數(shù)列全國卷3年考情分析年份全國卷全國卷全國卷2018等差數(shù)列的基本運(yùn)算T4等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及最值T17等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式T17Sn與an的關(guān)系、等比數(shù)列求和T142017等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式T4數(shù)學(xué)文化、等比數(shù)列的概念、前n項(xiàng)和公式T3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等比中項(xiàng)T9等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)相消法求和T15等比數(shù)列的通項(xiàng)公式T142016等差數(shù)列的基本運(yùn)算T3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、創(chuàng)新問題T17數(shù)列的遞推關(guān)系及通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式T17等比數(shù)列的運(yùn)算及二次函數(shù)最值問題T15(1)高考主要考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的基本運(yùn)算，兩類數(shù)列求和方法(裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法)、兩類綜合(與函數(shù)綜合、與不等式綜合)，主要突出數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用(2)若以解答題形式考查，數(shù)列往往與解三角形在17題的位置上交替考查，試題難度中等；若以客觀題考查，難度中等的題目較多 大穩(wěn)定1.(2018全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3S3S2S4，a12，則a5()A12B10C10 D12解析：選B設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由3S3S2S4，得3(3a13d)2a1d4a16d，即3a12d0.將a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.2.已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，則數(shù)列an的公比q為()A4 B2C. D.解析：選C因?yàn)?，所以q1.所以1q5，所以1q5，所以q.3.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，a11，b11，a2b23.(1)若a3b37，求bn的通項(xiàng)公式；(2)若T313，求Sn.解：(1)設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則an1(n1)d，bnqn1.由a2b23，得dq4，由a3b37，得2dq28，聯(lián)立，解得q2或q0(舍去)，因此bn的通項(xiàng)公式為bn2n1.(2)T31qq2，1qq213，解得q3或q4，由a2b23，得d4q，d1或d8.由Snna1n(n1)d，得Snn2n或Sn4n25n.解題方略等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路(1)設(shè)基本量：首項(xiàng)a1和公差d(公比q)(2)列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(或q)的方程(組)，然后求解，注意整體計(jì)算，以減少運(yùn)算量小創(chuàng)新1.設(shè)數(shù)列an滿足a2a410，點(diǎn)Pn(n，an)對任意的nN*，都有向量(1,2)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.解析：Pn(n，an)，Pn1(n1，an1)，(1，an1an)(1,2)，an1an2，數(shù)列an是公差d為2的等差數(shù)列又由a2a42a14d2a14210，解得a11，Snn2n2.答案：n22.設(shè)某數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若為常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和諧數(shù)列”若一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為d(d0)的等差數(shù)列an為“和諧數(shù)列”，則該等差數(shù)列的公差d_.解析：由k(k為常數(shù))，且a11，得nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得，(4k1)dn(2k1)(2d)0，對任意正整數(shù)n，上式恒成立，得數(shù)列an的公差為2.答案：23.(2017全國卷)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A1盞 B3盞C5盞 D9盞解析：選B每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為an，則前7項(xiàng)的和S7381，公比q2，依題意，得S7381，解得a13. 大穩(wěn)定1.在等比數(shù)列an中，a3，a15是方程x26x20的根，則的值為()ABC. D或解析：選B設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閍3，a15是方程x26x20的根，所以a3a15a2，a3a156，所以a30，a15an1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_解析：法一：因?yàn)閍nan1，所以數(shù)列an是遞減數(shù)列，所以解得an1恒成立，所以01.若0，則當(dāng)nan1；若1，則當(dāng)nan1，所以a6a5，即51，解得，所以0，則f(a1)f(a3)f(a5)的值()A恒為正數(shù)B恒為負(fù)數(shù)C恒為0D可以為正數(shù)也可以為負(fù)數(shù)解析：選A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)0，又f(x)是R上的增函數(shù)，所以當(dāng)x0時(shí)，有f(x)f(0)0，當(dāng)x0時(shí)，有f(x)0，所以f(a3)0.因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，所以a30a1a50a1a5f(a1)f(a5)，又f(a5) f(a5)，所以f(a1)f(a5)0，故f(a1)f(a3)f(a5)f(a1)f(a5)f(a3)0.3.已知數(shù)列an滿足an2an1an1an，nN*，且a5，若函數(shù)f(x)sin 2x2cos2 ，記ynf(an)，則數(shù)列yn的前9項(xiàng)和為()A0 B9C9 D1解析：選C由已知可得，數(shù)列an為等差數(shù)列，f(x)sin 2xcos x1，f1.f(x)sin(22x)cos(x)1sin 2xcos x1，f(x)f(x)2，a1a9a2a82a5，f(a1)f(a9)2419，即數(shù)列yn的前9項(xiàng)和為9.4.數(shù)列an是首項(xiàng)a1m，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足2bn(n1)an，若對任意nN*都有bnb5成立，則m的取值范圍是_解析：由題意得，anm2(n1)，從而bnanm2(n1)又對任意nN*都有bnb5成立，結(jié)合數(shù)列bn的函數(shù)特性可知b4b5，b6b5，故解得22m18.答案：22，18 典例設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，對任意的nN*，都有Sn2an，數(shù)列bn滿足b12a1，bn(n2，nN*)(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S12a1，解得a11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1an1an，即(n2，nN*)所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann1.(2)因?yàn)閍11，所以b12a12.因?yàn)閎n，所以1，即1(n2)所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列所以(n1)1，故數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn.解題方略數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法：利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)；利用等差中項(xiàng)，即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明(nN*)為一常數(shù)；利用等比中項(xiàng)，即證明aan1an1(n2)多練強(qiáng)化已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2an3n(nN*)(1)求a1，a2，a3的值(2)設(shè)bnan3，證明數(shù)列bn為等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式an.解：(1)因?yàn)閿?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2an3n(nN*)所以n1時(shí)，由a1S12a131，解得a13，n2時(shí)，由S22a232，得a29，n3時(shí)，由S32a333，得a321.(2)因?yàn)镾n2an3n，所以Sn12an13(n1)，兩式相減，得an12an3，把bnan3及bn1an13，代入式，得bn12bn(nN*)，且b16，所以數(shù)列bn是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以bn62n1，所以anbn362n133(2n1). 增分考點(diǎn)深度精研析母題典例已知數(shù)列an滿足a14a242a34n1an(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bnbn1的前n項(xiàng)和Tn.解(1)當(dāng)n1時(shí)，a1.因?yàn)閍14a242a34n2an14n1an，所以a14a242a34n2an1(n2)，得4n1an(n2)，所以an(n2)由于a1，故an.(2)由(1)得bn，所以bnbn1，故Tn.練子題1在本例條件下，若設(shè)bnanlogan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：an，bn，Tn，Tn，兩式相減得，Tn22，Tn.2在本例條件下，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，記bn(nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：an，4n，Sn4n，則bn42n4n，Tnb1b2bn(424442n)(4424n)42n4n.3在本例條件下，設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：an，bn.Tnb1b2b3bn.解題方略1分組求和中分組的策略(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組(2)根據(jù)正號、負(fù)號分組2裂項(xiàng)相消求和的規(guī)律(1)裂項(xiàng)系數(shù)取決于前后兩項(xiàng)分母的差(2)裂項(xiàng)相消后前、后保留的項(xiàng)數(shù)一樣多3錯(cuò)位相減法求和的關(guān)注點(diǎn)(1)適用題型：等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn對應(yīng)項(xiàng)相乘(anbn)型數(shù)列求和(2)步驟：求和時(shí)先乘以數(shù)列bn的公比；將兩個(gè)和式錯(cuò)位相減；整理結(jié)果形式多練強(qiáng)化1已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，S3a5.令bn(1)n1an，則數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2n為()AnB2nCn D2n解析：選B設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S3a5，得3a2a5，3(1d)14d，解得d2，an2n1，bn(1)n1(2n1)，T2n1357(4n3)(4n1)2n，選B.2(2017天津高考)已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和(nN*)解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因?yàn)閝0，解得q2.所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4，可得a15d16.由，解得a11，d3，所以an3n2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n.(2)由(1)知a2n6n2，b2n124n1，則a2nb2n1(3n1)4n，設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為Tn，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，上述兩式相減，得3Tn2434234334n(3n1)4n14(3n1)4n1(3n2)4n18.故Tn4n1.所以數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為4n1.3已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，nN*，且a23，S525.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn，記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn1.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)樗越獾盟詀n2n1.(2)證明：由(1)知，an2n1，所以Snn2.所以bn.所以Tnb1b2b3bn11)由已知，得即由q1，解得故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由(1)得bn2n1(n1)ln 2，所以Tn(12222n1)012(n1)ln 2ln 22n1ln 2.素養(yǎng)通路數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)主要包括：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等本題通過列出關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，并解此方程組得出首項(xiàng)與公比，從而得出通項(xiàng)公式；通過分組分別根據(jù)等比數(shù)列求和公式、等差數(shù)列求和公式求和考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng)